Dynamical structure factor with a pumping approach on a trapped-ion quantum computer

Sintesi Tecnica: Fattore di Struttura Dinamica con un Approccio di Pumping su un Computer Quantistico a Ioni Intrappolati

Definizione del Problema
Il fattore di struttura dinamica (DSF), denotato come $S(q, \omega)$, è una quantità critica nella fisica della materia condensata che descrive la risposta di un materiale allo scattering neutronico. Esso è definito come la trasformata di Fourier spazio-temporale delle correlazioni dinamiche $\langle O(x, t)O(0, 0) \rangle$. Calcolare il DSF è complesso per i computer classici perché richiede sia la ricerca di una rappresentazione dello stato fondamentale o termico, sia la simulazione della dinamica hamiltoniana nel tempo, un compito generalmente considerato BQP-hard. Sebbene i computer quantistici offrano una via per preparare stati a temperatura finita ed eseguire una dinamica hamiltoniana efficiente, gli algoritmi quantistici esistenti per calcolare il $S(q, \omega)$ si basano tipicamente sul calcolo di correlazioni dinamiche in molti punti temporali discreti e sulla successiva esecuzione di una trasformata di Fourier. Questo approccio comporta un overhead significativo in termini di campionamento (shot overhead), in particolare quando sono di interesse solo pochi valori di frequenza specifici.

Metodologia: L'Approccio di Pumping
Gli autori introducono un "approccio di pumping" che mira direttamente a specifici valori di frequenza $\omega$ senza la necessità di calcolare le correlazioni nel dominio del tempo e di eseguire una trasformata di Fourier. Il nucleo del metodo consiste nel guidare il sistema fuori dall'equilibrio utilizzando un'Hamiltoniana tempo-dipendente perturbata da un termine sorgente che oscilla alla frequenza target.

1. Configurazione dell'Hamiltoniana: Dato un'Hamiltoniana di sistema $H$ e un osservabile $O$, gli autori definiscono un'Hamiltoniana tempo-dipendente:
   $$H(t) = H - \epsilon O(0) \sin(\omega(T - t))$$
   dove $\epsilon$ è una costante di accoppiamento e $T$ è il tempo di evoluzione finale.
2. Protocollo di Misura: Il sistema viene fatto evolvere da uno stato di equilibrio iniziale (ad esempio, lo stato fondamentale) utilizzando questa Hamiltoniana tempo-dipendente. Il valore di aspettativa di un operatore nello spazio dei momenti $\hat{O}_q$ viene misurato al tempo $T$.
3. Estrazione del DSF: Misurando il sistema con accoppiamento $+\epsilon$ e $-\epsilon$, il DSF viene estratto tramite la relazione:
   $$S(q, \omega) \approx \frac{\langle \hat{O}_q(T) \rangle_\epsilon - \langle \hat{O}_q(T) \rangle_{-\epsilon}}{\epsilon(1 - e^{-\beta\omega})}$$
   Questa formula è derivata da un'espansione del primo ordine in $\epsilon$, sfruttando la relazione di dettaglio bilanciato per gli stati termici.
4. Dettagli di Implementazione:
   • Preparazione dello Stato: Per il modello di Heisenberg 1D, lo stato fondamentale viene preparato utilizzando un ansatz di ispirazione adiabatica. Il sistema viene inizializzato in uno stato Néel ed evoluto tramite un'interpolazione lineare tra un'Hamiltoniana con campo stazionario e l'Hamiltoniana di Heisenberg. I parametri sono ottimizzati classicamente tramite simulazioni di statevector su una catena di 20 siti e successivamente applicati all'hardware.
   • Evoluzione Temporale: L'operatore di evoluzione temporale è approssimato utilizzando una decomposizione di Trotter. Il circuito consiste in sequenze di porte a singolo qubit e a due qubit (specificamente porte TK2 sull'hardware Quantinuum).
   • Regolarizzazione: Poiché $T \to \infty$ non è fattibile, viene utilizzato un tempo $T$ finito, il che effettivamente convolve il vero DSF con una funzione sinc, smussando il risultato ma potenzialmente introducendo caratteristiche spurie.

