Optimal stability of Dirichlet problem for the regional fractional $p$-Laplacian

Sintesi Tecnica: Stabilità Ottimale del Problema di Dirichlet per il $p$-Laplaciano Frazionale Regionale

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga il comportamento asintotico del problema ai valori al contorno di Dirichlet associato al $p$-laplaciano frazionale regionale, denotato con $(-\Delta)^s_{p,\Omega}$, al tendere il parametro frazionario $s$ all'unità dall'basso ($s \to 1^-$). Il problema è definito su un dominio Lipschitziano limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ con $1 < p < \infty$ e $sp > 1$. L'equazione è data da:
$$\begin{cases} (-\Delta)^s_{p,\Omega} u_s = f_s & \text{in } \Omega, \\ \gamma^s_0(u_s) = g_s & \text{su } \partial\Omega, \end{cases}$$
dove $\gamma^s_0$ è l'operatore di traccia che mappa $W^{s,p}(\Omega)$ nello spazio di traccia frazionario $W^{s-1/p,p}(\partial\Omega)$. L'operatore è normalizzato da una costante $C_{d,p,s}$ per garantire un comportamento asintotico coerente quando $s \to 1^-$ (recuperando il classico $p$-laplaciano $-\Delta_p$) e quando $s \to 0^+$.

L'obiettivo primario è stabilire la stabilità ottimale (convergenza forte nello spazio naturale di energia) delle soluzioni deboli $u_s$ alla soluzione limite $u_1$ per $s \to 1^-$. Un obiettivo secondario è analizzare la stabilità asintotica delle coppie di Dirichlet $(\lambda_s, \phi_s)$ associate.

Metodologia e Framework
L'analisi si basa su diverse componenti tecniche chiave:

1. Definizioni di Convergenza Asintotica: Poiché gli spazi sottostanti $W^{s,p}_0(\Omega)$ e gli spazi di traccia variano con $s$, la convergenza debole standard è insufficiente. L'autore introduce:

   • Convergenza Debole Asintotica: Una sequenza di funzionali $(f_s)$ converge debolmente in modo asintotico a $f_1$ se rimane limitata e soddisfa una proprietà di convergenza debole-forte rispetto a sequenze che convergono fortemente in $L^p$.
   • Convergenza Forte Asintotica: I dati al contorno $(g_s)$ convergono fortemente a $g_1$ nelle norme di traccia appropriate.

2. Interpolazione Robusta e Compattezza: La dimostrazione utilizza disuguaglianze di interpolazione robuste (prese da Foghem [19]) per stabilire la compattezza della sequenza di soluzioni $(u_s)$ in $W^{\eta,p}(\Omega)$ per $1/p < \eta < 1$. Questa compattezza è cruciale per gestire il comportamento al contorno, che è stato notato come una difficoltà significativa.

3. Asintotica degli Spazi di Traccia: Una parte sostanziale del lavoro è dedicata alle proprietà asintotiche degli spazi di traccia $W^{s-1/p,p}(\partial\Omega)$. L'autore dimostra che questi spazi convergono allo spazio di traccia classico $W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)$ per $s \to 1^-$. Ciò include l'instaurazione della compattezza asintotica di famiglie limitate in questi spazi di traccia e la fornitura di una caratterizzazione di $W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)$ tramite il $\liminf$ delle norme.

4. Disuguaglianze di Poincaré-Friedrichs Robuste: L'articolo stabilisce diverse varianti di disuguaglianze di tipo Poincaré robuste che valgono uniformemente per $s$ vicino a 1. Queste disuguaglianze sono essenziali per dimostrare la coercitività dei funzionali di energia e la ben imposta del problema.

5. $\Gamma$-Convergenza: Gli funzionali di energia associati al problema di Dirichlet sono mostrati convergere in $\Gamma$ nella topologia forte di $W^{\eta,p}(\Omega)$. Ciò fornisce un framework variazionale per la convergenza dei minimizzatori.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 1.1 (Stabilità Ottimale delle Soluzioni): Sotto le assunzioni di convergenza debole asintotica per il termine sorgente $f_s$ e di convergenza forte asintotica per i dati al contorno $g_s$, la sequenza di soluzioni deboli $u_s$ converge fortemente alla soluzione debole unica $u_1$ del problema limite nel senso ottimale:
  $$\lim_{s \to 1^-} \|u_s - u_1\|_{W^{s,p}(\Omega)} = 0.$$
  Questo risultato migliora i risultati precedenti (ad esempio, Foghem [19]) che stabilivano solo la convergenza in $W^{\eta,p}(\Omega)$ per $\eta < 1$.

• Teorema 1.2 (Stabilità delle Coppie di Autovettori): Per le coppie di autovettori di Dirichlet $(\lambda_s, \phi_s)$ normalizzate del $p$-laplaciano frazionale regionale, esiste una sottosequenza $s_n \to 1^-$ tale che gli autovalori convergano ($\lambda_{s_n} \to \lambda_1$) e gli autofunzioni convergano fortemente nella norma di energia:
  $$\lim_{n \to \infty} \|\phi_{s_n} - \phi_1\|_{W^{s_n,p}(\Omega)} = 0.$$

• Caratterizzazione dello Spazio di Traccia (Teoremi 3.3 & 3.4): L'articolo stabilisce la compattezza asintotica degli spazi di traccia $W^{s-1/p,p}(\partial\Omega)$ e caratterizza lo spazio limite $W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)$ tramite la limitatezza del $\liminf$ delle norme frazionarie.

• Disuguaglianze Robuste (Sezione 4): L'autore deriva disuguaglianze di Poincaré e Friedrichs robuste che valgono uniformemente per $s \in (s_0, 1)$, inclusi i casi con condizioni al contorno parziali su un sottoinsieme $\Gamma_0 \subset \partial\Omega$ con misura di Hausdorff positiva.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene che la convergenza delle soluzioni deboli per il problema di Dirichlet associato al $p$-laplaciano frazionale regionale è un risultato nuovo. La significatività risiede nel raggiungere la convergenza ottimale (convergenza forte nella norma $W^{s,p}$) piuttosto che la convergenza più debole in $W^{\eta,p}$ per $\eta < 1$ stabilita nella letteratura precedente.

L'autore sottolinea che la principale difficoltà in questa analisi deriva dal comportamento delle soluzioni deboli vicino al bordo $\partial\Omega$. Stabilendo la robustezza dell'operatore di traccia e le proprietà asintotiche degli spazi di traccia, l'articolo supera questo ostacolo. I risultati fungono da ponte tra problemi variazionali non locali e problemi locali classici, fornendo una base rigorosa per il limite $s \to 1^-$ nel contesto degli operatori regionali con condizioni al contorno disomogenee. Il lavoro contribuisce inoltre alla letteratura sulle asintotiche nonlocal-to-local estendendo i risultati dal pieno $p$-laplaciano frazionale (definito su $\mathbb{R}^d$) al caso regionale (definito su un dominio limitato).