Dynamical structure factor with a pumping approach on a trapped-ion quantum computer

技術要約：トラップイオン量子コンピュータにおけるポンピング法を用いた動的構造因子の計算

問題設定
動的構造因子（DSF）は、$S(q, \omega)$と表記され、中性子散乱に対する物質の応答を記述する極めて重要な量である。これは、動的相関 $\langle O(x, t)O(0, 0) \rangle$ の時空フーリエ変換として定義される。DSFの計算は、基底状態または熱状態の表現を見つけることと、ハミルトニアンのダイナミクスを時間に対してシミュレートすることの両方を必要とするため、古典コンピュータにとって困難な課題であり、一般にBQP困難であると考えられている。量子コンピュータは、有限温度状態の準備や効率的なハミルトニアン・ダイナミクスの実行への道筋を提供するが、既存の$S(q, \omega)$計算アルゴリズムの多くは、多くの離散的な時点における動的相関を計算し、その後にフーリエ変換を行うことに依存している。このアプローチは、特定の周波数値のみに関心がある場合でも、多大なショットオーバーヘッドを招く。

手法：ポンピング法
著者らは、時間領域の相関を計算してフーリエ変換を行う必要がなく、特定のターゲット周波数 $\omega$ を直接的に標的とする「ポンピング法」を導入している。この手法の核心は、ターゲットとなる周波数で振動するソース項によって摂動を与えられた、時間依存ハミルトニアンを用いて系を非平衡状態へと駆動することにある。

1. ハミルトニアンの設定: システムのハミルトニアン $H$ と観測量 $O$ が与えられたとき、著者らは以下の時間依存ハミルトニアンを定義する：
   $$H(t) = H - \epsilon O(0) \sin(\omega(T - t))$$
   ここで、$\epsilon$ は結合定数、$T$ は最終進化時間である。
2. 測定プロトコル: 系は、この時間依存ハミルトニアンを用いて初期平衡状態（例：基底状態）から進化させられる。運動量空間の演算子 $\hat{O}_q$ の期待値が時刻 $T$ において測定される。
3. DSFの抽出: 結合 $+\epsilon$ と $-\epsilon$ を用いて系を測定することにより、詳細なバランス関係（detailed balance relation）を利用した熱状態の一次展開に基づき、以下の関係式からDSFが抽出される：
   $$S(q, \omega) \approx \frac{\langle \hat{O}_q(T) \rangle_\epsilon - \langle \hat{O}_q(T) \rangle_{-\epsilon}}{\epsilon(1 - e^{-\beta\omega})}$$
4. 実装の詳細:
   • 状態準備: 1次元ハイゼンベルク模型において、基底状態は断熱近似に基づいたアンザッツを用いて準備される。系はネール状態に初期化され、交互磁場ハミルトニアンからハイゼンベルク・ハミルトニアンへの線形補間を通じて進化する。パラメータは、20サイトの鎖に対する状態ベクトルシミュレーションを用いて古典的に最適化された後、ハードウェアに適用される。
   • 時間発展: 時間発展演算子はトロッター分解を用いて近似される。回路は、連続的な単一量子ビットゲートおよび二量子ビットゲート（具体的にはQuantinuumハードウェア上のTK2ゲート）で構成される。
   • 正則化: $T \to \infty$ は実現不可能であるため、有限の $T$ が使用される。これは実質的に真のDSFをsinc関数で畳み込むことになり、結果を平滑化するものの、偽の構造を導入する可能性がある。

主な貢献

• 直接的な周波数標的化: 主要な貢献は、時間領域全体のサンプリングに伴う計算コストを回避し、任意の特定の周波数 $\omega$ を直接標的とすることを可能にする手法である。
• ショット効率: 著者らは、数個の周波数値のみが必要なシナリオにおいて、本手法が時間領域の相関測定を必要とする手法と比較して、大幅なショットオーバーヘッドの削減を実現することを実証した。
• ハイブリッド実装: 本研究は、Fugaku–Reimeiハイブリッド量子・HPC環境内で統合された、Quantinuum Reimeiトラップイオン量子コンピュータを用いた完全な実装を提示している。状態準備パラメータの古典的最適化は富岳スーパーコンピュータ上で実行され、量子回路はReimei上で実行される。

結果
著者らは、以下の2つのケースを用いて手法を検証した：

1. 1次元ハイゼンベルク模型（20サイト）: 20サイトの鎖に対してDSFを計算し、ノイズレスなシミュレーションと比較した。ハードウェアの結果は、ノイズ除去技術を一切用いずに、ノイズレスなシミュレーションと極めて良好な一致を示した。
2. 硫酸銅結晶 ($CuSO_4$): 1次元ハイゼンベルク模型は、硫酸銅結晶の磁気励起を記述するものとして知られている。計算されたDSFを実験的な中性子散乱データと比較した。量子ハードウェアによる結果は、実験データと非常によく一致した。

使用された具体的なパラメータには、システムサイズ $L=20$、トロッター・ステップサイズ $dt=0.24$、総進化時間$T=2.4$、および結合$\epsilon=2$が含まれる。基底状態の準備には、最適化されたアンザッツの単一ラウンド（$R=1$）が利用された。研究では、アンザッツの層を2層にすることよりも、1層を使用する方が、おそらくゲート数の減少により、厳密な基底状態の結果からの偏差が小さくなったことが指摘されている。

意義と主張
本論文は、このポンピング法が、近未来の量子ハードウェア上で動的構造因子を計算するための実用的かつ効率的な経路を提供すると主張している。中性子散乱実験の「玩具モデル版」を直接シミュレートすることで、この手法は複雑な実時間相関の計算を回避できる。

著者らは、このプロトコルが中性子散乱を超えて、核磁気共鳴（NMR）シミュレーションにおいても有用である可能性を強調している。NMRにおいて、スペクトルはしばしば特定の周波数に鋭く局在しており、本手法は、長い時間領域の減衰をサンプリングするのではなく、固定された周波数をサンプリングすることで、大幅な実行時間の節約を提供できる可能性がある。

スケーラビリティに関して、著者らは現在の量子優位性については控えめな姿勢をとっている。本研究における状態準備が、厳密な状態ベクトルシミュレーションから導出された古典的に最適化されたアンザッツに依存していることを認めており、これは量子優位性が存在しない領域である。しかし、彼らは、このDSFアルゴリズムを、スケーラブルな古典的状態準備法（例えば、Sparse Pauli DynamicsやDMRGによる行列積状態など）とハイブリッドフレームワーク内で組み合わせることで、状態準備と構造因子計算の共同タスクが、最終的に古典コンピュータ単独では困難な領域へと到達できると提案している。