Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

本論文は、カスケード型変分量子固有値ソルバーアルゴリズムを用いて量子コンピュータ上で非ユニタリーなジャストロウ・グッツウィラー演算子を実装する新たな手法を提示し、ハバードモデルに対してIBM Q Lagosデバイスを用いた実験的実証を行ったものである。

要約

複雑な料理、例えばスフレの完璧なレシピを見つけようとしていると想像してください。基本的な材料（原子）はわかっていますが、素晴らしいスフレの秘密は、焼いている間にそれらの材料が互いにどのように相互作用するかにかかっています。それらの相互作用を無視すれば、料理はぺしゃんこで味気ないものになってしまいます。

量子物理学の世界では、科学者たちはシステム（物質中の電子など）の最低エネルギー状態に対する「完璧なレシピ」を見つけようとしています。これは「基底状態」と呼ばれます。

以下は、日常的なアナロジーを用いた、この論文が何を行っているかの簡単な解説です。

1. 問題点：「非ユニタリ」なシェフ

量子コンピュータは、驚くほど速い一方で非常に繊細なシェフのようなものです。古典コンピュータでは処理できない膨大な数の可能性（ヒルベルト空間）を探求することができます。しかし、落とし穴があります。

最高のレシピを得るために、科学者たちはヤストロウ・ガッツウィラー演算子と呼ばれる特別なツールを使いたがります。このツールは、複雑な多成分相互作用を混合物に加える「風味増強剤」と考えてください。

• 問題点: この風味増強剤は「非ユニタリ」です。量子用語で言えば、これはキッチンのルールを破る調理工程のようなものです。標準的な量子コンピュータで単にボタンを押してこれを行うことはできません。まるでケーキを焼く前にまず「焼き戻し」をしようとするようなものです。これを直接実装するのは数学的に困難です。

2. 解決策：「カスケード型」の組立ライン

著者たちは、このツールを使用する新しい方法として、**カスケード型変分量子固有値ソルバー（CVQE）**を提案しています。

量子コンピュータに一度に不可能な「非ユニタリ」な工程を強いるのではなく、彼らはプロセスを組立ラインのように 2 つの部分に分割します。

• パート A（ユニタリなシェフ）: 量子コンピュータは、ルールに従った標準的な調理を行います。それは「サウレス演算子」と呼ばれるものを使って、材料を良い出発形に再配置します。
• パート B（風味増強剤）: 「非ユニタリ」な風味増強剤（ヤストロウ・ガッツウィラー演算子）は、異なる方法で処理されます。これを量子回路に焼き込む代わりに、著者たちはこの特定の部分の重労働を古典コンピュータ（通常のラップトップ）に移管します。

アナロジー: 家を建てていると想像してください。量子コンピュータはレンガを完璧に積むロボットアームです。「風味増強剤」は塗料と壁紙です。ロボットアームがレンガを積んでいる間に塗料を塗ろうとする（それはうまくいきません）のではなく、ロボットがレンガを積み、その後、ロボットが測定したデータに基づいて人間のペインター（古典コンピュータ）が塗料を塗ります。彼らは完璧な家を得るためにループの中で協力して働きます。

3. 検証：「ハバードモデル」

この手法が機能することを証明するために、チームはハバードモデルと呼ばれる有名な物理学の謎に彼らの手法をテストしました。

• それは何か？ 電子（ゲスト）が飛び回ることができる小さな島（サイト）のグリッドと考えてください。時折、2 人のゲストが同じ島に座ろうとし、「混雑」問題（相互作用）を引き起こします。
• 設定: 彼らは正方形と三角形の 2 つの形状で、それぞれ 4 つのスポットを持つものをテストしました。
• 目標: 彼らは、特にグリッドが「半充填」（4 つのスポットに 2 人のゲスト）されている場合の、これらの電子の最低エネルギー状態を見つけたいと考えていました。

