Musical composition and 2D cellular automata based on music intervals

기술 요약: 음악적 음정 기반의 음악 작곡 및 2차원 셀룰러 오토마타

문제 제로 (Problem Statement)
본 논문은 계산적 프레임워크를 사용하여 음악적 창의성과 작곡을 모델링하는 과제를 다룬다. 제나키스(Xenakis)와 울프람(Wolfram)의 선행 연구들은 단순한 계산 규칙이 복잡한 구조를 생성할 수 있음을 보여주었으나, 음악 이론—특히 무작위 음 배열을 화성적으로 조화시키기 위한 멜로디 및 화성 음정의 사용—에 구체적으로 근거한 셀룰러 오토마타(Cellular Automata, CA)에 대한 탐구는 여전히 미진한 상태로 남아 있다. 저자들은 음악 이론에 기반한 CA 규칙이 대규모의 무작위 음 집합을 특정 키(key)로 조정할 수 있는지, 그리고 이러한 전이 규칙이 전통적인 작곡 방식과 유사해질 수 있는지를 규명하고자 한다.

방법론 (Methodology)
본 연구는 복잡계 이론과 인문학적 관점을 결의한 이론적 접근 방식을 채택한다. 핵심 방법론은 Python(라이브러리: NumPy, SciPy, Matplotlib, Musicpy)을 사용하여 2차원 셀룰러 오토마타(CA)를 구현하는 것이다.

• 시스템 구성:

  • 그리드: 폐쇄된 경계를 가진 유한 평면을 나타내는 50x50 배열 (2,500개 셀).
  • 상태: 각 셀은 서양 12음 평균율 시스템(A4 = 440Hz) 내에서 과학적 음고 표기법(Scientific Pitch Notation, SPN)으로 정의된 음을 보유한다.
  • 초기 조건: 배열은 전체 SPN 범위(C0~B8)에 걸쳐 균등 분포에서 무작위로 선택된 음들로 초기화된다.
  • 이웃: 무어 이웃(Moore neighborhood, 8개의 인접 셀: 4개의 직교 및 4개의 대각선 셀)이 사용된다.
  • 변수: 시스템은 "제1 멜로디 음정"(근음, 3도, 5도, 7도)과 "제2 멜로디 음정"(2도, 4도, 6도, 그리고 9도, 11도, 13도와 같은 확장 음)을 활용한다.

• 전이 규칙 (알고리즘 1):
  본 연구는 정의된 음정 집합 내의 이웃 수를 기준으로 셀의 상태를 동시에 업데이트하는 네 가지 특정 음악적 규칙을 제안한다:

  1. Stay Flat (유지): 셀이 특정 음정 집합 내에 있고 동일한 집합에 속한 이웃이 3개 이상인 경우, 현재 상태를 유지한다.
  2. Leap Emotion (도약): 셀이 특정 음정 집합 내에 있고 동일한 집합에 속한 이웃이 1개 또는 2개인 경우, 해당 음정 집합 내의 무작위 값으로 업데이트된다.
  3. Extend, Suspend, or Add (확장, 현수 또는 추가): 셀이 특정 음정 집합 내에 있고 동일한 집합에 속한 이웃이 0개인 경우, 다른 음정 집합의 무작위 값으로 업데이트된다 (확장 또는 현수 화음을 시뮬레이션함).
  4. Search for Scale Tone (음계음 탐색): 셀이 음정 집합 외부에 있는 경우, 이웃 중 하나의 값을 무작위로 선택하여 업데이트한다.

• 비교 사례:
  모델을 검증하기 위해 저자들은 "음악적 규칙(Musical Rule, 알고리즘 1)"을 다음 두 가지 베이스라인과 비교한다:

  • Random Rule (무작위 규칙): 현재 상태나 이웃을 무시하고 무작위 SPN 선택을 기반으로 전이한다.
  • Deterministic Rule (결정론적 규칙): 키 톤(key tone)에 대한 이웃 수에 따라 엄격하게 의존하며, 임계값을 충족하면 고정된 음(A4)으로 업데이트한다.

