A Sliced-Wasserstein Framework on Correlation Matrices for EEG Decoding

Sintesi Tecnica: Un Framework Sliced-Wasserstein sulle Matrici di Correlazione per la Decodifica EEG

Problema

La decodifica EEG si affida fortemente ai descrittori di covarianza per la loro robustezza al rumore. Tuttavia, queste rappresentazioni sono sensiche alla scalatura per canale, che funge da fattore di disturbo in contesti scientifici dove le magnitudo assolute del segnale variano significativamente tra soggetti e sessioni. Sebbene le matrici di correlazione a pieno rango offrano un'alternativa invariante alla scala, esse formano un manifold di quoziente di matrici Simmetriche Positive Definite (SPD) che non ammette una geometria SPD standard. Di conseguenza, hanno ricevuto un'attenzione limitata nel deep geometric learning.

Inoltre, confrontare le distribuzioni di matrici di correlazione estratte da registrazioni EEG richiede tipicamente strumenti di Optimal Transport (OT). Sebbene la distanza di Wasserstein fornisca un framework principato per il confronto di distribuzioni, calcolarla su manifold riemanniani comporta la risoluzione di programmi lineari su larga scala con una complessità computazionale proibitiva ($O(n^3 \log n)$). Le estensioni esistenti della Sliced-Wasserstein (SW) a spazi non euclidei (ad esempio, manifold sferici, iperbolici o SPD) non forniscono ancora una costruzione principata specificamente adattata al manifold di correlazione sotto le recentemente introdotte geometrie intrinseche.

Metodologia

1. Pullback Euclidean Metric Sliced Wasserstein (PEMSW)

Gli autori propongono un framework generale per definire le discrepanze SW su manifold dotati di Pullback Euclidean Metrics (PEM).

• Concetto Core: Una PEM è definita tramite una diffeomorfismo globale $\phi: \mathcal{M} \to \mathcal{E}$, dove $\mathcal{E}$ è uno spazio prodotto interno a dimensione finita. Questa embedding mappa le geodetiche sul manifold $\mathcal{M}$ in linee rette nello spazio di embedding $\mathcal{E}$.
• Geodesic Slicing: Invece di un complesso geodesic slicing sul manifold, il framework esegue uno standard linear slicing nello spazio di embedding $\mathcal{E}$. Per un punto di riferimento $x_0$ e una direzione $a$ nell'unità sferica di $\mathcal{E}$, la coordinata di slicing è una proiezione lineare del punto embedded $\phi(x)$.
• Equivalenza: Il Teorema 3.4 stabilisce che la distanza PEMS sul manifold è esattamente equivalente alla distanza Euclidean SW tra le misure embeddate ($\tilde{\mu} = \phi_\# \mu$ e $\tilde{\nu} = \phi_\# \nu$). Ciò consente un calcolo efficiente utilizzando algoritmi standard di Euclidean SW pur preservando la geometria intrinseca del manifold.
• Proprietà: Il framework eredita proprietà metriche, garanzie di convergenza debole e fornisce limiti superiori/inferiori rispetto alla vera distanza di Wasserstein sul manifold.

2. Correlation Sliced-Wasserstein (CorSW)

Gli autori istanziano la PEMS sul manifold delle matrici di correlazione a pieno rango ($\mathcal{C}^{++}_n$) utilizzando due metriche riemanniane intrinseche recentemente proposte:

• Off-Log Metric (OLM): Utilizza la diffeomorfismo $\text{Logo}$ che mappa $\mathcal{C}^{++}_n$ nello spazio delle matrici simmetriche "hollow" ($\text{Hol}(n)$). La coordinata di slicing è il prodotto interno di Frobenius tra la direzione e la matrice trasformata da $\text{Logo}$.
• Log-Scaled Metric (LSM): Utilizza la diffeomorfismo $\text{Log}^\star$ che mappa $\mathcal{C}^{++}_n$ nello spazio delle matrici simmetriche con somma delle righe nulla ($\text{Row}_0(n)$).
• Visione Unificata: Il paper dimostra che l'esistente SPDSW (Sliced-Wasserstein su manifold SPD) è un caso speciale di PEMS quando il manifold è SPD e l'embedding è il logaritmo matriciale.

