Running coupling effects in the anti-collinear resummation in high energy evolution

Sintesi Tecnica: Effetti del accoppiamento variabile nella risommazione anti-collineare nell'evoluzione ad alta energia

Problematica
L'evoluzione della QCD ad alta energia, descritta dall'equazione JIMWLK e dal suo limite lineare BFKL, soffre di instabilità quando il proiettile e il target possiedono scale di momento trasverso molto diverse ($Q_P \ll Q_T$). In questo regime "anti-collineare", compaiono grandi logaritmi trasversi della forma $\alpha_s \ln(Q_T/Q_P)$, che rendono l'evoluzione instabile e portano a sezioni d'urto non fisiche. Un lavoro precedente (Rif. [16]) aveva stabilito un quadro per risommare questi logaritmi anti-collineari all'interno dell'Hamiltoniana JIMWLK, ma trattava la costante di accoppiamento forte $\alpha_s$ come fissa. Questo articolo affronta la critica estensione di tale framework per includere l'effetto della corsa della costante di accoppiamento QCD, $\alpha_s(\mu^2)$, che è essenziale per una descrizione realistica dell'evoluzione ad alta energia.

Metodologia
Gli autori estendono il formalismo della risommazione anti-collineare incorporando gli effetti della corsa della costante di accoppiamento in due punti distinti in cui l'accoppiamento entra nell'evoluzione:

1. Il Kernel JIMWLK: Il prefattore dell'Hamiltoniana risommata e il kernel stesso.
2. L'equazione di risommazione DGLAP: L'equazione di evoluzione per le linee di Wilson vestite (scala di risoluzione $Q$) che genera le funzioni di risommazione.

Una sfida metodologica centrale è stata determinare la scala appropriata $\mu_\star$ per la costante di accoppiamento variabile nel kernel JIMWLK. Gli autori rivisitano la scelta della scala proposta nel Rif. [1] ($\mu^2 \sim g(X^{-2})g(Y^{-2})/4\pi$) e sostengono che, sebbene adeguata per i termini dominanti, essa fallisce per configurazioni subleading dove $X^2 \gg Y^2$ (o viceversa). Analizzando l'interazione tra i diagrammi reali e virtuali e utilizzando l'equazione di evoluzione Collins-Soper-Sterman (CSS) per le Distribuzioni di Momento Trasverso (TMD), derivano una scelta di scala corretta:
$$\mu_\star^2(x, y, z) = \min(X^{-2}, Y^{-2})$$
dove $X$ e $Y$ sono le distanze trasversali dal punto di emissione alle sorgenti. Questa scelta è fisicamente motivata dal fatto che, in cinematica asimmetrica, l'accoppiamento è controllato dalla scala di distanza trasversa maggiore.

Gli autori procedono quindi a:

• Linearizzare l'Hamiltoniana JIMWLK risommata per derivare il kernel BFKL nello spazio del momento.
• Risolvere le equazioni di evoluzione di tipo DGLAP per le funzioni di risommazione $R^{(2,1)}_Q$ con accoppiamento variabile.
• Calcolare la funzione caratteristica generalizzata $\chi(n, \gamma)$ nello spazio del momento, definendola tramite l'azione del kernel sulle funzioni di test, prendendo atto del fatto che queste non sono più autovettori stretti quando $\alpha_s$ varia.
• Costruire un'espressione approssimativa in forma chiusa per la funzione Green di BFKL utilizzando una tecnica di trasformata di Borel e un'approssimazione del punto di sella per estrarre l'intercetta del Pomeron.

Contributi Chiave e Risultati

1. Determinazione della Scala e Interpretazione CSS: Il lavoro stabilisce che la scala corretta per la costante di accoppiamento variabile nel kernel anti-collineare di JIMWLK è il minimo dell'inverso del quadrato delle distanze. Questo risultato è interpretato attraverso un'evoluzione CSS modificata in cui il termine logaritmico doppio viene sottratto (poiché è già incluso nell'evoluzione JIMWLK LO), lasciando un termine logaritmico singolo che porta a un incremento dell'ampiezza del campo piuttosto che a una soppressione. Ciò risolve la contraddizione apparente tra l'evoluzione standard delle TMD e la richiesta determinazione della scala.

2. Funzione Caratteristica Generalizzata: Gli autori derivano la funzione caratteristica generalizzata $\chi(n, \gamma)$ includendo sia la risommazione anti-collineare che gli effetti della corsa della costante di accoppiamento.

   • Soppressione: In generale, la corsa della costante di accoppiamento sopprime ulteriormente la funzione caratteristica rispetto al caso a accoppiamento fisso, rallentando l'evoluzione.
   • Cancellazione Esatta a $\gamma=1$: Un risultato sorprendente e significativo è che, a $\gamma = 1$, gli effetti della corsa della costante di accoppiamento nel kernel BFKL e della corsa della costante di accoppiamento nell'equazione di risommazione DGLAP si cancellano esattamente. Di conseguenza, il valore della funzione caratteristica a $\gamma = 1$ rimane identico al risultato a accoppiamento fisso derivato nel Rif. [16]:
     $$\chi(\gamma=1) = \frac{\pi}{\alpha_s N_c} \times \begin{cases} 4/3 & n_F \neq 0 \\ 12/11 & n_F = 0 \end{cases}$$
     Questa cancellazione è non banale e avviene solo in questo punto specifico; per $\gamma < 1$, la cancellazione è solo parziale.

3. Intercetta del Pomeron: Utilizzando un'approssimazione del punto di sella sulla funzione Green derivata, gli autori calcolano l'intercetta del Pomeron $\omega_P$ nel regime anti-collineare.

   • Essi trovano che gli effetti combinati della risommazione anti-collineare e della corsa della costante di accoppiamento riducono significativamente l'intercetta.
   • I risultati numerici indicano che l'intercetta può scendere a valori intorno a $\omega_P \sim 0.3$, un valore fenomenologicamente consistente con il "Pomeron duro" osservato sperimentalmente.
   • La riduzione dovuta alla corsa della costante di accoppiamento è risultata essere circa due volte superiore alla riduzione dovuta alla sola risommazione anti-collineare a accoppiamento fisso.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento rivendica di fornire un quadro coerente per studiare l'evoluzione ad alta energia dove sia i grandi logaritmi anti-collineari che la corsa della costante di accoppiamento sono trattati simultaneamente. Gli autori sottolineano che il loro approccio cattura i principali effetti numerici della risommazione mantenendo al contempo una relativa semplicità.

Essi notano che la cancellazione esatta a $\gamma=1$ solleva questioni riguardanti la conservazione del momento nelle teorie conformi (dove si attende $\chi(1) = \pi/\alpha_s N_c$), suggerendo che la discrepanza nel loro risultato (che è leggermente inferiore per $n_F=0$) possa derivare dal trattare la cascata DGLAP come puntiforme in rapidità anziché tener conto della sua estensione finita. Riconoscono che il loro calcolo dell'intercetta del Pomeron è "semi-quantitativo" a causa dei problemi di diffusione nell'infrarosso e della necessità di tagliare i contributi non perturbativi, ma sostengono che i loro risultati dimostrino robustamente il significativo rallentamento dell'evoluzione causato da questi effetti combinati.

Il lavoro serve come un passo necessario verso una comprensione più completa dell'evoluzione della QCD ad alta energia, colmando il divario tra i formalismi di risommazione a accoppiamento fisso e i requisiti fenomenologici degli effetti della corsa della costante di accoppiamento.