A Spectral Generalisation of the Variance Ratio: Eigenstructure of Long-Horizon Portfolio Covariance and a Multi-Memory Factor Model of U.S. Equity Returns

Resumo Técnico: Uma Generalização Espectral da Razão de Variância

Enunciado do Problema
A agregação de retornos de ativos através de horizontes temporais ($H$) altera fundamentalmente a estrutura do segundo momento da seção transversal. Embora o teste de razão de variância univariante de Lo e MacKinlay (1988) avalie se os retornos de período $H$ se agregam de forma limpa para uma única série, ele descarta a informação transversal contida na estrutura própria da matriz de covariância. Extensões multivariadas existentes, como a razão de variância de matriz para Hong et al. (2017), preservam mais estrutura, mas a reduzem a funcionais escalares (traço, determinante), falhando em indexar a dinâmica de longo horizonte por modo de autovalor. Além disso, os retornos de ações exibem desvios documentados do comportamento Gaussiano i.i.d. (independente e identicamente distribuído), incluindo caudas de lei de potência, dependência de longo alcance em retornos absolutos e autossimilaridade multiescalar na volatilidade consistente com cascatas multifractais. O artigo aborda a necessidade de um framework que decomponha esses desvios conjuntos em componentes estruturados e indexados pela estrutura própria, tanto nos canais lineares (retorno) quanto de volatilidade.

Metodologia
Os autores propõem uma generalização da razão de variância multivariada e indexada por modo de autovalor. O framework baseia-se em dois estatísticos transversais definidos para uma série temporal de matriz simétrica $\Sigma_t$ e sua agregação de período $H$, $\Sigma^{(H)}_t$:

1. Razão de Variância por Modo de Autovalor ($\kappa$):
   $$\kappa_i(H) := \frac{\lambda_i(\Sigma^{(H)}_t)}{H \cdot \lambda_i(\Sigma_t)}$$
   Isso mede a autocorrelação da $i$-ésima direção principal através de horizontes de agregação. Sob retornos i.i.d., $\kappa_i(H) = 1$ para todo $i, H$.

2. Matriz de Sobreposição de Autovetores ($O$):
   $$O_{ij}(H) := |\langle v_i(\Sigma^{(H)}_t), v_j(\Sigma_t) \rangle|^2$$
   Isso mede a rotação geométrica da base de autovetores à medida que o horizonte se estende. Sob retornos i.i.d., $O_{ij}(H) = \delta_{ij}$.

O artigo deriva previsões em forma fechada para esses estatísticos sob modelos paramétricos. Para o canal linear, estabelece que um processo AR($p$) decompõe $\kappa$ em uma soma ponderada de razões de variância AR(1) indexadas por raízes características. Para a sobreposição de autovetores, deriva um resultado de perturbação de primeira ordem mostrando que a rotação depende do gap de autovalores e de um fator de saturação dependente do horizonte.

Para modelar os desvios empíricos, os autores constroem um modelo de cinco fatores de memória múltipla aplicado conjuntamente ao canal linear (covariância de log-retornos) e ao canal de volatilidade (covariância de retornos ao quadrado). Os fatores são:

• $F_P$ (Persistente): Movimento Browniano fracionário (fBm) com expoente de Hurst $H_P > 0,5$.
• $F_A$ (Antipersistente): fBm com $H_A < 0,5$.
• $F_M$ (Multifractal): Um processo ARFIMA(1, $d_M$, 0) no canal linear acoplado a uma cascata de Mudança de Estado de Markov (MSM) no canal de volatilidade.
• $F_V$ (Companheiro de Volatilidade): Um fator de volatilidade pura que compartilha a cascata MSM de $F_M$, mas não contribui com estrutura linear.
• $F_{Vt}$ (Volatilidade Transitória): Um processo ARFIMA que governa a volatilidade da volatilidade, capturando agrupamentos transitórios.

O modelo é estimado via mínimos quadrados (LS) conjuntos sobre as matrizes empícas $(\kappa^{lin}, \kappa^{vol})$ usando um bootstrap de bloco móvel (1.000 réplicas) e otimização L-BFGS-B.

