Some local and global properties of secant varieties of nonsingular projective curves

1. Enunciato del Problema e Contesto

Il documento indaga la geometria delle varietà secanti ($\Sigma_k$) di una curva proiettiva non singolare $C$ immersa nello spazio proiettivo $\mathbb{P}^r$ tramite un fascio di rette molto ampio $L$. Nello specifico, affronta lacune e questioni lasciate aperte nel lavoro precedente degli autori [8].

• Definizioni: Sia $C$ una curva di genere $g \ge 0$. La $k$-esima varietà secante $\Sigma_k$ è l'unione dei piani $k$-secanti $(k+1)$ alla curva $C$.
• Ipotesi: Il fascio di rette $L$ soddisfa la condizione $\deg L \ge 2g + 2k + 1$. Sotto questa condizione, l'immersione è ben comportata (in particolare, $L$ è $(2k+1)$-molto ampio) e la risoluzione del fascio secante $\beta_k: B_k(L) \to \Sigma_k$ è una risoluzione delle singolarità.
• Questioni Aperte:
  1. Una descrizione precisa dei coni tangenti di $\Sigma_k$ nei punti singolari.
  2. Il calcolo esplicito dei gruppi di coomologia delle potenze simmetriche dei fasci secanti sui prodotti simmetrici delle curve (una questione posta in [8, Problema 6.2]).
  3. Una prova completa e rigorosa che $\Sigma_k$ è arithmeticamente Cohen–Macaulay (ACM), correggendo un difetto nella prova fornita in [8] riguardante un teorema specifico di Mustata (Teorema 10.42 in [11]).

2. Metodologia

Gli autori impiegano una combinazione di geometria birazionale, tecniche coomologiche e algebra commutativa.

• Risoluzione delle Singolarità: Lo strumento principale è il morfismo $\beta_k: B_k(L) \to \Sigma_k$, dove $B_k(L) = \mathbb{P}(E_{k+1,L})$ è la proiettivizzazione del fascio secante sul prodotto simmetrico $C^{k+1}$.
• Analisi delle Fibre: Viene analizzata la geometria delle fibre $F_x = \beta_k^{-1}(x)$. Per un punto $x \in \Sigma_m \setminus \Sigma_{m-1}$, la fibra è isomorfa a $C^{k-m}$. Il fibrato conormale della fibra viene decomposto utilizzando la scissione del fibrato normale.
• Costruzione del Cono Tangente: Gli autori utilizzano lo sfiocchettamento (blow-up) di $\Sigma_k$ lungo le strati singolari e l'anello graduato associato all'anello locale per descrivere il cono tangente.
• Induzione Cohomologica: Per calcolare i gruppi di coomologia e dimostrare teoremi di annullamento, gli autori usano l'induzione sulla dimensione della varietà secante, sfruttando i triangoli esatti nella categoria derivata e il teorema della funzione formale.
• Correzione della Letteratura: Nell'Appendice, dimostrano nuovamente la proprietà ACM senza fare affidamento sull'affermazione errata in [11, Teorema 10.42], utilizzando invece argomenti diretti di annullamento coomologico derivati dalla struttura del cono tangente.

3. Contributi e Risultati Chiave

A. Descrizione dei Coni Tangenti (Teorema 3.2)

Il documento fornisce una descrizione geometrica del cono tangente di $\Sigma_k$ in un punto singolare $x \in \Sigma_m \setminus \Sigma_{m-1}$ (dove $0 \le m < k$).

• Risultato: Il cono tangente proiettivizzato di $\Sigma_k$ in $x$ è un cono sulla varietà secante $\Sigma_{k-m-1}(C, L(-2\xi))$, con il vertice dato dallo spazio tangente proiettivizzato della varietà secante inferiore $\Sigma_m$ in $x$ (denotato $\mathbb{P}(T_x^*\Sigma_m)$).
• Generalizzazione: Questo generalizza il classico Lemma di Terracini, che descrive gli spazi tangenti nei punti generali.
• Implicazione: Questa descrizione strutturale permette una prova rapida che $\Sigma_k$ è Cohen–Macaulay (Corollario 3.7) perché l'anello graduato associato all'anello locale è l'anello delle coordinate di questo cono, che viene dimostrato essere Cohen–Macaulay per induzione.

