Reachable and observable sets for switched systems via generalized Lyapunov equations: application to switched descriptor systems

기술 요약: 일반화된 리아푸노프 방정식을 이용한 스위칭 시스템의 도달 가능 및 관측 가능 집합

1. 문제 정의

본 논문은 스위칭 미분-대수 방정식(DAE)의 모델 차수 축소(MOR) 맥락에서 일반화된 리아푸노프 방정식(GLE)의 해를 사용하는 것에 대한 이론적 정당성을 다룬다. 구체적으로, 다음과 같은 형태의 스위칭 시스템을 조사한다:
$$\begin{cases} E_{q(t)}\dot{x}(t) = A_{q(t)}x(t) + B_{q(t)}u(t), \\ y(t) = C_{q(t)}x(t), \end{cases}$$
여기서 $q(t)$는 스위칭 신호이며, 행렬 $E_{q(t)}$는 특이 행렬(singular)일 수 있다.

핵심 과제는 이러한 시스템의 도달 가능(reachable) 및 관측 가능(observable) 집합을 엄밀하게 규명하는 것이다. 최근 연구(Manucci & Unger, 2024)는 이러한 시스템을 위한 밸런싱 기반 MOR 방법을 도출하기 위해 GLE를 사용하는 방안을 제안했으나, 이 GLE의 해와 스위칭 DAE의 실제 도달 가능/관측 가능 부공간(subspace) 사이의 이론적 연결 고리는 완전히 확립되지 않았다. 본 논문은 GLE 해의 이미지 집합(image sets)이 항상 시스템의 도달 가능 및 관측 가능 집합을 포함한다는 것을 증명함으로써, MOR를 위한 그라미안(Gramian)으로서의 사용을 정당화하는 것을 목표로 한다.

2. 방법론

2.1 해 공간 및 재구성

저자들은 모드 간 전환 시 발생하는 점프와 디랙 임펄스(Dirac impulses)를 처리하기 위해 조각별 매끄러운 분포(piecewise-smooth distributions, $\mathcal{D}^{\infty}_{pw}$) 공간 내에서 작업한다.

**준-바이어슈트라스 형식(Quasi-Weierstrass Form, QWF)**을 사용하여, 스위칭 DAE를 상태 의존적 점프와 임펄스가 존재하는 등가적인 스위칭 상미분 방정식(ODE) 시스템으로 재구성한다. 재구성된 시스템 (8)은 다음과 같다:
$$\begin{cases} \dot{x}(t) = A^{\text{diff}}_{q_k}x(t) + B^{\text{diff}}_{q_k}u(t), & t \in (t_k, t_{k+1}), \\ x(t_k^+) = \Pi_{q_k}x(t_k^-) + \Pi_{q_k}B_{q_{k-1}}U_{q_{k-1}}(t_k^-), \\ y(t) = C^{\text{diff}}_{q_k}x(t) + D_{q_k}U_{q_k}(t), \\ y[t_k] = x(t_k^-)에 의존하는 임펄스 항들. \end{cases}$$
여기서 $\Pi_j$는 일관성 투영기(consistency projector)를 나타내며, 입력 $U$는 시스템의 멱영 지수(nilpotency index)까지의 제어 신호 미분을 포함한다.

2.2 도달 가능성 및 관측 가능성의 규명

본 논문은 이 재구성된 시스템에 대해 도달 가능 및 관측 가능 집합을 엄밀하게 정의한다:

• 도달 가능성: 저자들은 입력 의존적 점프를 고려한 "수정된 도달 가능 집합"을 정의한다. 이들은 도달 가능 집합을 재귀적으로 계산할 수 있음을 증명한다(Lemma 3.3). 결정적으로, 정리 3.4는 점프를 포함하는 시스템의 도달 가능 집합이 확장된 입력 행렬을 가진 상태 의존적 점프를 가진 단순화된 시스템의 도달 가능 집합에 포함됨을 보여준다.
• 관측 가능성: 마찬가지로, 관측 불가능 집합은 임펄스 출력 항을 고려하여 재귀적으로 규명된다(Lemma 4.3). 정리 4.5는 원래 시스템의 관측 불가능 집합이 확장된 출력 행렬을 가지되 출력 임펄스는 없는 시스템의 관측 불가능 집합과 동일함을 보여준다.