4. 結果：実機対シミュレーション

彼らはIBM Q ラゴスと呼ばれる実際の量子コンピュータ（7 つの量子ビット、すなわち「量子ビット」を持つ）で実験を行いました。

• 課題: 実際の量子コンピュータはノイズがあります。まるで風の強い部屋でささやきを聞こうとするようなものです。彼らが得たデータは「ノイズ」があり、結果が完全に鮮明ではありませんでした。
• トリック: 結果をより明確にするために、彼らは巧妙なショートカットを使用しました。電子には「スピン」（上または下）があるため、彼らは量子コンピュータを「スピンアップ」の電子のみに実行し、「スピンダウン」のものを古典コンピュータでシミュレートしました。これにより必要な量子ビットの数を半分に減らし、ノイズを大幅に低減しました。
• 結果:
  • 彼らの手法（彼らのチャートにおける緑色とオレンジ色の線）は、「正確な」答え（赤い破線）に非常に近づきました。これはスーパーコンピュータで数学を完璧に解いた場合に得られるものです。
  • 実際の機械からのノイズがあったにもかかわらず、彼らのアプローチは単なる推測よりもよく機能しました。
  • 彼らは、複雑な「風味増強剤」の部分を古典コンピュータに移すことで、追加の複雑な量子ハードウェアを必要とせずに正確な結果を得られることを示しました。

まとめ

この論文は、量子コンピュータに粒子間の複雑な相互作用を処理する方法を教える新しい手法を実証しています。量子コンピュータに数学的に禁止された動きを強いる代わりに、彼らは仕事を分割しました。量子コンピュータは物理的な再配置を行い、通常のコンピュータが複雑な相関数学を処理します。彼らは、小さなグリッド上の電子に関する謎を解くことで、実在するノイズのある機械上でこれが機能することを証明し、驚くほど完璧な理論的な答えに近い結果を得ました。

技術概要

技術的概要：カスケード型変分量子固有値ソルバーを用いた量子コンピュータ上でのジャストロー・グッツウィラー演算子の実装

問題提起
量子コンピュータは、古典コンピュータではしばしば計算不可能な量子系の基底状態を決定するために、指数関数的に大きなヒルベルト空間にアクセスする可能性を提供する。変分量子固有値ソルバー（VQE）のような変分アルゴリズムは、短い回路深度により近未来のデバイスにとって有望であるが、アンサッツの選択に大きく依存する。変分状態を改善するための強力なアプローチとして、ジャストロー・グッツウィラー演算子の使用がある。これは、試行状態に多体相関（具体的には密度 - 密度相関と二重占有軌道の制限）を追加するものである。しかし、ジャストロー・グッツウィラー演算子は非ユニタリである。この非ユニタリ性は、本質的にユニタリ進化を通じて動作する量子コンピュータでの直接実装にとって重大な課題である。既存の方法は、この非ユニタリ性を処理するために補助量子ビットや近似を必要とすることが多く、これにより回路深度と複雑さが現在のハードウェアの能力を超えて増加する可能性がある。

手法
著者らは、**カスケード型変分量子固有値ソルバー（CVQE）**アルゴリズムを用いた、ジャストロー・グッツウィラー演算子の新しい実装を提案する。彼らの手法の核心は、$\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$ という形式のアンサッツにある。ここで：

• $\hat{U}$ は、1 体ヒルベルト空間における基底変換を行うユニタリ・スーレス演算子である（例えば、フォック状態をフェルミ海に変換する）。
• $\hat{G}(\theta)$ は非ユニタリなジャストロー・グッツウィラー演算子であり、$\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$ と定義される。ここで、$\hat{n}_q$ は数演算子、$\theta_{qq'}$ は変分パラメータである。

重要な革新点は、エネルギーの期待値 $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$ の計算方法にある。$\hat{G}(\theta)$ は占有数基底に対して対角であるため、著者らは、演算子積における指数項を、量子コンピュータ上で指数関数をパウリストリングの和に展開する必要ではなく、測定結果に基づいて古典的に評価できることを示している。

