Determination of the $\eta$-$\eta^{\prime}$ Mixing Angle from $F_{\eta^{(\prime)}\gamma}(Q^2)$ within the Self-consistent Light-front Quark Model

Sintesi Tecnica: Determinazione dell'angolo di miscelazione $\eta$-$\eta'$ da $F_{\eta(\prime)\gamma}(Q^2)$ all'interno del Modello di Quark su Fronti di Luce Auto-consistente

Enunciato del Problema
I mesoni $\eta$ ed $\eta'$ fungono da sonde critiche della QCD non perturbativa, in particolare riguardo alla rottura spontanea della simmetria chirale, alla rottura della simmetria di sapore $SU(3)$ e all'anomalia assiale $U_A(1)$. A differenza degli autostati di sapore quark-antiquark puri, questi stati fisici sono miscele di componenti non stranghe ($|u\bar{u} + d\bar{d}\rangle/\sqrt{2}$) e strange ($|s\bar{s}\rangle$). Sebbene lo schema di miscelazione del sapore quark (Feldmann-Kroll-Stech o FKS) descriva con successo questi stati utilizzando un singolo angolo di miscelazione $\theta$ e due costanti di decadimento, la determinazione precisa di $\theta$ rimane oggetto di indagine. Misurazioni recenti, come quelle di LHCb nei decadimenti $B^0_{(s)} \to J/\psi \eta^{(\prime)}$, forniscono valori di riferimento precisi, ma determinazioni indipendenti tramite i fattori di forma di transizione (TFF) sono necessarie per validare lo schema di miscelazione attraverso diversi osservabili.

Metodologia
L'autore impiega il Modello di Quark su Fronti di Luce (LFQM) auto-consistente combinato con lo schema di miscelazione del sapore quark. Le caratteristiche metodologiche chiave includono:

• Framework: Il modello utilizza un insieme comune di funzioni d'onda su fronti di luce per le componenti non stranghe ($\eta_q$) e strange ($\eta_s$). La formulazione è "auto-consistente" basata sulla sostituzione $M \to M_0$, che migliora il trattamento della covarianza e dei contributi del modo zero nelle costanti di decadimento e nelle ampiezze di distribuzione.
• Funzioni d'Onda: Le funzioni d'onda radiali sono modellate utilizzando una forma Gaussiana, con masse dei quark costituenti ($m_q, m_s$) e parametri Gaussiani ($\beta_{q\bar{q}}, \beta_{s\bar{s}}$) fissati da studi precedenti su mesoni pseudoscalari e vettoriali.
• Fattori di Forma di Transizione (TFF): L'autore calcola i TFF $F_{\eta\gamma}(Q^2)$ e $F_{\eta'\gamma}(Q^2)$ come funzioni dell'angolo di miscelazione $\theta$. I TFF sono derivati dalla sovrapposizione delle funzioni d'onda su fronti di luce con la corrente elettromagnetica, separando i contributi non stranghi e stranghi che vengono poi miscelati tramite $\theta$.
• Analisi dei Dati: Viene eseguita una scansione $\chi^2$ combinata utilizzando i dati sperimentali dei TFF delle collaborazioni CLEO e BABAR (coprendo l'intervallo $2 < Q^2 < 40$ GeV$^2$). La quantità $Q^2 F_{P\gamma}(Q^2)$ viene confrontata tra teoria ed esperimento per estrarre l'angolo di miscelazione ottimale.

Contributi Chiave e Risultati

1. Estrazione dell'Angolo di Miscelazione: L'analisi $\chi^2$ combinata fornisce un angolo di miscelazione di miglior adattamento pari a $\theta = 41,5^\circ$. Questo valore è in stretto accordo con il recente risultato di LHCb di 41,6^{+1,0}_{-1,2}^\circ, validando lo schema di miscelazione del sapore quark all'interno del framework LFQM.
2. Costanti di Decadimento: Utilizzando $\theta = 41,5^\circ$, le costanti di decadimento non strange e strange sono calcolate come $f_q = 0,131 \pm 0,006$ GeV e $f_s = 0,174 \pm 0,004$ GeV. La costante strange $f_s$ si allinea bene con le aspettative FKS, mentre $f_q$ è leggermente più piccola del valore FKS, ciò che è attribuito all'uso nel modello di masse dei quark non strange isospin-simmetriche.
3. Amplitudini di Distribuzione su Fronti di Luce (LCDAs): Le LCDAs a twist principale per entrambi i mesoni risultano simmetriche rispetto a $x=1/2$ e leggermente più strette della forma asintotica ($6x(1-x)$), con regioni di endpoint soppresse.
4. Momenti e Struttura:
   • Momenti di Gegenbauer: Il secondo momento di Gegenbauer per il mesone $\eta$ è calcolato come $a_2^\eta = -0,034^{+0,023}_{-0,024}$, coerente con le analisi di BABAR e Kroll. Il momento per $\eta'$ è $a_2^{\eta'} = -0,059^{+0,022}_{-0,023}$.
   • Momenti $\xi$: Il secondo momento $\xi$ è $\langle \xi^2 \rangle_\eta = 0,188 \pm 0,008$, in accordo con i fit di BABAR e Kroll.
   • Momento Trasversale: Il mesone $\eta'$ esibisce momenti di momento trasversale leggermente maggiori rispetto all' $\eta$, riflettendo la sua maggiore componente di quark strange e una distribuzione più localizzata.
5. Proprietà Elettromagnetiche:
   • Raggi: I raggi di interazione elettromagnetica sono predetti come $r_\eta = 0,666^{+0,030}_{-0,029}$ fm e $r_{\eta'} = 0,610^{+0,028}_{-0,025}$ fm. Questi valori mostrano un eccellente accordo con le misurazioni delle collaborazioni A2 e BESIII.
   • Larghezze di Decadimento a Due Fotoni: Le larghezze predette sono $\Gamma(\eta \to \gamma\gamma) = 0,43(3)$ keV e $\Gamma(\eta' \to \gamma\gamma) = 3,08(28)$ keV. Questi valori sono leggermente inferiori ai dati sperimentali ($0,516(18)$ keV e $4,35(14)$ keV, rispettivamente).

Significato e Rivendicazioni
Il lavoro dimostra che i dati TFF forniscono forti vincoli sulla descrizione su fronti di luce delle proprietà non perturbative del sistema $\eta$-$\eta'$. La coerenza tra l'angolo di miscelazione derivato dai TFF e quello derivato dai decadimenti di mesoni pesanti supporta l'applicabilità dello schema di miscelazione del sapore quark nel LFQM auto-consistente.

L'autore nota con modestia una discrepanza nelle larghezze di decadimento a due fotoni. Egli attribuisce ciò alla mancanza di vincoli sperimentali diretti sul valore del fotone reale $F_{\eta(\prime)\gamma}(0)$ nei dati di fit, costringendo il modello a fare affidamento sull'estrapolazione. Di conseguenza, le larghezze predette sono inferiori ai valori sperimentali. Il documento conclude che, sebbene il LFQM auto-consistente offra una descrizione coerente della struttura interna del sistema (raggi, momenti e TFF), la deviazione nelle larghezze di decadimento può indicare i limiti dello schema di miscelazione a singolo angolo o richiedere ulteriori esami tramite misurazioni future.