A Spectral Generalisation of the Variance Ratio: Eigenstructure of Long-Horizon Portfolio Covariance and a Multi-Memory Factor Model of U.S. Equity Returns

Sintesi Tecnica: Una Generalizzazione Spettrale del Rapporto di Varianza

Enunciato del Problema
L'aggregazione dei rendimenti degli asset attraverso orizzonti temporali ($H$) altera fondamentalmente la struttura del secondo momento della sezione trasversale. Sebbene il test del rapporto di varianza univariato di Lo e MacKinlay (1988) valuti se i rendimenti a periodo $H$ si aggreghino in modo pulito per una singola serie, esso scarta l'informazione trasversale contenuta nell'autostruttura della matrice di covarianza. Le estensioni multivariate esistenti, come il rapporto di varianza matriciale di Hong et al. (2017), preservano più struttura ma la riducono a funzionali scalari (traccia, determinante) per l'inferenza, fallendo nel catalogare la dinamica a lungo termine per modo di autovalore. Inoltre, i rendimenti azionari mostrano deviazioni documentate dal comportamento Gaussiano i.i.d. (indipendente e identicamente distribuito), inclusi code a legge di potenza, dipendenza a lungo raggio nei rendimenti assoluti e auto-similarità multi-scala nella volatilità coerente con cascate multifrattali. Il documento affronta la necessità di un framework che decomponga queste deviazioni congiunte in componenti strutturate e indicizzate per autovettore, sia attraverso i canali lineari (rendimento) che di volatilità.

Metodologia
Gli autori propongono una generalizzazione del test del rapporto di varianza multivariata e indicizzata per modo di autovalore. Il framework si basa su due statistiche trasversali definite per una serie temporale a valori matriciali simmetrici $\Sigma_t$ e il suo aggregato a periodo $H$, $\Sigma^{(H)}_t$:

1. Rapporto di Varianza per Modo di Autovalore ($\kappa$):
   $$\kappa_i(H) := \frac{\lambda_i(\Sigma^{(H)}_t)}{H \cdot \lambda_i(\Sigma_t)}$$
   Questo misura l'autocorrelazione della $i$-esima direzione principale attraverso gli orizzonti di aggregazione. Sotto rendimenti i.i.d., $\kappa_i(H) = 1$ per ogni $i, H$.

2. Matrice di Sovrapposizione degli Autovettori ($O$):
   $$O_{ij}(H) := |\langle v_i(\Sigma^{(H)}_t), v_j(\Sigma_t) \rangle|^2$$
   Questo misura la rotazione geometrica della base degli autovettori all'estendersi dell'orizzonte. Sotto rendimenti i.i.d., $O_{ij}(H) = \delta_{ij}$.

Il documento deriva previsioni in forma chiusa per queste statistiche sotto modelli parametrici. Per il canale lineare, stabilisce che un processo AR($p$) decompone $\kappa$ in una somma pesata di rapporti di varianza AR(1) indicizzati da radici caratteristiche. Per la sovrapposizione degli autovettori, deriva un risultato di perturbazione del primo ordine mostrando che la rotazione dipende dal gap degli autovalori e da un fattore di saturazione dipendente dall'orizzonte.

Per modellare le deviazioni empiriche, gli autori costruiscono un modello a cinque fattori con memoria multipla applicato congiuntamente al canale lineare (covarianza dei log-rendimenti) e al canale di volatilità (covarianza dei rendimenti al quadrato). I fattori sono:

• $F_P$ (Persistente): Moto Browniano frazionario (fBm) con esponente di Hurst $H_P > 0.5$.
• $F_A$ (Antipersistente): fBm con $H_A < 0.5$.
• $F_M$ (Multifrattale): Un processo ARFIMA(1, $d_M$, 0) nel canale lineare accoppiato con una cascata Markov-Switching Multifractal (MSM) nel canale di volatilità.
• $F_V$ (Compagno di Volatilità): Un fattore di pura volatilità che condivide la cascata MSM di $F_M$ ma non contribuisce alla struttura lineare.
• $F_{Vt}$ (Volatilità Transitoria): Un processo ARFIMA che governa la volatilità della volatilità, catturando il clustering transitorio.

Il modello è stimato tramite minimi quadrati (LS) congiunti sulle matrici empiriche $(\kappa^{lin}, \kappa^{vol})$ utilizzando un bootstrap a blocchi mobili (1.000 repliche) e l'ottimizzazione L-BFGS-B.