Contributi Chiave

• Targeting Diretto della Frequenza: Il contributo primario è un metodo che consente ai computer quantistici di puntare direttamente a frequenze arbitrarie $\omega$, evitando il costo computazionale di campionare l'intero dominio temporale.
• Efficienza di Campionamento (Shot Efficiency): Gli autori dimostrano che per scenari che richiedono solo poche frequenze, questo approccio offre una riduzione significativa dell'overhead di campionamento rispetto ai metodi che richiedono misurazioni di correlazione nel dominio del tempo.
• Implementazione Ibrida: Il lavoro presenta un'implementazione completa su il computer quantistico a ioni intrappolati Quantinuum Reimei, integrata in un ambiente ibrido quantistico-HPC Fugaku–Reimei. L'ottimizzazione classica dei parametri di preparazione dello stato è eseguita sul supercomputer Fugaku, mentre i circuiti quantistici sono eseguiti su Reimei.

Risultati
Gli autori hanno validato il metodo utilizzando due casi:

1. Modello di Heisenberg 1D (20 siti): Il DSF è stato calcolato per una catena di 20 siti e confrontato con simulazioni prive di rumore. I risultati dell'hardware hanno mostrato un eccellente accordo con le simulazioni noiseless, ottenuto senza alcuna tecnica di mitigazione del rumore.
2. Cristallo di Solfato di Rame ($CuSO_4$): Il modello di Heisenberg 1D è noto per descrivere le eccitazioni magnetiche dei cristalli di solfato di rame. Il DSF calcolato è stato confrontato con i dati sperimentali di scattering neutronico. I risultati dell'hardware quantistico concordano molto bene con i dati sperimentali.

Specifici parametri utilizzati includevano una dimensione del sistema $L=20$, un passo di Trotter $dt=0.24$, un tempo di evoluzione totale $T=2.4$, e un accoppiamento $\epsilon=2$. La preparazione dello stato fondamentale ha utilizzato un singolo round ($R=1$) dell'ansatz ottimizzato. Lo studio ha notato che l'uso di un singolo layer dell'ansatz ha in realtà prodotto una deviazione minore dai risultati dello stato fondamentale esatto rispetto all'uso di due layer, probabilmente a causa della riduzione del numero di porte.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene che questo approccio di pumping fornisce una via pratica ed efficiente per calcolare i fattori di struttura dinamica su hardware quantistici near-term. Simulando una versione "toy model" di un esperimento di scattering neutronico, il metodo evita la necessità di complessi calcoli di correlazione in tempo reale.

Gli autori sottolineano la potenziale rilevanza di questo protocollo oltre lo scattering neutronico, specificamente per le simulazioni di Risonanza Magnetica Nucleare (NMR). In NMR, gli spettri sono spesso localizzati in modo molto stretto a specifiche frequenze, e questo metodo potrebbe offrire risparmi significativi nel tempo di esecuzione campionando frequenze fisse invece di lunghi decadimenti nel dominio del tempo.

Per quanto riguarda la scalabilità, gli autori sono modesti riguardo all'attuale vantaggio quantistico. Riconoscono che la preparazione dello stato in questo lavoro si è basata su ansatz ottimizzati classicamente derivati da simulazioni esatte di statevector, un regime in cui non esiste un vantaggio quantistico. Tuttavia, propongono che combinare il loro algoritmo DSF con metodi di preparazione dello stato classici e scalabili (come Sparse Pauli Dynamics o Matrix Product States tramite DMRG) all'interno di un framework ibrido possa eventualmente portare a un regime in cui il compito congiunto di preparazione dello stato e calcolo del fattore di struttura diventi difficile da affrontare per i soli computer classici.