A multiplicity theorem for a class of nonlocal elliptic equations involving even nonlinearities

Sintesi Tecnica: Un Teorema di Molteplicità per Equazioni Ellittiche Non Locali con Non Linearità Pari

Enunciato del Problema
L'articolo investiga un problema al contorno di Dirichlet per una classe di equazioni ellittiche non locali su un dominio liscio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. Il problema, indicato come $(P)$, è formulato come:
$$\begin{cases} -\Delta u = Q\left(\int_{\Omega} F(x, u(x))dx\right) f(x, u) + g(x, u) & \text{in } \Omega \\ u = 0 & \text{su } \partial\Omega \end{cases}$$
Qui, $F(x, t) = \int_0^t f(x, s)ds$, e il termine non locale deriva dalla funzione $Q$ che dipende dall'integrale di $F$ sul dominio. Lo studio si concentra sull'esistenza di soluzioni deboli in uno spazio di Sobolev $H^1_0(\Omega)$. L'obiettivo primario è stabilire le condizioni sotto le quali il problema ammette almeno tre soluzioni distinte per parametri $\lambda$ compresi in un opportuno intervallo aperto.

Metodologia e Framework Funzionale
L'autore utilizza metodi variazionali, nello specifico facendo uso della teoria dei punti critici. Le soluzioni deboli di $(P)$ sono identificate come punti critici del funzionale dell'energia $\Phi: H^1_0(\Omega) \to \mathbb{R}$, definito come:
$$\Phi(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 - J(u)$$
dove $\|u\|$ è la norma standard in $H^1_0(\Omega)$, e $J(u)$ incorpora il termine non locale e la perturbazione $g$.

Il nucleo della dimostrazione si basa su una disuguaglianza minimax stretta e un teorema per tre punti critici (riferito come Teorema 3 in [2]). La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

1. Costruzione di un Funzionale Ausiliario: L'autore introduce un funzionale $P(u, \lambda)$ che coinvolge una funzione $\alpha$ strettamente convessa, una funzione $\gamma$ continua e dispari, e il termine integrale non locale.
2. Verifica della Disuguaglianza Minimax: L'ostacolo tecnico centrale è la dimostrazione della stretta disuguaglianza:
   $$\sup_{\lambda \in \mathbb{R}} \inf_{u \in H^1_0(\Omega)} P(u, \lambda) < \inf_{u \in H^1_0(\Omega)} \sup_{\lambda \in \mathbb{R}} P(u, \lambda)$$
   Ciò viene ottenuto per contraddizione. L'autore assume l'uguaglianza e dimostra che il risultante punto di sella $(u^*, \lambda^*)$ conduce a un'incoerenza logica. Nello specifico, la dimostrazione utilizza le proprietà di simmetria delle funzioni (parità di $f$, disparietà di $\gamma$) e la stretta convessità di $\alpha$ per mostrare che, se una soluzione esistesse sotto l'ipotesi di uguaglianza, essa debba essere banale ($u^*=0$), il che contraddice la costruzione del funzionale per parametri elevati.
3. Coercitività e Continuità: La dimostrazione stabilisce che il funzionale $u \mapsto \sup_{\lambda} P(u, \lambda)$ è sequenzialmente debolmente semicontinuo inferiore e coercitivo. Ciò garantisce l'esistenza di minimizzatori e permette l'applicazione dell'astratto teorema dei punti critici.
4. Perturbazione da parte di $g$: Il passaggio finale consiste nell'aggiungere un termine di perturbazione $g \in \mathcal{A}$ (una classe di funzioni di Carathéodory con specifiche condizioni di crescita). L'autore dimostra che se l'oscillazione della primitiva di $g$ è sufficientemente piccola (limitata dalla costante $\epsilon^*_\mu$), la disuguaglianza minimax stretta è preservata, garantendo la molteplicità delle soluzioni.

Assunzioni Principali
Il risultato principale (Teorema 1) richiede le seguenti condizioni:

• Non linearità $f$: $f(x, \cdot)$ deve essere pari per quasi ogni $x$, e l'insieme in cui $f$ è non nullo deve avere misura positiva. Inoltre, $F(x, t)$ deve soddisfare una condizione di crescita sub-quadratica all'infinito ($\lim_{|t|\to\infty} \sup |F(x,t)|/t^2 = 0$).
• Non linearità $\gamma$: $\gamma$ è continua, dispari, si annulla solo in 0, e la sua primitiva soddisfa un vincolo di crescita lineare.
• Funzione Convessa $\alpha$: $\alpha$ è strettamente convessa, derivabile, con $\alpha(0)>0$, $\alpha'(0)=0$, $\alpha'(R)=R$.
• Parametro $\mu$: Il parametro $\mu$ deve essere sufficientemente grande.
• Perturbazione $g$: La differenza tra l'integrale del supremo e l'integrale dell'infimo della primitiva di $g$ deve essere minore di una specifica soglia $\epsilon^*_\mu$.

Risultati Principali
L'articolo dimostra il Teorema 1, il quale afferma che, sotto le suddette assunzioni, esiste una soglia $\epsilon^*_\mu > 0$ tale che per ogni perturbazione $g$ che soddisfi la condizione di piccolezza, esiste un intervallo aperto $A \subseteq \mathbb{R}$ e un raggio $\rho > 0$. Per ogni $\lambda \in A$, il problema $(P)$ possiede almeno tre soluzioni deboli in $H^1_0(\Omega)$, tutte con norme strettamente minori di $\rho$.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo si pone come una "nota molto breve" volta a dimostrare un specifico risultato di molteplicità per problemi non locali con non linearità pari.

• Novità: L'autore dichiara esplicitamente nella Remark 1 di "non essere a conoscenza di risultati noti abbastanza vicini al Teorema 1 da poter effettuare un confronto adeguato". Ciò suggerisce che il risultato colma una lacuna nella letteratura riguardante la specifica combinazione di termini non locali, non linearità pari e molteplicità di tre soluzioni tramite disuguaglianze minimax strette.
• Ambito: Il lavoro è puramente teorico, focalizzato sull'esistenza di soluzioni all'interno del framework variazionale. Non propone metodi numerici, applicazioni fisiche specifiche o future direzioni sperimentali. La significatività risiede nell'estensione della teoria dei punti critici a una specifica classe di equazioni ellittiche non locali dove la non linearità esibisce simmetria pari.