手順は以下の通りである：

1. 状態準備：ユニタリ演算子 $\hat{f}$ の分解から導出された基本の単一量子ビットおよび 2 量子ビットゲートで構成される量子回路を用いて、初期状態 $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ を準備する。
2. 測定：計算基底（または運動エネルギー項のために回転された基底）で系を測定し、占有数を取得する。
3. 古典的後処理：測定された占有数を用いて、$\hat{G}(\theta)$ および $\hat{G}^2(\theta)$ の対角指数因子を古典的に評価する。これにより、非ユニタリ演算子をシミュレートするための追加の量子ビットや深い回路の必要性を回避する。
4. 最適化：エネルギー期待値を最小化するために、パラメータ $\theta$ を古典的に変化させる。

主要な貢献

• 非ユニタリ演算子の実装：本論文は、CVQE フレームワークを活用し、補助量子ビットの追加や演算子の近似なしに、量子ハードウェア上で非ユニタリなジャストロー・グッツウィラー演算子を実装する方法を提示する。
• 効率的な測定スキーム：数演算子が対角のままとなるように問題をマッピングすることで、著者らは指数項を測定結果に基づいてエネルギー計算に直接挿入できることを示しており、演算子をパウリストリングに展開する場合と比較して、測定のオーバーヘッドを大幅に削減する。
• スピン種の分離：この手法により、量子コンピュータ上で単一のスピン種のみに対する回路の評価が可能となり、他の種は古典的に処理される。これにより、実証に必要な量子ビット数が実質的に半分に削減される。
• 実験的実証：この手法は、IBM Q Lagos 量子プロセッサ（7 量子ビットデバイス）上で、半充填状態における周期的境界条件付きの正方形格子および三角形格子上の 4 サイト・ハバードモデルに対して実証された。

結果
著者らは、運動エネルギーパラメータ $k$ と相互作用強度 $d$ を持つハバードモデルに彼らの手法を適用した。

• エネルギー最小化：グッツウィラーパラメータ $\theta$ に対してエネルギー期待値 $E(\theta)$ を見事に最小化した。
• 比較：結果は、厳密対角化（厳密な基底状態エネルギー）および彼らの手法のノイズのない古典シミュレーションと比較された。
• ノイズ解析：
  • 量子デバイス上で完全な計算（スピンアップおよびスピンダウンの両方の電子）を実行した場合、ノイズがエネルギー期待値に誤差を導入した。
  • 量子デバイス上で単一のスピン種のみを実行し（他方は古典的にシミュレート）、誤差は大幅に減少した。
  • エネルギー期待値の誤差は、相互作用強度 $d$ の関数として比較的一定に保たれ、いくつかのケースでは $d$ が $k$ に近づくにつれてわずかに減少した。
• 最適化：最適パラメータ $\theta^*$ は、エネルギー曲線の最小値を特定することで見出され、その結果得られた最適化されたエネルギーは、特に単一スピン種構成において、厳密な基底状態エネルギーと密接に追従した。

意義と主張
本論文は、このアプローチが、補助量子ビットの資源オーバーヘッドや、他の非ユニタリ実装に関連する近似誤差なしに、近未来の量子ハードウェア上でジャストロー・グッツウィラー・アンサッツを実装可能であると主張している。非ユニタリな指数因子の評価を古典コンピュータに移すことで、この手法は変分パラメータの最適化を、すべてのパラメータ更新ごとに量子回路を再実行する必要性から切り離す。さらに、量子デバイス上で単一のスピン種のみをシミュレートし、他を古典的に処理する能力は、必要な量子ビット数を半分に削減し、接続性とコヒーレンス時間が限られた現在のデバイスにとって、このアプローチをより実現可能にする。IBM Q Lagos デバイス上での実証は、特にハバードモデルに対するフェルミオン系におけるこの「カスケード型」アプローチの実用性を検証し、強相関効果をバリエーション量子アルゴリズムに組み込むための道筋を提供する。