Analysis of Non-Square Nonlinear MIMO Systems using Scaled Relative Graphs

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 배경: 제어 공학에서 나이퀴스트 (Nyquist) 및 보드 (Bode) 다이어그램과 같은 주파수 영역 그래픽 방법은 선형 시불변 (LTI) 시스템의 안정성 및 성능 분석에 필수적입니다. 최근 비선형 단일 입력 단일 출력 (SISO) 시스템을 분석하기 위한 확대 상대 그래프 (Scaled Relative Graph, SRG) 방법이 제안되었으며, 이는 비선형 시스템에 대한 충분 조건과 $L_2$ 게인 상한을 제공하는 모듈형 도구로 입증되었습니다.
• 문제점: 최근 SRG 분석이 다입력 다출력 (MIMO) 시스템으로 확장되었으나, SRG 의 본질적인 힐베르트 공간 (Hilbert space) 구조로 인해 정방 (Square, 입력과 출력 차원이 같은) 시스템에 국한되었습니다.
  • 비정방 (Non-square, 입력과 출력 차원이 다른) 시스템의 경우, 입력 공간과 출력 공간의 힐베르트 공간이 일치하지 않아 SRG 를 직접 적용할 수 없습니다.
  • 기존 접근법 (예: [18]) 은 시스템을 정방으로 만들기 위해 인위적으로 입력/출력을 추가하거나 제거하는 '스퀘어링 업 (Squaring up)' 기법을 사용했으나, 이는 분석 결과의 보수성 (Conservatism, 실제보다 훨씬 엄격한 조건을 요구함) 을 초래하거나, 때로는 시스템의 패시비티 (Passivity) 를 파괴하여 안정성 분석을 불가능하게 만들 수 있습니다.

2. 제안된 방법론 (Methodology)

이 논문은 비정방 비선형 MIMO 시스템을 분석하기 위해 임베딩 (Embedding) 기반의 새로운 SRG 분석 프레임워크를 개발했습니다.

• 핵심 아이디어: 제한된 입력 공간 임베딩

  • 모든 연산자를 공통의 힐베르트 공간 (정방 연산자가 작용하는 공간) 으로 임베딩하되, 원래의 입력 차원으로 입력 공간을 제한 (Restrict) 하는 방식을 사용합니다.
  • 긴 (Tall, 입력 < 출력) 시스템: 출력에 0 을 추가하여 정방으로 만들되, 추가된 입력 차원은 0 으로 고정하여 실제 입력 공간 ($U^n_p$) 만을 고려합니다.
  • 넓은 (Wide, 입력 > 출력) 시스템: 출력에 0 을 추가하여 정방으로 만듭니다.
  • 이 과정을 통해 임베딩 단계에서 발생하는 불필요한 보수성을 제거하고, 원래 시스템의 $L_2$ 게인 특성을 정확히 반영합니다.

• SRG 미적분학 (SRG Calculus) 의 일반화

  • 제한된 입력 공간 (Restricted input spaces) 에서 작동하는 SRG 에 대해 연산 규칙 (합, 곱, 역, 스칼라 곱 등) 을 일반화했습니다 (Proposition 1).
  • 이를 통해 비정방 시스템의 상호 연결 (Interconnection) 에 대한 SRG 를 구성할 수 있습니다.