3. Framework di Domain Generalization

Per affrontare i cambiamenti di dominio (domain shifts) nella decodifica EEG (ad esempio, tra soggetti o sessioni), gli autori sviluppano un framework di domain generalization (DG) utilizzando CorSW:

• Obiettivo: Allineare la distribuzione empirica delle matrici di correlazione da ogni dominio sorgente a una legge di riferimento comune e indipendente dal dominio.
• Implementazione: Una distribuzione di riferimento viene generata nello spazio di embedding (come una Gaussiana) e mappata nuovamente sul manifold di correlazione. La perdita minimizza la distanza CorSW tra le matrici di correlazione del dominio sorgente e questo riferimento.
• Efficienza: Il metodo non richiede solver OT iterativi; si basa su embedding in forma chiusa e campionamento Monte Carlo delle direzioni di slicing, aggiungendo un overhead minimo all'addestramento.

Contributi Chiave

1. Framework PEMSW: Una costruzione unificata di discrepanze SW su manifold con PEM, estendendo la classica SW a spazi non euclidei preservando la struttura geometrica.
2. Istanziazione CorSW: Due specifiche discrepanze CorSW derivate per matrici di correlazione sotto geometrie OLM e LSM, fornendo coordinate di slicing in forma chiusa.
3. Unificazione Teorica: Una prova che le distanze SPDSW esistenti sono casi speciali di PEMS, chiarendo le fondamenta geometriche delle discrepanze a fette (sliced).
4. Validazione Empirica: Un framework di DG per la decodifica EEG che dimostra una migliore generalizzazione su tre dataset benchmark (BCIC-IV-2a, MAMEM-SSVEP-II, BCI-ERN) con basso overhead di addestramento e nessun costo in fase di inferenza.

Risultati Sperimentali

Il metodo proposto è stato valutato su tre paradigmi di decodifica EEG: Motor Imagery (MI), Steady-State Visual Evoked Potentials (SSVEP) ed Error-Related Negativity (ERN).

• Performance: In tutti i dataset, i modelli aumentati con CorSW (ad esempio, CorAtt-OLM+CorSW-OLM) hanno costantemente superato i modelli baselines euclidei, i modelli riemanniani standard e altre strategie di domain generalization (come l'Instance Weighting e varie tecniche di whitening).
  • Sul compito ERN, CorSW ha migliorato l'accuratezza media del baseline CorAtt-OLM del +4.66%.
  • Sul compito SSVEP, ha ottenuto un guadagno del +2.76%.
  • Sul compito MI, ha fornito un guadagno del +2.45%.
• Robustezza: Nei protocolli esaustivi di domain generalization cross-session (leave-one-session-out), CorSW ha ottenuto i punteggi medi più alti tra tutti i metodi DG confrontati.
• Stabilità: L'aggiunta di CorSW ha ridotto significativamente la variabilità tra le esecuzioni (deviazione standard), indicando un miglioramento della stabilità dell'addestramento sotto shift di sessione.
• Efficienza: Il tempo di addestramento è aumentato solo di circa 5.2 ms per iterazione rispetto al baseline, senza costi aggiuntivi durante l'inferenza.
• Interpretabilità: Le visualizzazioni basate sul gradiente hanno confermato che le rappresentazioni apprese si concentravano su pattern neurofisiologicamente significativi (ad esempio, elettrodo Oz per SSVEP, FCz per ERN), allineandosi con i risultati neuroscientifici stabiliti.

Significato e Rivendicazioni

Il paper sostiene che PEMSW fornisce un approccio generale ed estendibile per il confronto di distribuzioni su manifold di pullback. Riducendo il geodesic slicing a un linear slicing in uno spazio di embedding, offre una discrepanza geometricamente consapevole, principata ed efficiente.

Specificamente per l'EEG, gli autori sostengono che CorSW affronti efficacemente la sfida della invarianza di scala e dei cambiamenti di distribuzione. A differenza dei metodi precedenti che o ignorano la struttura del manifold di correlazione o si affidano a OT computazionalmente costosi, CorSW sfrutta geometrie intrinseche (OLM/LM) per allineare le distribuzioni in modo efficiente. I risultati suggeriscono che allineare le distribuzioni dei domini sorgente direttamente sul manifold di correlazione è più efficace che applicare perdite di allineamento euclideo alle rappresentazioni basate sulla correlazione.

Gli autori rilevano limitazioni, principalmente il fatto che il framework è ristretto a manifold con embedding diffeomorfici globali (PEM) e non si estende ancora a manifold riemanniani generali senza tali strutture. Eticamente, sottolineano che, sebbene il metodo utilizzi benchmark esistenti, le applicazioni pratiche che coinvolgono dati EEG sensibili devono aderire a rigorosi protocolli di governance dei dati e privacy.