• 데이터 분석:
  시뮬레이션은 30회의 반복(iteration) 동안 실행된다. 저자들은 키 톤(E minor)으로 수렴하는 셀의 비율을 분석하고, 결과 데이터 간의 스피어먼 상관 계수를 계산하며, 결과 데이터의 최적 적합 통계 분포를 식별하기 위해 적합도 검정(Kolmogorov–Smirnov)을 수행한다.

주요 결과 (Key Results)

• 수렴 역학: "음악적 규칙" 사례는 키 톤에 일치하는 셀의 비율이 급격히 상승하여 약 5회 반복 후 거의 완전한 화성화를 달인 것을 보여주었다. 반면, "무작위 규칙"은 휘발성 변동을 보였고, "결정론적 규칙"은 점진적인 상승을 보이며 30회 반복 시점에 약 80%의 화성화에 도달했다.
• 통계적 독립성: 스피어먼 상관 분석 결과, 세 사례 사이의 상관 계수가 미미하게 나타났으며(모든 $p$-값 > 0.05), 이는 음악적 규칙이 무작위 또는 순수 결정론적 접근 방식과는 구별되는 독특한 역동적 패턴을 생성함을 확인시켜 준다.
• 분포 분석: 세 사례 모두 **감마 분포(Gamma distribution)**에 의해 가장 잘 설명되었다. 그러나 매개변수는 크게 달랐다:
  • 음악적 규칙은 가장 작은 분산을 보였으나 가장 높은 왜도(skewness, 3.09)와 첨도(kurtosis, 14.39)를 나타냈으며, 이는 꼬리가 두꺼운 매우 비대칭적인 분포를 의미한다.
  • 무작위 규칙은 가장 높은 분산과 가장 낮은 왜도/첨도를 보였다.
  • 결정론적 규칙은 두 사례의 중간 단계에 위치했다.
    저자들은 음악적 사례에서의 높은 왜도와 첨도가 이전에 음악의 자연적 오디오 신호에서 식별된 통계적 패턴과 일치한다고 언급했다.

주요 기여 (Key Contributions)

1. 새로운 CA 공식화: 본 논문은 추상적인 수학적 규칙이 아닌 음악 이론 개념(음정, 화음, 확장)에 의해 상태 업데이트가 제어되는 특정 2차원 CA 구성을 도입한다.
2. 학문 간 가교: 복잡계 모델링과 인문학을 연결하는 프레임워크를 제공하며, 음악적 창의성의 "정신적 활동"이 이론적 규칙에 기반한 단순한 코드를 통해 포착될 수 있음을 시사한다.
3. 실증적 검증: 본 연구는 음악 이론에 기반한 규칙이 노이즈나 순수 결정론적 출력과는 구별되는 조직화된 "음악적" 패턴을 생성한다는 정량적 증거(통계적 모멘트 및 분포 적합도 활용)를 제시한다.

의의 및 주장 (Significance and Claims)
저자들은 자신들의 공식화가 음악적 창의성의 측면을 이해하고 복제하는 새로운 접근법을 제공한다고 주장한다. 저자들은 다음과 같이 상정한다:

• 창의성의 재현: CA 모델은 음악가들이 사용하는 일반적인 전략, 즉 무질서로부터 일관된 구조를 생성하기 위해 규칙(음정)에 기반하여 행동(음)의 순서를 결정하는 과정을 재현한다.
• 음악적 신호의 본질: 연구 결과는 "음악"으로 인지되는 소리가 높은 첨도를 가진 매우 왜곡된 통계적 분포(특히 감마 분포)와 연관되어 있음을 시사하며, 음악적 규칙이 이를 성공적으로 재현했음을 보여준다.
• 보완적 도구: 본 연구는 인간 작곡가를 대체하려는 것이 아니라, 음악 이론에 기반한 CA가 음악가들을 돕는 도구로서 작곡 과정을 연구하는 과학 및 인문학 연구를 보완할 수 있음을 제안한다.

논문은 모델의 잠재력은 보여주었으나, 복잡 네트워크와 같은 다른 계산 모델을 사용하여 이 접근 방식을 평가하기 위한 향후 연구가 필요하다는 점을 명시하며 겸허하게 결론을 맺는다.