• 선형 분수 표현 (LFR) 기반 분석

  • 비선형 시스템을 선형 동적 블록 ($G$) 과 정적/동적 비선형 블록 ($\Phi$) 으로 분해하는 LFR 형태를 가정합니다.
  • 폐루프 시스템의 안정성, 잘 정의됨 (Well-posedness), 그리고 점증적 (Incremental) $L_2$ 게인 상한을 보장하는 안정성 정리 (Theorem 1, 2) 를 유도했습니다.
  • 특히, LTI 블록과 비선형 블록의 SRG 를 결합하여 전체 시스템의 SRG 경계를 계산하는 알고리즘을 제시했습니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 비정방 MIMO SRG 정의: 힐베르트 공간 구조의 한계를 극복하고, 입력/출력 차원이 다른 시스템에 대해 보수성 없이 SRG 를 정의하는 수학적 프레임워크를 정립했습니다 (Definition 1).
2. 보수성 감소: 기존 '스퀘어링 업' 방식과 비교하여, 인위적인 차원 추가가 아닌 입력 공간 제한을 통해 $L_2$ 게인 상한을 훨씬 더 정확하게 (더 작게) 추정할 수 있음을 증명했습니다.
3. 계산 가능 알고리즘 제공:
   • 안정한 LTI 연산자 (정방 및 비정방) 의 SRG 를 정확히 계산하는 알고리즘 (Theorem 3) 을 제시했습니다. 이는 허수축 상의 특이값 (Singular values) 을 기반으로 원 (Disk) 을 교차/차집합하여 SRG 경계를 구하는 방식입니다.
   • 대각선 정적 비선형성 및 특정 비정방 정적 비선형성에 대한 SRG 경계 공식을 유도했습니다.
4. 소프트웨어 도구: 제안된 방법론을 구현한 Julia 기반 소프트웨어 툴박스 (SrgTools.jl) 를 공개하여 실제 적용을 용이하게 했습니다.

4. 실험 결과 및 검증 (Results)

논문은 네 가지 예시를 통해 제안된 방법의 유효성을 입증했습니다.

• 예시 1 (비정방 Lur'e 시스템):
  • 기존 방식 (인위적 입력 추가) 과 비교하여, 제안된 임베딩 방식이 보수성을 크게 감소시켰음을 보였습니다.
  • 특정 파라미터 영역에서 기존 방식은 안정성을 결론 내리지 못했으나, 제안된 방식은 시스템이 안정적임을 증명했습니다. 또한, 기존 방식은 시스템의 패시비티를 파괴했으나 제안된 방식은 이를 보존했습니다.
• 예시 2 (다중 비선형성을 가진 SISO 시스템):
  • 기존 연구 [15] 와 비교하여, 제안된 MIMO 접근법이 더 엄격한 (tighter) 점증적 $L_2$ 게인 상한을 제공함을 보였습니다. 또한, 기존 연구에서 가정해야 했던 '잘 정의됨 (Well-posedness)'과 '인과성 (Causality)'을 본 논문 정리 2 를 통해 증명할 수 있었습니다.
• 예시 3 (비선형 질량 - 스프링 - 댐퍼 시스템):
  • 복잡한 비선형 스프링을 가진 2 질량 MIMO 시스템을 LFR 형태로 모델링하고 SRG 분석을 수행하여 안정성과 게인 상한을 확인했습니다.
• 예시 4 (IQC 기반 SRG 결과와의 비교):
  • 정적 비선형성을 가진 MIMO 피드백 시스템에 대해, 기존 IQC (Integral Quadratic Constraint) 기반 방법과 동일한 결과를 얻었으며, 추가적인 게인 상한 값을 명시적으로 계산하여 더 나은 성능을 보였습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance)

• 이론적 확장: SRG 이론을 SISO 및 정방 MIMO 시스템에서 비정방 비선형 MIMO 시스템으로 확장하여, 제어 이론의 그래픽 분석 도구의 적용 범위를 크게 넓혔습니다.
• 실용적 가치: LFR 형태는 제어 설계, 시스템 식별, 머신러닝 등 다양한 분야에서 널리 사용되므로, 제안된 프레임워크는 실제 공학적 문제 (예: 로봇 제어, 전력 시스템, 신경망 제어) 에 적용 가능한 강력한 도구가 됩니다.
• 보수성 해결: 기존 비정방 시스템 분석의 핵심 난제였던 '보수성' 문제를 해결하여, 시스템의 실제 성능을 더 정확하게 예측하고 설계할 수 있는 기반을 마련했습니다.

요약하자면, 이 논문은 비정방 비선형 MIMO 시스템을 분석하기 위해 입력 공간 제한을 통한 SRG 임베딩 기법을 도입함으로써, 기존 방법론의 한계를 극복하고 정확하고 보수성이 낮은 안정성 및 성능 분석을 가능하게 한 획기적인 연구입니다.