On Teissier's example of an equisingularity class that cannot be defined over the rationals

기술 요약: 유리수체 위에서 정의될 수 없는 등가특이성 클래스에 관한 테시에(Teissier)의 예시에 대하여

문제 제기
본 논문은 특이점 이론(singularity theory)에서 유리수체($\mathbb{Q}$) 위로 정의된 등가적 가족(equisingular families)의 정의 가능성에 관한 구체적인 질문을 다룬다. 모든 복소 특이점은 (위트니(Whitney)의 개념보다 더 강한 의미에서) 대수적 수체 위에서 정의된 다항식 방정식의 계수를 갖는 특이점과 등가적이라는 사실은 확립되어 있으나, 그러한 특이점이 위상적으로 등가적인 변형(topologically equisingular deformation)을 통해 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의된 것으로 변형될 수 있는지 여부는 여전히 미해결 문제로 남아 있다.

베르나르 테시에(Bernard Teissier)는 1990년 노트 [T90]에서 고전적인 볼록 기하학의 예시(그륀바움(Grünbaum)의 직선 배열)로부터 유도된 $\mathbb{C}^3$ 내의 곡면 특이점을 통해 하나의 반례를 제시하였다. 이 예시는 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의된 그 어떤 특이점과도 위트니 등가적(Whitney equisingular)이지 않다는 것이 핵심이다. 그러나 원래의 예시는 두 가지 결함을 포함하고 있었다:

1. 그륀바움의 저작에서 인용된 특정 직선 배열은 실제로 유리수 계수를 갖는 다항식 방정식을 가질 수 있어, 반례로서의 역할을 수행하지 못한다.
2. 증명이 레(Lê)와 테시에 [LT1]의 정리, 즉 접콘(tangent cone)으로의 변형에 관한 정리에 의존했으나, 해당 정리가 잘못 기술되었다.

방법론
저자들인 파루신스키(Parusiński)와 퍼네스쿠(Păunescu)는 대수 기하학과 층화 이론(stratification theory)을 사용하여 이 예시를 수정하고 테시에의 근본적인 결과에 대한 엄밀한 증명을 제공한다.

1. 기하학적 예시의 수정:

   • 저자들은 실사영 공간에서의 그륀바움의 9개 직선 배열을 재검토한다. 그들은 원래의 배열 $C'$(및 그 등구성적 변형들)이 선 집합의 갈로아 불변성(Galois invariance)으로 인해 실제로 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의될 수 있음을 입증한다.
   • 이 대칭성을 깨뜨리기 위해, 저자들은 원래의 구성에 10번째 직선($HE$)을 추가하여 새로운 배열$C'$를 구축한다.
   • 갈로아 이론을 사용하여, 이 새로운 10개 직선 배열을 정의하는 선형 형식들의 곱이 좌표들에 의해 생성된 체의 갈로아 군에 대해 불변이 아님을 증명한다. 결과적으로, 이 배열은 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의될 수 없다.

2. 해석적 증명의 수정:

   • 저자들은 [T90]의 원래 증명이 [LT1, Théorème (2.1.1)]에 의존했음을 확인하였는데, 해당 정리는 접콘으로의 변형이 등가적이기 위한 필요충분조건이 특이점에 "예외적 접선(exceptional tangents)"이 없는 것임을 잘못 주장하였다.
   • 저자들은 예외적 접선이 없음에도 불구하고 접콘으로의 변형이 등가적이지 않은(구체적으로 특이 집합이 위상적으로 분리되는) 특이점의 반례(Section 4)를 제시한다.
   • 잘못된 정리에 의존하는 대신, 저자들은 위트니 층화(Whitney stratifications) 및 법콘(normal cones) 이론을 사용하여 직접적인 증명을 제공한다. 그들은 곡면 특이점 가족 $f(x, y)$와 그 접콘 $C_{X,Y}$를 분석한다.

주요 기여 및 결과

• 정제된 반례 (Proposition 2.2): 저자들은 수정된 10개 직선 배열($C'$)에 대한 콘(cone)이 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의될 수 없는 곡면 특이점 $X_0$를 생성함을 증명한다.
• 주요 정리 (Theorem 3.5): 본 논문은 법콘의 등가성에 관한 새로운 결과를 확립한다. 곡면 특이점 가족 $(X_{reg}, \Sigma \setminus Y, Y)$가 위트니 층화를 형성할 때 다음이 성립함을 증명한다:
  1. 파이버 $X_y$는 예외적 접선을 갖지 않는다.
  2. 법콘 $C_{X,Y}$는 위트니 조건을 만족한다.
  3. 법콘의 특이 집합은 정확히 특이 집합의 법콘이다 ($C_{\Sigma, Y} = (C_{X,Y})_{sing}$).
  4. 쌍 $((C_{X,Y})_{reg}, C_{\Sigma, Y} \setminus Y, Y)$는 위트니 층화를 형성한다.
• 테시에의 결과에 대한 적용: 정리 3.5를 적용함으로써, 저자들은 만약 원래의 특이점 $X_0$(수정된 배열 위의 콘)가 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의된 특이점과 위트니 등가적이라면, 변형된 가족의 접콘들 또한 등가적이어야 함을 보여준다. 그러나 수정된 배열의 접콘들은 해당 배열과 사영적으로 동등하며, 이 배열은 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의될 수 없다. 이 모순은 원래의 특이점이 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의된 그 어떤 특이점과도 위트니 등가적이지 않음을 증명한다.
• [LT1]에 대한 반례 (Section 4.1): 저자들은 $f(x,y,z) = z(zx - y^2 + x^3)$라는 특정 특이점을 구축하여, 예외적 접선의 부재가 접콘으로의 변형이 등가적임을 보장하기에 불충분함을 보여준다. 이 예시에서 특이 집합은 컵(cusp)에서 이중선(double line)으로 분리되며, 이는 위상적 자명성(topological triviality)을 위반한다.

의의
본 논문의 주요 의의는 테시에의 1990년 결과를 엄밀하게 수정하고 완성하는 데 있다. 이는 복소 곡면 특이점이 위트니 등가적 변형을 통해 유리수체로 변형될 수 없음을 보여주는 유효하고 명시적인 예시를 제공한다. 나아가, 예외적 접선과 법콘으로의 변형의 등가성 사이의 관계를 명확히 하여, 이전에 받아들여졌으나 잘못되었던 정리를 바로잡는다. 이 연구는 $\mathbb{Q}$ 위에서의 정의 가능성을 기준으로 등가성 클래스를 구분하는 이론적 토대가 건실함을 보장한다.