Abelian-normal decimal expansions

この論文は、単語の組み合わせ論におけるアベル複雑性関数の概念に触発され、正規数の概念を拡張して「アベル正規数」を導入し、チャマーノウン定数の非正規な類似体 $D_{10}$ が特定の重み付け関数に関してアベル正規であることを証明するとともに、関連する 2 つの未解決問題を提示するものである。

要約

この論文は、数学の「数字の並び」に関する面白い新しいアイデアを紹介しています。専門用語を避け、身近な例え話を使って解説します。

1. 背景：数字の「ランダムさ」と「整理整頓」

まず、この話の舞台は**「正規数（Normal Number）」**という概念です。
これを「完璧にランダムな数字の羅列」と想像してください。例えば、サイコロを無限回振って出た数字を並べたとき、どの数字（1〜6）も同じ頻度で出てくるように、どの数字の組み合わせ（「12」や「345」など）も、長い目で見れば均等に出てくる状態です。

有名な例として、**チャンペルノーヴ定数（$C_{10}$）**という数字があります。
これは、1, 2, 3, 4, 5... と自然数を順番に並べただけの数字です（0.123456789101112...）。
この数字は、驚くことに「完璧にランダム（正規）」な性質を持っています。長い目で見れば、どの数字の並び方も均等に出てくるのです。

2. 論文の核心：「アベリアン・ノーマル」という新しいルール

著者のジョン・キャンベルさんは、「もし、このランダムな数字の並びを、**『並べ替え』**しても、ある意味でランダムさを保てるなら面白いのではないか？」と考えました。

ここで登場するのが**「アベリアン・ノーマル（Abelian-normal）」**という新しい概念です。

• 通常のランダムさ（正規性）： 「12」という並びと「21」という並びは、別物としてカウントします。
• 新しいランダムさ（アベリアン・ノーマル）： 「12」と「21」は、**「1 と 2 が 1 つずつ含まれている」**という点で同じもの（同じグループ）として扱います。つまり、数字の「順序」は気にせず、「中身（どの数字が何個あるか）」だけを見てランダムかどうかを判断するルールです。

これを料理に例えると：

• 通常のルール： 「トマトと玉ねぎを順番に炒める」ことと、「玉ねぎとトマトを順番に炒める」ことは、別の料理としてカウントする。
• アベリアン・ルール： 「トマトと玉ねぎを炒める」こと自体に注目するので、順番が違っても同じ料理としてカウントする。

3. 実験：数字を「整理整頓」して新しい定数を作る

著者は、チャンペルノーヴ定数（$C_{10}$）をいじくって、新しい数字$D_{10}$を作りました。

作り方のルール：

1. 元の数字（$C_{10}$）の中から、「0」と「1」だけでできている部分（例：101001）を見つけます。
2. その部分を、「0」を先に、「1」を後にくるように並べ替えます（例：000111）。
3. 他の数字（2〜9）はそのままにします。

結果：

• 元の数字（$C_{10}$）には「10」という並びが頻繁に出てきます。
• しかし、新しい数字（$D_{10}$）では、0 と 1 が常に「000...111...」という順に並ぶように強制されたため、「10」という並びは絶対に現れなくなります。

つまり、$D_{10}$ は**「通常のルールではランダムではない（10 が欠けているので）」**という、不完全な数字になってしまいました。

4. 驚きの発見：新しいルールなら「完璧なランダムさ」になる！

ここが論文のハイライトです。

著者は、「$D_{10}$ は『10』という並びがないので、普通の意味でのランダムさ（正規性）は失われた。でも、『アベリアン・ノーマル（順序を気にしないランダムさ）』という新しいルールで見れば、実は完璧にランダムになっている！」と証明しました。

どうやって証明したのか？
単に「並べ替えたからランダムだ」と言うだけではダメです。なぜなら、0 と 1 の並び方が偏っているからです。そこで著者は、**「重み付け（ウェイト）」**という工夫をしました。

• イメージ：
  通常のランダムさでは、どの並びも「1 点」で評価します。
  しかし、$D_{10}$ のように「0 と 1 が偏って並んでいる」場合、特定の並び（例：000111）が現れる確率は、普通の並びと異なります。
  著者は、「0 と 1 の並び方によって、その並びが現れる確率を調整する『重み』を計算し、その重みで割って評価し直した」のです。

その結果、**「重みをつけた評価」**をすれば、$D_{10}$ は驚くほど均等なランダムさを持っていることがわかりました。

5. 結論と今後の課題

この研究は、以下のようなことを示しています。

1. 新しい視点の発見： 数字の並びを「順序」ではなく「中身（構成要素）」だけで見る新しい数学的な視点（アベリアン・ノーマル）を提案しました。
2. 矛盾の解決： 「一見ランダムじゃない（10 が欠けている）数字」でも、見方（重み付け）を変えれば、実は「新しい意味でのランダムさ」を持っていることを証明しました。
3. 未解決の問題：
   • この新しい数字 $D_{10}$ は、数学的に「超越数（円周率や自然対数の底のような、分数では表せない数）」であることが証明できるでしょうか？（元のチャンペルノーヴ定数は証明されています）。
   • 「純粋なアベリアン・ノーマル」な数字は、他にも存在するでしょうか？

まとめ

この論文は、「数字の並びを、順番を無視して『中身』だけで評価する新しいルール」を発見し、そのルールを使えば、「一見欠陥があるように見える数字」も、実は完璧にバランスの取れたランダムな数字として見なせることを示した、非常にクリエイティブな数学の研究です。

まるで、「散らかった部屋（元の数字）」を、「本と服を分けて整理する（並べ替え）」だけで、**「実は整理整頓された部屋（新しいランダムさ）」**として再評価できるような、そんな魔法のような発見です。