2.3 일반화된 리아푸노프 방정식과의 연결

저자들은 다음의 조건을 만족하는 더 단순화된 스위칭 선형 시스템 (35)를 도입한다:

1. 점프가 순수하게 상태 의존적이다 (입력 의존적 점프 없음).
2. 원래 시스템의 임펄스 효과를 포착하기 위해 입력과 출력이 확장되었다.
3. 투영 행렬 $\Pi_j$가 일반적으로 취급된다.

정리 5.1은 중요한 포함 관계를 확립한다:

• 점프를 포함하는 시스템의 도달 가능 집합 $R$은 점프가 없는 시스템(단, 확장된 행렬을 가짐)의 도달 가능 집합 $\tilde{R}$의 부분집합이다.
• 관측 가능 집합 $O$는 점프가 없는 시스템의 관측 가능 집합 $\tilde{O}$의 부분집합이다.

확장된 행렬을 가진 점프가 없는 시스템의 경우, 도달 가능 및 관측 가능 집합이 다음의 **일반화된 리아푸노프 방정식(GLE)**의 해 $P$와 $Q$의 이미지 공간과 일치한다는 것이 기지 결과(인용 [13])이다:
\begin been{aligned} AP + PA^T + \sum_{j=1}^M (F_j P F_j^T + \tilde{B}_j \tilde{B}_j^T) &= 0, \\ A^T Q + QA + \sum_{j=1}^M (F_j^T Q F_j + \tilde{C}_j^T \tilde{C}_j) &= 0. \end{aligned}

3. 주요 기여 및 결과

1. 엄밀한 규명: 본 논문은 조각별 매끄러운 분포 공간 내에서 스위칭 DAE에 대한 도달 가능 및 관측 가능 집합에 대한 공식적인 정의와 재귀적 특성을 제공한다.
2. 포함 정리: 주요 이론적 결과는 복잡한 스위칭 DAE(점프 및 임펄스 포함)의 도달 가능 및 관측 가능 집합이 특정 확장된 스위칭 ODE 시스템의 도달 가능 및 관측 가능 집합의 부분집합이라는 것을 증명하는 것이다.
3. GLE의 타당성 검증: GLE를 통한 포함 정리와 스위칭 ODE에 관한 기존 결과들을 결래하여, 저자들은 [12]에서 제안된 GLE의 해 $P$와 $Q$가 다음을 만족함을 증명한다:
   $$\text{도달 가능 집합} \subseteq \text{span}(P) \quad \text{및} \quad \text{관측 가능 집합} \subseteq \text{span}(Q).$$
   이는 GLE 해의 이미지가 실제 시스템의 부공간을 "둘러싸고 있음(encloses)"을 확인시켜 준다.

4. 의의 및 주장

본 논문은 스위칭 DAE의 모델 차수 축소를 위한 밸런싱 기반 MOR의 사용을 정당화하는 데 필요한 이론적 토대를 제공한다고 주장한다.

• MOR를 위한 정당화: 저자들은 GLE 솔루션이 도달 가능 및 관측 가능 집합을 둘러싸고 있기 때문에, 이를 밸런싱 기반 MOR의 그라미안으로 사용하기에 적합하다고 기술한다. 이는 축소된 모델이 원래의 스위칭 DAE 시스템의 입출력 거동을 보존하도록 보장한다.
• 주장의 범위: 저자들의 주장은 겸손하다. 이 논문은 새로운 수치 알고리즘이나 실험적 응용을 제안하지 않는다. 대신, 이들은 왜 자신들의 이전 연구([12])가 작동하는지를 명확히 한다. 그들은 재구성이 입출력 맵(input-output map)을 변경하지 않는다는 점을 명시하며, 이것이 MOR의 일차적인 목표임을 강조한다.
• 한계: 논문은 재구성이 인접한 모드에 의존하는 확장된 행렬을 포함하므로 $M(M-1)^2$개의 모드를 가진 시스템으로 이어질 수 있음을 인정한다. 그러나 그들은 GLE 솔루션의 이미지 집합이 이러한 특정 정식화와 관계없이 일관되게 유지된다고 언급한다.

요약하자면, 본 논문은 스위칭 DAE의 추상적 이론(분포 및 임펄스 포함)과 GLE를 이용한 모델 축소의 실용적 응용 사이의 간극을 메우며, 후자가 전자의 핵심 역학을 올바르게 포착하고 있음을 증명한다.