Regularity for nonlocal problems with non-standard growth

기술 요약: 비표준 성장(Non-Standard Growth)을 갖는 비로컬 문제의 정칙성(Regularity)

문제 정의
본 논문은 $(p, q)$ 유형의 비표준 성장을 특징으로 하는 비로컬 범함수 및 방정식의 국소 최소값(local minimizers)과 약해(weak solutions)의 정칙성 성질을 조사한다. 주요 연구 대상인 에너지 범함수는 다음과 같다:
$$I_f(u) = (1-s) \iint_{(\Omega^c \times \Omega^c)^c} f\left(\frac{|u(x) - u(y)|}{|x-y|^s}\right) \frac{k(x, y)}{|x-y|^d} \, dy \, dx,$$
여기서 $s \in (0, 1)$, $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, 그리고 $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$는 볼록(convex)하고 증가하는 함수이다. $f$의 성장은 조건 $(f^q_p)$에 의해 제어되며, 이는 큰 $t$와 작은 $t$에 대해 $c_1 t^p \leq f(t) \leq c_2 t^q$ 형태의 경계가 존재함을 의미한다 ($1 < p \leq q$). 커널 $k(x, y)$는 대칭적이며 유계(bounded)이다.

저자들은 또한 $f'$과 유사한 구조적 조건을 만족하는 가측 함수 $h$를 포함하는 연산자 $L_h$를 다루는 관련 클래스의 비로컬 방정식 $L_h u = 0$을 고려한다. 이 연구의 핵심 과제는 표준 $p$-성장($f(t) \sim t^p$)을 가정하거나 횔더 연속성(Hölder continuity)을 위해 $p$와 $q$ 사이의 간격(gap)을 제한하지 않고도 해의 국소 유계성(local boundedness)과 횔더 연속성을 확립하는 것이다.

방법론
핵심 방법론은 비표준 성장을 갖는 비로컬 설정에 적응된 데 고르지(De Giorgi) 클래스 이론에 기반한다. 접근 방식은 다음 단계로 진행된다:

1. 보조 함수 및 성장 조건: 저자들은 비표준 성장을 처리하기 위해 보조 볼록 함수 $F$와 관련 함수 $g(t) = F(t^p)$를 도입한다. 이들은 정칙성 추정치를 전달하는 데 결정적인 $f, g$ 및 그 도함수들 사이의 비교 가능성(comparability)을 확립한다.
2. 분수 차수 데 고르지 클래스(Fractional De Giorgi Classes): 본 논문은 개선된 분수 차수 카치오로리 부등식(improved fractional Caccioppoli inequality)을 만족하는 함수들로 구성된 분수 차수 데 고르지 클래스 $G(\Omega; q, c, s, f)$를 정의한다. 이 부등식에는 관심 영역 외부에서의 함수의 거동을 설명하는 "테일(tail)" 항이 포함된다.
3. 개선된 카치오로리 부등식: 정밀하게 설계된 컷오프 함수(cutoff functions)를 사용하여 최소화 성질(최소값의 경우) 또는 약 형식(weak formulation, 해의 경우)을 테스트함으로써, 개선된 부등식을 유도한다. 이 부등식들은 변분/방정식 구조와 데 고르지 클래스 정의 사이의 가교 역할을 한다.
4. 반복 알고리즘(Iterative Arguments):
   • 횔더 연속성: 데 고르지 클래스의 성질을 사용하여, 저자들은 함수가 자신의 경계에서 크게 벗어나는 집합의 측도(measure)를 제어하는 성장 보조정리(growth lemma)를 포함한 반복 스킴(국소적인 경우의 [MN91] 및 분수 $p$-라플라시안의 경우의 [Coz17]과 유사함)을 사용하여 함수들이 국소적으로 횔더 연속임을 증명한다.
   • 국소 유계성: $q < p^* = \frac{dp}{d-sp}$라는 가정 하에, 저자들은 분수 소볼레프 임베딩(fractional Sobolev embeddings) 및 등주 부등식(isoperimetric inequalities)과 결합된 모저 유형의 반복법(Moser-type iteration)을 사용하여 국소 유계성을 증명한다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 해의 정칙성에 관한 두 가지 주요 정리를 확립한다:

• 정리 1.1 (국소 최소값): 범함수 $I_f$의 국소 최소값 $u$에 대하여:

  • $f$가 상부 성장 조건 $(f^q)$를 만족하면, $u$는 국소적으로 횔더 연속이다. 횔더 지수 $\alpha$와 상수 $C$는 $d, s_0, p, q, \Lambda$에 의존하지만, $s \to 1^-$일 때 균등하게 유지된다.
  • $sp < d$이고$q < p^*$이며,$f$가 하부 성장 조건$(f \gtrsim t^p)$를 만족하면,$u$는 국소적으로 유계이다 ($u \in L^\infty_{loc}(\Omega)$). 최댓값(supremum)에 대한 명시적인 추정치가 $L^q$ 노름 및 비로컬 테일(nonlocal tail)에 대해 제공된다.

• 정리 의 1.2 (약해): 방정식 $L_h u = 0$의 약해 $u$에 대하여:

  • $h$에 대한 동일한 구조적 가정 및 $f$에 대한 가정 하에, $u$는 최소값과 동일한 횔더 연속성 및 국소 유계성 결과를 따른다.

기술적으로 중요한 기여는 국소 최소값과 약해가 적절한 분수 차수 데 고르지 클래스에 속한다는 것을 증명하는 것이다(정리 6.2 및 7.3). 이를 통해 저자들은 특정 변분/방정식 구조를 정칙성 증명으로부터 분리하여, 데 고르지 클래스의 일반적인 성질에 의존할 수 있게 한다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구를 (1.1) 형태의 일반적인 비표준 성장을 갖는 비로컬 범함수의 국소 최소값 및 그에 대응하는 방정식 (1.6)의 국소 해의 유계성에 대한 정칙성을 연구한 첫 번째 연구로 자리매김한다.

• 강건성(Robustness): $s$가 1에 가까워질 때(즉, $s \to 1^-$), $s$가 $(0, 1)$의 컴팩트 부분집합 내에 있다면 정칙성 상수들이 퇴화하지 않는다는 점에서 결과가 "강건하다"고 주장된다.
• 일반성(Generality): 이 접근 방식은 분수 $p$-라플라시안(여기서 $f(t) = t^p$)에 대한 기존 결과들을 일반화하며, 비표준 성장을 갖는 국소 이론(예: [MN91], [Lie91])을 비로컬 설정으로 확장한다.
• 횔더를 위한 간격 제한 없음: $p$와 $q$ 사이의 간격이 작아야 한다는 제한이 있는 일부 국소 결과들과 달리, 본 논문은 $p$와 $q$ 사이의 간격에 대한 그러한 제한 없이 횔더 추정치를 확립한다.
• 방법론적 전환: 본 논문은 분수 오를리히-소볼레프 공간(fractional Orlicz-Sobolev spaces)에 관한 최근 연구들(예: [BSV20])과 달리, 약해(weak solutions)뿐만 아니라 국소 최소값(local minimizers)에 초점을 맞추고, $p \geq 2$에 국한되지 않고 $p > 1$을 허용하며, 직접적인 오를리히 공간 기법 대신 데 고르지 클래스 접근법을 사용한다는 점에서 차별화된다.

결론적으로, 본 논문은 횬더 연속성과 국소 유계성을 확립하지만, $f$에 대한 더 엄격한 가정을 전제로 국소적인 경우에 Lieberman [Lie91]에 의해 달성되었던 $C^{1,\beta}$ 정칙성은 다루지 않음을 명시한다.