Contributi Chiave e Risultati
Il framework viene applicato a quattro panel azionari statunitensi (Fama-French 49 industrie campione completo e divisioni pre/post-1998; Fama-French 100 dimensione $\times$ book-to-market sort) e una replica non statunitense (Europa 25). L'analisi produce tre risultati primari:

1. Decomposizione Universale a Cinque Fattori: Lo stesso modello a cinque fattori recupera sette fatti stilizzati delle dinamiche azionarie a lungo termine simultaneamente su tutti i panel:

   • Anomalia del rapporto di varianza del modo di mercato: Un pattern di crescita e successiva decrescita nel canale lineare al modo di mercato.
   • Momentum dei fattori: Rapporti di varianza in crescita monotona nei modi di autovalore sub-leaderanti (ranghi 2–3).
   • Mean reversion a lungo termine: Rapporti di varianza in rapida diminuzione nei modi di autovalore profondi (ranghi 24+).
   • Clustering della volatilità a breve termine: Rapida crescita iniziale nei rapporti di varianza della volatilità.
   • Memoria multi-scala della volatilità: Un massiccio accumulo di rapporto di varianza nel canale di volatilità del modo di mercato (raggiungendo $\approx 48$ a 5 anni), coerente con una cascata multifrattale.
   • Volatilità transitoria: Burst episodici di volatilità nei modi di autovalore profondi.
   • Concentrazione trasversale: Lo spettro della volatilità si concentra su un singolo modo dominante all'allungarsi dell'orizzonte, mentre lo spettro lineare si amplia.
     Gli esponenti frazionari di Brownian ($H_P \approx 0.52\text{--}0.57$, $H_A \approx 0.17\text{--}0.27$) rimangono stabili attraverso i sort industriali, di dimensione e di value/growth, indicando una specifica dell'autostruttura universale.

2. Transizione di Regime nella Memoria della Volatilità: Il documento identifica una rottura strutturale nella memoria della volatilità azionaria statunitense avvenuta nei tardi anni '80, piuttosto che al limite statico della divisione tra prima e seconda metà del periodo (1998).

   • Un'analisi a finestra mobile (finestre di 28 anni, passi di 2 anni) localizza la transizione. Il peso della cascata MSM sul canale di volatilità del modo di mercato ($w^{vol}_{MSM}$) cresce monotonicamente da una mediana di 0.30 (centrata nel 1985) a 0.93 (centrata nel 1991), e si satura a 1.00 dal 1995 in poi.
   • I bande di confidenza al 90% per le finestre pre-transizione (centro 1983) e post-transizione (centro 1999) sono strettamente non sovrapponibili.
   • La "scala temporale di crossover" della cascata (durata della componente a frequenza più bassa, $1/\gamma_1$) si allunga da circa 2.2 anni nel periodo pre-1998 a 4.0 anni nel periodo post-1998. Il panel "prima metà" (1969–1997) presenta una debole identificazione poiché mescola questi due regimi.

3. Inversione $\beta$ tra Canali e Carichi Distinti: Gli autori testano l'ipotesi che le firme del fattore multifrattale nei canali lineare e di volatilità siano governate da un unico vettore di carico condiviso ($\beta_M$).

   • Un test di inversione $\beta$ recupera i carichi al quadrato $|\beta_M[a]|^2$ indipendentemente dai canali lineare e di volatilità.
   • I risultati rifiutano l'ipotesi del carico condiviso: la correlazione di Pearson tra i carichi recuperati è significativamente negativa su tre dei quattro panel (es. $-0.771$ sul campione completo).
   • Ciò implica che le caratteristiche trasversali che guidano i pattern di momentum dei rendimenti sono economicamente distinte da quelle che guidano la persistenza della volatilità; un singolo carico non può spiegare entrambi i canali.

Significatività
Il documento sostiene di fornire la prima decomposizione del rapporto di varianza indicizzata per autostruttura, distinguendo tra autocorrelazione temporale lungo direzioni principali stabili e rotazione trasversale di tali direzioni. Separando i canali lineare e di volatilità, il framework rivela che il "modo di mercato" non è un'entità monolitica, ma un composito di meccanismi di memoria distinti: un profilo di rendimento a crescita e decrescita guidato da componenti antipersistenti e ARFIMA, e una pura cascata di volatilità multi-scala.

L'identificazione di una transizione di regime nei tardi anni '80 suggerisce che la struttura a memoria lunga della volatilità non è statica, ma si è evoluta, estendendo la componente della cascata a frequenza più bassa verso orizzonti pluriennali nell'era moderna. Infine, il rifiuto dell'ipotesi del carico condiviso sfida i modelli che assumono un unico set di fattori di rischio che guida la dinamica di rendimento e volatilità, suggerendo invece che le caratteristiche di industria e dimensione/book-to-market predicono questi canali in modo indipendente. Il framework offre una descrizione robusta e parsimoniosa (cinque fattori) delle dinamiche azionarie a lungo termine che è valida in diversi universi di asset e periodi temporali.