Critical Hawkes Processes with Random Fertilities: Stationarity in Law Beyond Infinite Mean Activity

Riepilogo Tecnico: Processi di Hawkes Critici con Fertilità Casuali

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta un'ambiguità fondamentale nella teoria dei processi puntuali di Hawkes auto-eccitanti alla criticità (rapporto di ramificazione $n=1$). Sebbene sia ben stabilito che l'intensità media stazionaria diverge al tendere di $n \to 1$ (specificamente $\bar{\lambda} = \nu/(1-n)$), portando alla conclusione comune secondo cui i processi di Hawkes critici sono non stazionari o mal definiti, tale conclusione si basa esclusivamente sulla finitezza del primo momento. Il lavoro indaga se un processo di Hawkes critico possa rimanere stazionario in legge (cioè possedere distribuzioni invarianti nel tempo per conteggi in finestre finite) nonostante abbia un'attività media infinita. Nello specifico, si chiede se la sovrapposizione di cluster generati da un processo di immigrazione iniziato a $t=-\infty$ risulti in un processo puntuale localmente finito, o se il passato infinito contribuisca con infiniti eventi a qualsiasi finestra di osservazione limitata.

Metodologia
L'autore utilizza la costruzione Poisson-cluster dei processi di Hawkes, dove ogni immigrato genera un albero genealogico (cluster) di eventi. L'analisi si concentra sulla probabilità di impatto in una finestra fissa, indicata con $H_T(u)$, definita come la probabilità che un cluster nato al tempo $-u$ contribuisca con almeno un evento a una finestra di osservazione fissa $[0, T]$.

L'approccio tecnico di base coinvolge:

1. Criterio di Finitezza Locale: Stabilire che la costruzione su tutta la retta definisce un genuino processo puntuale se e solo se $\int_0^\infty H_T(u) du < \infty$ per qualsiasi $T$ finito.
2. Analisi Asintotica: Derivare il comportamento asintotico di $H_T(u)$ per $u$ grandi sotto specifiche assunzioni di coda per il kernel di memoria $\phi(t) \sim t^{-(1+\theta)}$ e per la distribuzione della fertilità $P(\kappa > x) \sim x^{-\gamma}$.
3. Formalismo delle Funzioni Generatrici: Utilizzare la teoria dei processi di ramificazione e le funzioni generatrici per relazionare la probabilità di estinzione dei cluster al kernel di memoria e alla distribuzione della fertilità. Ciò comporta la risoluzione di equazioni integrali (ad esempio, $R(t) - (\phi * R)(t) \approx a(t)$) per determinare i tassi di decadimento delle probabilità di sopravvivenza e delle probabilità di impatto.
4. Classificazione dei Regimi: Distinguere tra regimi in cui la media della durata del cluster è finita, regimi in cui la probabilità di impatto è confrontabile con la probabilità di sopravvivenza della durata (memoria finita/varianza finita), e regimi che richiedono una stima asintotica diretta di $H_T(u)$.

Contributi e Risultati Chiave
Il lavoro deriva condizioni precise per la stazionarietà in legge dei processi di Hawkes critici con fertilità e kernel di memoria a coda pesante. I risultati sono riassunti dall'interazione tra l'esponente di coda della fertilità $\gamma$ (dove $P(\kappa > x) \sim x^{-\gamma}$) e l'esponente di coda della memoria $\theta$ (dove $\phi(t) \sim t^{-(1+\theta)}$).

1. Condizione Sufficiente tramite Durata Media Finita:
   Il lavoro dimostra che se la durata attesa del cluster $E[L]$ è finita, il processo è stazionario in legge. Ciò si verifica quando $1 < \gamma < 2$ e $\theta > \gamma$. In questo regime, la condizione $\int H_T(u) du < \infty$ è soddisfatta perché $H_T(u)$ è limitata dalla probabilità di sopravvivenza del cluster $Q(u)$, che decade abbastanza velocemente ($Q(u) \sim u^{-p}$ con $p>1$).

2. Non Stazionarietà nei Regimi a Memoria Finita/Varianza Finita:
   Per i regimi con varianza della fertilità finita ($\gamma \ge 2$) e memoria finita ($\theta \ge 2$), il lavoro dimostra la non stazionarietà. Qui, la probabilità di impatto $H_T(u)$ è asintoticamente confrontabile con la probabilità di sopravvivenza del cluster $Q(u) \sim u^{-1}$. Poiché $\int u^{-1} du$ diverge, la condizione di finitezza locale fallisce e il processo non è stazionario in legge.

3. Stabilizzazione tramite Fluttuazioni Ampie della Fertilità (Varianza Infinita):
   La scoperta più significativa è che fluttuazioni ampie della fertilità (specificamente $1 < \gamma < 2$) possono stabilizzare la dinamica critica in legge anche quando la durata media è infinita.

   • Analizzando direttamente $H_T(u)$ invece di affidarsi alla coda della durata, il lavoro stabilisce una soglia più precisa per la stazionarietà: $\theta > \gamma - 1$.
   • Nel regime intermedio dove $\gamma - 1 < \theta \le \gamma$, la durata media del cluster è infinita ($E[L] = \infty$), eppure la probabilità di impatto in una finestra fissa decade abbastanza velocemente ($H_T(u) \sim u^{-(1+\theta)/\gamma}$) da garantire $\int H_T(u) du < \infty$.
   • Di conseguenza, il processo rimane localmente finito e stazionario in legge, producendo traiettorie con distribuzioni invariate in finestre finite nonostante abbia un'intensità media infinita.

4. Sintesi della Classificazione:

   • Stazionario in Legge (Dimostrato): $1 < \gamma < 2$ e $\theta > \gamma$.
   • Stazionario in Legge (Euristico/Asintotico): $1 < \gamma < 2$ e $\gamma - 1 < \theta \le \gamma$.
   • Non Stazionario (Dimostrato): $\gamma \ge 2$ e $\theta \ge 2$.
   • Non Stazionario (Euristico): $\gamma > 2$ con $0 < \theta < 2$, e $1 < \gamma < 2$ con $0 < \theta \le \gamma - 1$.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di colmare il divario logico tra la divergenza dell'intensità media e l'esistenza del processo stesso. Dimostra che la conclusione standard, secondo cui i processi di Hawkes critici sono non stazionari, non è generalmente valida. Al contrario, la stazionarietà in legge è controllata dalla finitezza locale della costruzione Poisson-cluster su passato infinito, non dalla finitezza dell'intensità media.

L'autore sostiene che fluttuazioni ampie della fertilità possono "stabilizzare" la dinamica critica di Hawkes. Ciò implica che osservazioni empiriche di fluttuazioni superlineari, medie campionarie divergenti o grandi cascate endogene in sistemi come la sismicità (modelli ETAS), i mercati finanziari o le valanghe neuronali non indicano necessariamente la non stazionarietà della legge sottostante. Piuttosto, queste firme possono essere le manifestazioni osservabili di un regime critico stazionario a coda pesante. Il lavoro fornisce i criteri matematici ($\theta > \gamma - 1$) per distinguere tra vera non stazionarietà e criticità stazionaria con media infinita, offrendo un quadro raffinato per interpretare le calibrazioni near-critiche in sistemi naturali e sociali.