Principais Contribuições e Resultados
O framework é aplicado a quatro painéis de ações dos EUA (amostra total da indústria Fama-French 49 e divisões pré/pós-1998; Fama-French 100 ordenação por tamanho $\times$ book-to-market) e uma replicação não-EUA (Europa 25). A análise produz três descobertas primárias:

1. Decomposição de Cinco Fatores Universal: O mesmo modelo de cinco fatores recupera sete fatos estilizados da dinâmica de ações de longo horizonte simultaneamente em todos os painéis:

   • Anomalia da razão de variância do modo de mercado: Um padrão de ascensão e queda no canal linear no modo de mercado.
   • Momento de fator: Razões de variância monotonicamente crescentes em modos de autovalores sub-líderes (ranks 2–3).
   • Reversão à média de longo horizonte: Razões de variância que decrescem acentuadamente em modos de autovalores profundos (ranks 24+).
   • Agrupamento de volatilidade de curto alcance: Ascensão inicial aguda na volatilidade das razões de variância.
   • Memória de volatilidade de múltiplas escalas: Um acúmulo massivo de razão de variância no canal de volatilidade do modo de mercado (atingindo $\approx 48$ em 5 anos), consistente com uma cascata multifractal.
   • Volatilidade transitória: Explosões episódicas de volatilidade em modos de autovalores profundos.
   • Concentração transversal: O espectro de volatilidade concentra-se em um único modo dominante conforme o horizonte aumenta, enquanto o espectro linear se expande.
     Os expoentes de movimento Browniano fracionário ($H_P \approx 0,52\text{--}0,57$, $H_A \approx 0,17\text{--}0,27$) permanecem estáveis através de ordenações de indústria, tamanho/valor e subamostras temporais, indicando uma especificação universal ao nível da estrutura própria.

2. Transição de Regime na Memória de Volatilidade: O artigo identifica uma quebra estrutural na memória de volatilidade das ações dos EUA ocorrendo no final da década de 1980, e não na divisão estática de metade do período em 1998.

   • Uma análise de janela móvel (janelas de 28 anos, passos de 2 anos) localiza a transição. O peso da cascata MSM no canal de volatilidade do modo de mercado ($w^{vol}_{MSM}$) aumenta monotonicamente de uma mediana de 0,30 (centrada em 1985) para 0,93 (centrada em 1991) e satura em 1,00 a partir de 1995 em diante.
   • As bandas de confiança de 90% para as janelas pré-transição (centro 1983) e pós-transição (centro 1999) são estritamente não sobrepostas.
   • A "escala de tempo de cruzamento" da cascata (duração do componente de menor frequência, $1/\gamma_1$) prolonga-se de aproximadamente 2,2 anos no período pré-1998 para 4,0 anos no período pós-1998. O painel "primeira metade" estático (1969–1997) exibe identificação fraca porque mistura esses dois regimes.

3. Inversão de $\beta$ entre Canais e Diferenças de Carga: Os autores testam a hipótese de que as assinaturas de retorno e volatilidade do fator multifractal são governadas por um único vetor de carga transversal compartilhado ($\beta_M$).

   • Um teste de inversão de $\beta$ recupera as cargas ao quadrado $|\beta_M[a]|^2$ independentemente dos canais linear e de volatilidade.
   • Os resultados rejeitam a hipótese de carga compartilhada: a correlação de Pearson entre as cargas recuperadas é significativamente negativa em três dos quatro painéis (ex: $-0,771$ na amostra total).
   • Isso implica que as características transversais que impulsionam os padrões de momento de retorno são economicamente distintas daquelas que impulsionam os padrões de persistência de volatilidade; uma única carga não pode explicar ambos os canais.

Significância
O artigo afirma fornecer a primeira decomposição da razão de variância indexada pela estrutura própria, distinguindo entre autocorrelação temporal ao longo de direções principais estáveis e a rotação transversal dessas direções. Ao separar os canais linear e de volatilidade, o framework revela que o "modo de mercado" não é uma entidade monolítica, mas um composto de mecanismos de memória distintos: um perfil de retorno de ascensão-e-queda impulsionado por componentes antipersistentes e ARFIMA, e uma cascata de volatilidade de múltiplas escalas pura.

A identificação de uma transição de regime no final da década de 1980 sugere que a estrutura de memória de longo alcance da volatilidade não é estática, mas evoluiu, estendendo o componente de cascata de menor frequência para horizontes de vários anos na era moderna. Finalmente, a rejeição da hipótesa de carga compartilhada desafia modelos que assumem que um único conjunto de fatores de risco impulsiona a dinâmica de retorno e volatilidade, sugerindo, em vez disso, que as características de indústria e tamanho/book-to-market predizem esses canais de forma independente. O framework oferece uma descrição robusta e parcimoniosa (cinco fatores) da dinâmica de ações de longo horizonte que se mantém em diferentes universos de ativos e períodos de tempo.