Critical Hawkes Processes with Random Fertilities: Stationarity in Law Beyond Infinite Mean Activity

Resumen Técnico: Procesos de Hawkes Críticos con Fertilidades Aleatorias

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una ambigüedad fundamental en la teoría de los procesos puntuales de Hawkes autoexcitantes en criticidad (razón de ramificación $n=1$). Si bien está bien establecido que la intensidad media estacionaria diverge cuando $n \to 1$ (específicamente $\bar{\lambda} = \nu/(1-n)$), lo que lleva a la conclusión común de que los procesos de Hawkes críticos no son estacionarios o están mal definidos, esta conclusión se basa únicamente en la finitud del primer momento. El artículo investiga si un proceso de Hawkes crítico puede permanecer estacionario en ley (es decir, poseer distribuciones invariantes en el tiempo para conteos en ventanas finitas) a pesar de tener una actividad media infinita. Específicamente, pregunta si la superposición de los clústeres generados por un proceso de inmigración que comienza en $t=-\infty$ resulta en un proceso puntual localmente finito, o si el pasado infinito contribuye con infinitos eventos a cualquier ventana de observación acotada.

Metodología
El autor emplea la construcción de clústeres de Poisson de los procesos de Hawkes, donde cada inmigrante genera un árbol genealógico (clúster) de eventos. El análisis se centra en la probabilidad de impacto en ventana fija, denotada $H_T(u)$, definida como la probabilidad de que un clúster nacido en el tiempo $-u$ contribuya con al menos un evento a una ventana de observación fija $[0, T]$.

El enfoque técnico central implica:

1. Criterio de Finitud Local: Establecer que la construcción en toda la línea define un proceso puntual genuino si y solo si $\int_0^\infty H_T(u) du < \infty$ para cualquier $T$ finita.
2. Análisis Asintótico: Derivar el comportamiento asintótico de $H_T(u)$ para $u$ grande bajo suposiciones específicas sobre las colas del núcleo de memoria $\phi(t) \sim t^{-(1+\theta)}$ y la distribución de fertilidad $P(\kappa > x) \sim x^{-\gamma}$.
3. Formalismo de Funciones Generadoras: Utilizar la teoría de procesos de ramificación y funciones generadoras para relacionar la probabilidad de extinción de los clústeres con el núcleo de memoria y la distribución de fertilidad. Esto implica resolver ecuaciones integrales (por ejemplo, $R(t) - (\phi * R)(t) \approx a(t)$) para determinar las tasas de decaimiento de las probabilidades de supervivencia y de impacto.
4. Clasificación de Regímenes: Distinguir entre regímenes donde la media de la vida del clúster es finita, regímenes donde la probabilidad de impacto es comparable a la probabilidad de supervivencia de la vida del clúster (memoria finita/varianza finita), y regímenes que requieren una estimación asintótica directa de $H_T(u)$.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo deriva condiciones precisas para la estacionariedad en ley de procesos de Hawkes críticos con fertilidades y núcleos de memoria de cola pesada. Los resultados se resumen mediante la interacción entre el exponente de cola de fertilidad $\gamma$ (donde $P(\kappa > x) \sim x^{-\gamma}$) y el exponente de cola de memoria $\theta$ (donde $\phi(t) \sim t^{-(1+\theta)}$).

1. Condición Suficiente mediante Vida Media Finita:
   El artículo demuestra que si la vida media esperada del clúster $E[L]$ es finita, el proceso es estacionario en ley. Esto ocurre cuando $1 < \gamma < 2$ y $\theta > \gamma$. En este régimen, la condición $\int H_T(u) du < \infty$ se satisface porque $H_T(u)$ está acotada por la probabilidad de supervivencia del clúster $Q(u)$, la cual decae lo suficientemente rápido ($Q(u) \sim u^{-p}$ con $p>1$).

2. No Estacionariedad en Regímenes de Memoria Finita/Varianza Finita:
   Para regímenes con varianza de fertilidad finita ($\gamma \ge 2$) y memoria finita ($\theta \ge 2$), el artículo demuestra la no estacionariedad. Aquí, la probabilidad de impacto $H_T(u)$ es asintóticamente comparable a la probabilidad de supervivencia del clúster $Q(u) \sim u^{-1}$. Dado que $\int u^{-1} du$ diverge, la condición de finitud local falla y el proceso no es estacionario en ley.

3. Estabilización por Fluctuaciones Amplias de Fertilidad (Varianza Infinita):
   El hallazgo más significativo es que las fluctuaciones amplias de fertilidad (específicamente $1 < \gamma < 2$) pueden estabilizar la dinámica crítica en ley incluso cuando la vida media es infinita.

   • Mediante el análisis directo de $H_T(u)$ en lugar de depender de la cola de la vida, el artículo establece un umbral más agudo para la estacionariedad: $\theta > \gamma - 1$.
   • En el régimen intermedio donde $\gamma - 1 < \theta \le \gamma$, la vida media del clúster es infinita ($E[L] = \infty$), sin embargo, la probabilidad de impacto en ventana fija decae lo suficientemente rápido ($H_T(u) \sim u^{-(1+\theta)/\gamma}$) para asegurar $\int H_T(u) du < \infty$.
   • En consecuencia, el proceso permanece localmente finito y estacionario en ley, produciendo trayectorias de muestra con distribuciones de ventana finita invariantes a pesar de tener una intensidad media infinita.

4. Resumen de Clasificación:

   • Estacionario en Ley (Demostrado): $1 < \gamma < 2$ y $\theta > \gamma$.
   • Estacionario en Ley (Heurístico/Asintótico): $1 < \gamma < 2$ y $\gamma - 1 < \theta \le \gamma$.
   • No Estacionario (Demostrado): $\gamma \ge 2$ y $\theta \ge 2$.
   • No Estacionario (Heurístico): $\gamma > 2$ con $0 < \theta < 2$, y $1 < \gamma < 2$ con $0 < \theta \le \gamma - 1$.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma resolver la brecha lógica entre la divergencia de la intensidad media y la existencia del proceso en sí. Demuestra que la conclusión estándar —de que los procesos de Hawkes críticos no son estacionarios— no es generalmente válida. En cambio, la estacionariedad en ley está controlada por la finitud local de la construcción de clústeres de Poisson del pasado infinito, y no por la finitud de la intensidad media.

El autor argumenta que las fluctuaciones amplias de fertilidad pueden "estabilizar" la dinámica crítica de Hawkes. Esto implica que las observaciones empíricas de fluctuaciones superlineales, promedios de muestra divergentes o grandes cascadas endógenas en sistemas como la sismicidad (modelos ETAS), mercados financieros o avalanchas neuronales no indican necesariamente la no estacionariedad de la ley subyacente. Más bien, estas señales pueden ser las manifestaciones observables de un régimen crítico estacionario de cola pesada. El artículo proporciona los criterios matemáticos ($\theta > \gamma - 1$) para distinguir entre la no estacionariedad verdadera y la criticidad estacionaria con media infinita, ofreciendo un marco refinado para interpretar las calibraciones cercanas a la criticidad en sistemas naturales y sociales.