Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

技術要約：初期宇宙における相対論的磁気流体力学（RMHD）

問題提起
初期宇宙における原始磁場、流体摂動、および重力波生成の研究は、歴史的に磁気流体力学（MHD）シミュレーションに依存してきた。これらのシミュレーションは、従来、亜相対論的なバルク流体の運動（$u^2 \ll 1$）を仮定し、ローレンツ因子 $\gamma^2 \approx 1$ となる極限を頻繁に想定してきた。この近似は物質支配型の流体においては成立するが、放射支配型のエポックや、状態方程式パラメータ $c_s^2$ が1のオーダーである場合（例：$c_s^2 = 1/3$）において、未検証のエラーを導入する。これまでの定式化では、ローレンツ因子の時間微分（$\partial_\tau \gamma^2$）が無視されることが多く、これにより $U^2/\ell$（$U$ は特性速度、$\ell$ は特性長さスケール）のオーダーの非線形項が欠落していた。これらの欠落は、エネルギーと運動量の保存、渦度の生成、およびMHD波の伝播速度に影響を及ぼし、修正が行われない場合にはアルヴェーン速度が超光速になる可能性をもたらす。

手法
著者らは、均質かつ等方的なフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）背景宇宙におけるMHDの保存則を導出している。本研究は以下の理論的ステップを通じて進行する：

1. 幾何学的枠組み： 共形時間 $\tau$ と共動座標を用いてFLRW計量を確立し、流体変数の異なるスケーリング特性を探索するために、一般的な $\alpha$-時間定義を導入する。
2. 完全流体力学： 一定の状態方程式 $p = c_s^2 \rho$ を持つ完全流体の運動方程式を導出する。著者らは、これらの方程式を二つの形式で提示する：
   • 保存形式： ストレス・エネルギー・テンソルの成分 $\tilde{T}^{0\mu}$ を発展させる。
   • 非保存形式： 原始変数（共動エネルギー密度 $\tilde{\rho}$ および固有速度 $u$）を発展させる。
     決定的な点として、本導出では、亜相対論的極限においてしばらと棄却されがちな $\partial_\tau \gamma^2$ および $\partial_\tau u^2$ を含む項を保持している。
3. 不完全流体： 古典的不可逆熱力学（CIT）のアプローチを用いて、一次の不完全流体効果（粘性と熱伝導）を含む枠組みへと拡張し、ナビエ・ストークス粘性とフーリエの熱伝導の共変的な表現を提供する。
4. 電磁気学： 膨張する背景におけるマクスウェル方程式を検討し、共動電磁場（$\tilde{E}, \tilde{B}$）と共変的な一般化オームの法則を導入する。高導電率の初期宇宙における理想MHD極限を正当化するために、変位電流を分析する。
5. MHD結合： ローレンツ力を通じて流体方程式をマクスウェル方程式と結合させる。音波、アルヴェーン波、および磁気音波波の解析のために、線形摂動を分析する。
6. 補正： アルヴェーン速度が（変位電流を無視した場合でも）減速しないように、ボリス補正（Boris correction）を相対論的MHDの文脈に適応させる。

主な貢献と結果

• 修正された亜相対論的方程式： 本論文は、従来の亜相対論的MHD方程式（Pencil Codeなどで使用されているもの）が、対流項 $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ および速度項の係数において誤差を含んでいることを示している。具体的には、$\gamma^2$ の時間微分が、放射支配型流体（$c_s^2 = 1/3$）において特定の項に $1/2$ の補正係数を導入し、一般的な $c_s^2$ に対して係数を修正する。修正された非保存形式の方程式は、式(1.2)および(6.31)に示されている。
• 渦度の生成： 著者らは、初期宇宙において渦度（$\omega = \nabla \times u$）はトポロジカルな不変量ではないことを示している。外部からの強制力やバロクリニック項が存在しない場合でも、相対論的な補正（$c_s^2 \neq 0$ および宇宙の膨張に関連するもの）によって、初期の渦なしの速度場から渦度が生成され得る。
• スケーリングと共形不変性： ハッブル摩擦項を最小化するための、流体変数の様々なスケーリング（共動、超共動）を検討する。$c_s^2 \neq 1/3$ の亜相対論的流れに対して、特定のスケーリング（$\beta = 3(1+c_s^2)$）を用いることで、エネルギー方程式を共形平坦にできる一方で、運動方程式にはハッブル摩擦項が残ることを特定している。
• 相対論的アルヴェーン速度とボリス補正： 理想MHDにおいて変位電流を無視すると、$B_0^2/\rho_0$ が大きい場合にアルヴェーン速度が超光速（$v_A > 1$）になる可能性があることを分析により明らかにしている。著者らは、アルヴェーン速度が $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$ （ここで $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$）となるよう、運動方程式を修正することで、ボリス補正を相対論的MHD方程式に適応させている。
• 輸送係数： 原始プラズマにおける剪断粘性、体積粘性、および熱伝導の推定値を検討し、プラズマが大規模スケールでは実質的に完全流体であることを確認している。ただし、現実的な乱流モデリングには散逸効果が必要である。

意義
本研究は、これまで見過ごされてきた亜相対論的極限への補正を含む、膨張する背景におけるMHD方程式の初の完全な相対論的記述を提供する。著者らは、これらの補正が単なる高次の相対論的効果ではなく、非線形流体力学における対流微分のオーダーと同等であることを主張している。したがって、将来の初期宇宙の磁気流体力学シミュレーション、特に放射支配型流体や高エネルギー相を伴うシミュレーションにおいては、非線形ダイナミクス、乱流、および渦度生成を正確にモデル化するために、これらの修正された項を組み込まなければならないと本論文は論じている。導出された方程式は、Pencil CodeやCosmoLatticeといった次世代の数値計算コードの開発のための理論的基礎となるものである。