技術概要

ジョン・M・キャンベル（Dalhousie 大学）による論文「Abelian-normal decimal expansions（アーベル正規な十進展開）」の技術的要約を以下に示します。

1. 研究の背景と問題提起

• 背景: 正規数（normal number）の理論は、Borel によって 1909 年に導入されて以来、数論の重要な分野となっています。正規数とは、任意の基底 $B$ において、任意の長さの数字のブロック（部分語）が、確率的な期待値（$1/B^{\ell(E)}$）に従って出現する数を指します。
• 既存の研究: これまで、正規性の保存や破綻に関わる選択規則（算術級数による部分列の抽出など）や、数字の挿入・削除操作に関する研究は多数存在します。また、組合せ論（words on combinatorics）における「アーベル複雑性（abelian complexity）」という概念（長さ $n$ の部分語のうち、置換によって同値とみなされるものを同一視した際の種類の数）も存在します。
• 問題提起: 正規性の定義を、組合せ論のアーベル複雑性の概念に倣って拡張することは可能か？すなわち、**「アーベル正規数（abelian-normal number）」**という概念を定義し、正規数ではないがアーベル正規であるような数の構成は可能か？という問いが立てられました。

2. 主要な定義と概念

論文では、以下の新しい概念を導入しています。

• アーベル正規数（Abelian-normal number）:
  基底 $B$ における数 $\alpha$ が、重み付け関数 $W$ に対してアーベル正規であるとは、任意のブロック $E$ に対して以下の極限が成り立つことを指します。
  $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{W(E)} \frac{B_E(\alpha, n)}{n} = \frac{1}{B^{\ell(E)}}$$
  ここで、$B_E(\alpha, n)$ は、$\alpha$ の最初の $n$ 桁の中に現れる $E$ およびそのすべての置換（permutation）の総出現回数です。

  • $W(E)$ は、$E$ の置換同値類のサイズ（$E$ の長さの階乗を各数字の出現頻度の階乗で割った値など）を反映する重み付け関数です。
  • 通常の正規数は、この定義において自然な重み付け（置換の総数）に対してアーベル正規になります。

• 目的: 通常の正規性（normality）は満たさないが、特定の重み付け関数に対してアーベル正規性を満たす数の構成。

3. 手法と構成（$D_{10}$ の構築）

著者は、Champernowne 定数 $C_{10}$（$0.123456789101112\dots$）を基にした新しい定数$D_{10}$ を構成しました。

• Champernowne 定数 $C_{10}$: 正の整数を連結して得られる数で、既知の正規数です。
• 構成プロセス:
  1. $C_{10}$ の十進展開において、「最大二進部分語（maximal binary subword）」を特定します。これは、連続する 0 と 1 のみからなる部分語のうち、前後に 0 以外の数字が現れるように最大限に拡張された部分です。
  2. これらの最大二進部分語を、辞書式順序（lexicographical order）に従ってソート（並べ替え）します。
     • 例：...24911010010772... という部分語があった場合、11010010 が最大二進部分語となり、これをソートして 00001111 に変換します。結果、...24900001111772... となります。
  3. この操作を $C_{10}$ のすべての最大二進部分語に適用して得られる定数を $D_{10}$ とします。
• 性質:
  • $D_{10}$ は、10 という部分語を含まないように構成されているため、正規数ではありません（正規数であれば任意のブロックが出現する必要があるため）。
  • しかし、二進数字（0 と 1）の順序をソートしているため、0 と 1 の「集合」としての出現頻度は保存されます。

4. 主要な結果と定理

• 定理 1: 構成された定数 $D_{10}$ は、著者が定義した特定の重み付け関数 $W$ に対してアーベル正規である。
• 証明の要点:
  • 非二進数字（2〜9）を含む部分語については、$C_{10}$ と $D_{10}$ において置換の出現頻度が一致するか、あるいは補正項（$C_w$ と $D_w$ で定義される、ソート操作による出現位置のズレを補正する項）を重み付け関数 $W$ に追加することで、極限値が正規性の条件を満たすように調整されます。
  • 重み付け関数 $W(w)$ は、通常の置換の総数に加え、$C_{10}$ と $D_{10}$ の間の出現頻度の差（極限値）を補正する項を含んで定義されます。
  • $C_{10}$ の正規性を利用し、$D_{10}$ における部分語の出現頻度を解析することで、アーベル正規性が証明されました。

5. 意義と結論

• 学術的意義:
  • 「正規性」と「アーベル複雑性」を結びつける新しい概念「アーベル正規性」を初めて導入しました。
  • 正規数ではないが、置換不変な観点（アーベル的観点）からは「ランダム性」を持つ（アーベル正規である）数の具体的な構成例（$D_{10}$）を提供しました。
  • 正規性の保存・破綻に関する研究（Wall, Vandehey, Becher などの過去の研究）を、部分語の並べ替え（rearrangement）操作という新しい文脈に拡張しました。
• 今後の課題（Open Problems）:
  1. 超越性の証明: Mahler によって $C_{10}$ が超越数であることが証明されていますが、同様の手法を用いて $D_{10}$ が超越数であることを証明できるか？
  2. 純粋アーベル正規性: 重み付け関数を「置換同値類のサイズ」のみで定義した「純粋アーベル正規（pure abelian-normal）」という概念を導入し、正規数ではないが純粋アーベル正規である数が存在するかどうかを探究する。

まとめ

本論文は、組合せ論のアーベル複雑性の概念を正規数理論に応用し、Champernowne 定数を変形することで「正規ではないがアーベル正規である」定数 $D_{10}$ を構築・証明しました。これは、数字の順序を無視した統計的性質（アーベル的性質）と、厳密な順序に基づく正規性の関係を解き明かすための重要な一歩となります。