B. Cohomologia dei Fasci Secanti (Teorema 4.2)

Gli autori rispondono alla questione di determinare la coomologia delle potenze simmetriche dei fasci secanti ($S^\ell E_{k+1,L}$) sul prodotto simmetrico $C^{k+1}$.

• Risultato: Stabiliscono una formula che mette in relazione la coomologia del fascio secante su $C^{k+1}$ con la coomologia del fascio strutturale delle varietà secanti di ordine inferiore:
  $$H^i(C^{k+1}, S^\ell E_{k+1,L}) \cong \bigwedge^i H^1(C, \mathcal{O}_C) \otimes H^0(\Sigma_{k-i}, \mathcal{O}_{\Sigma_{k-i}}(\ell))$$
  per $0 \le i \le k$ e $\ell > 0$.
• Formula Ricorsiva: Utilizzando questi calcoli coomologici, derivano una formula ricorsiva per i polinomi di Hilbert delle varietà secanti (Teorema 4.4). Ciò permette il calcolo del polinomio di Hilbert di $\Sigma_k$ basato sui polinomi di $\Sigma_{k-i}$.

C. Potenze Esterne dei Fasci Secanti (Teorema 4.9)

Il documento calcola inoltre la coomologia delle potenze esterne ($\bigwedge^\ell E_{k+1,L}$) dei fasci secanti, fornendo una risposta completa alle questioni strutturali riguardanti questi fibrati.

D. Cohen–Macaulayness Arithmetica (Teorema 3.10 e Appendice A)

• Dal Locale al Globale: Gli autori dimostrano che $\Sigma_k$ è localmente Cohen–Macaulay tramite l'analisi del cono tangente.
• Proprietà Globale: Dimostrano che $\Sigma_k$ è arithmeticamente Cohen–Macaulay (ACM).
• Correzione: Nell'Appendice, forniscono una prova completa e indipendente della proprietà ACM. Identificano esplicitamente un errore di stampa in un teorema precedentemente citato ([11, Teorema 10.42]) riguardante le singolarità di Du Bois e l'annullamento della coomologia, e sostituiscono l'argomento difettoso con una prova induttiva rigorosa utilizzando il triangolo esatto dei complessi dualizzanti.
• Coni e Singolarità: Dimostrano che qualsiasi cono su una varietà secante (e il cono affine stesso) possiede singolarità di Du Bois normali Cohen–Macaulay. Questo risponde a una specifica domanda posta da Karen Smith riguardo alla natura delle singolarità sui coni affini sopra le varietà secanti.

4. Significato

• Intuizione Geometrica: La descrizione dei coni tangenti come coni su varietà secanti inferiori fornisce una profonda comprensione strutturale delle singolarità delle varietà secanti, collegando la geometria locale in un punto alla geometria globale delle varietà secanti di dimensione inferiore.
• Potere Computazionale: La formula ricorsiva per i polinomi di Hilbert e i calcoli espliciti della coomologia forniscono strumenti pratici per calcolare gli invarianti delle varietà secanti, che sono notoriamente difficili da calcolare direttamente.
• Risoluzione di Problemi Aperti: Il documento risponde definitivamente alla questione coomologica sollevata in [8] e corregge la prova della proprietà ACM, consolidando le fondamenta teoriche per lo studio delle varietà secanti delle curve.
• Teoria delle Singolarità: La conferma che queste varietà (e i loro coni) possiedono singolarità di Du Bois le colloca in una classe di singolarità ben comportata, il che è cruciale per le applicazioni nella teoria di Hodge e nella teoria delle deformazioni.

In sintesi, questo documento colma l'analisi delle singolarità locali con le proprietà coomologiche globali, offrendo un quadro completo e corretto per comprendere la geometria delle varietà secanti delle curve algebriche.