Determination of the $\eta$-$\eta^{\prime}$ Mixing Angle from $F_{\eta^{(\prime)}\gamma}(Q^2)$ within the Self-consistent Light-front Quark Model

Resumo Técnico: Determinação do Ângulo de Mistura $\eta$-$\eta'$ a partir de $F_{\eta(\prime)\gamma}(Q^2)$ dentro do Modelo de Quarks de Frontes de Luz Autoconsistente

Enunciado do Problema
Os mésons $\eta$ e $\eta'$ servem como sondas críticas da Cromodinâmica Quântica (QCD) não perturbativa, particularmente no que diz respeito à quebra espontânea da simetria quiral, a quebra de simetria de sabor $SU(3)$ e a anomalia axial $U_A(1)$. Diferentemente dos estados puros de sabor quark-antiquark, estes estados físicos são misturas de componentes não estranhos ($|u\bar{u} + d\bar{d}\rangle/\sqrt{2}$) e estranhos ($|s\bar{s}\rangle$). Embora o esquema de mistura de sabor de quarks (Feldmann-Kroll-Stech ou FKS) descreva com sucesso estes estados usando um único ângulo de mistura $\theta$ e duas constantes de decaimento, a determinação precisa de $\theta$ permanece um objeto de investigação. Medições recentes, como as do LHCb em decaimentos $B^0_{(s)} \to J/\psi \eta^{(\prime)}$, fornecem valores de referência precisos, mas determinações independentes usando fatores de forma de transição (TFFs) são necessárias para validar o esquema de mistura em diferentes observáveis.

Metodologia
O autor utiliza o Modelo de Quarks de Frontes de Luz (LFQM) autoconsistente combinado com o esquema de mistura de sabor de quarks. As principais características metodológicas incluem:

• Estrutura: O modelo utiliza um conjunto comum de funções de onda de fronte de luz para os componentes não estranhos ($\eta_q$) e estranhos ($\eta_s$). A formulação é "autoconsistente" baseada na substituição $M \to M_0$, o que melhora o tratamento da covariância e das contribuições de modo zero nos decaimentos e amplitudes de distribuição.
• Funções de Onda: As funções de onda radiais são modeladas usando uma forma Gaussiana, com massas de quarks constituintes ($m_q, m_s$) e parâmetros Gaussianos ($\beta_{q\bar{q}}, \beta_{s\bar{s}}$) fixados a partir de estudos anteriores de mésons pseudoscalares e vetoriais.
• Fatores de Forma de Transição (TFFs): O autor calcula os TFFs $F_{\eta\gamma}(Q^2)$ e $F_{\eta'\gamma}(Q^2)$ como funções do ângulo de mistura $\theta$. Os TFFs são derivados da sobreposição das funções de onda de fronte de luz com a corrente eletromagnética, separando as contribuições não estranhas e estranhas, que são então misturadas via $\theta$.
• Análise de Dados: Uma varredura combinada de $\chi^2$ é realizada utilizando dados experimentais de TFF das colaborações CLEO e BABAR (cobrindo $2 < Q^2 < 40$ GeV$^2$). A quantidade $Q^2 F_{P\gamma}(Q^2)$ é comparada entre teoria e experimento para extrair o ângulo de mistura ideal.

Principais Contribuições e Resultados

1. Extração do Ângulo de Mistura: A análise combinada de $\chi^2$ produz um ângulo de mistura de melhor ajuste de $\theta = 41,5^\circ$. Este valor está em estreito acordo com o resultado recente do LHCb de 41,6^{+1,0}_{-1,2}^\circ, validando o esquema de mistura de sabor de quarks dentro da estrutura do LFQM.
2. Constantes de Decaimento: Usando $\theta = 41,5^\circ$, as constantes de decaimento não estranna e estranha são calculadas como $f_q = 0,131 \pm 0,006$ GeV e $f_s = 0,174 \pm 0,004$ GeV. A constante estranha $f_s$ alinha-se bem com as expectativas do FKS, enquanto $f_q$ é ligeiramente menor que o valor do FKS, atribuído ao uso pelo modelo de massas de quarks não estranhos com simetria de isospin.
3. Amplitudes de Distribuição de Cone de Luz (LCDAs): As LCDAs de twist líder para ambos os mésons são encontradas como simétricas em torno de $x=1/2$ e ligeiramente mais estreitas que a forma assintótica ($6x(1-x)$), com regiões de extremidade suprimidas.
4. Momentos e Estrutura:
   • Momentos de Gegenbauer: O segundo momento de Gegenbauer para o méson $\eta$ é calculado como $a_2^\eta = -0,034^{+0,023}_{-0,024}$, consistente com as análises de BABAR e Kroll. O momento do $\eta'$ é $a_2^{\eta'} = -0,059^{+0,022}_{-0,023}$.
   • Momentos-$\xi$: O segundo momento-$\xi$ é $\langle \xi^2 \rangle_\eta = 0,188 \pm 0,008$, concordando com os ajustes de BABAR e Kroll.
   • Momento Transversal: O méson $\eta'$ exibe momentos de momento transversal ligeiramente maiores que o $\eta$, refletindo seu maior componente de quark estranho e uma distribuição mais localizada.
5. Propriedades Eletromagnéticas:
   • Raios: Os raios de interação eletromagnética são previstos como $r_\eta = 0,666^{+0,030}_{-0,029}$ fm e $r_{\eta'} = 0,610^{+0,028}_{-0,025}$ fm. Estes valores mostram excelente concordância com medições das colaborações A2 e BESIII.
   • Larguras de Decaimento de Dois Fótons: As larguras previstas são $\Gamma(\eta \to \gamma\gamma) = 0,43(3)$ keV e $\Gamma(\eta' \to \gamma\gamma) = 3,08(28)$ keV. Estes valores são um pouco menores que os dados experimentais ($0,516(18)$ keV e $4,35(14)$ keV, respectivamente).

Significância e Alegações
O artigo demonstra que os dados de TFF fornecem fortes restrições sobre a descrição de fronte de luz das propriedades não perturbativas do sistema $\eta$-$\eta'$. A consistência entre o ângulo de mistura derivado de TFFs e aquele derivado de decaimentos de mésons pesados apoia a aplicabilidade do esquema de mistura de sabor de quarks no LFQM autoconsistente.

O autor nota modestamente uma discrepância nas larguras de decaimento de dois fótons. Ele atribui isso à falta de restrições experimentais diretas sobre o valor do fóton real $F_{\eta(\prime)\gamma}(0)$ nos dados de ajuste, forçando o modelo a depender de extrapolação. Consequentemente, as larguras previstas são menores que os valores experimentais. O artigo conclui que, embora o LFQM autoconsistente ofereça uma descrição coerente da estrutura interna do sistema (raios, momentos e TFFs), o desvio nas larguras de decaimento pode indicar limitações do esquema de mistura de ângulo único ou requerer exame adicional via medições futuras.