Extreme values of class group $L$-functions

기술 요약: 멱급수 L-함수의 극대값

문제 정의
본 논문은 허수 이차체 $\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$의 멱급수(class group)의 문자를 범위로 하는 $L(1/2, \chi)$의 최댓값의 크기를 조사한다. 린델뢰프 가설(Lindelöf hypothesis)은 $L(1/2, \chi) \ll_\epsilon D^\epsilon$임을 예측하고, 일반화된 리만 가설(GRH)은 $\exp((\frac{\log 2}{2} + o(1)) \frac{\log D}{\log \log D})$의 상한을 함의하지만, Farmer, Gonek, Hughes의 확률적 모델은 최댓값의 진정한 차수(order of magnitude)가 다음과 같이 훨씬 더 클 것임을 시사한다:
$$\max_{\chi} |L(1/2, \chi)| = \exp((c + o(1)) \sqrt{\log D \log \log D})$$
여기서 $c$는 양의 상수이다. 이전 연구인 Bondarenko와 Seip은 공명 방법(resonance method)을 사용하여 리만 제타 함수와 디리클레 L-함수에 대해 이 차수를 확립했다. 본 논문은 이와 동일한 차수가 멱급수 L-함수에서도 성립하는지 규명하고자 하며, 특히 심플렉틱(symplectic) 성질과 분할 소수(split primes)의 분포가 초래하는 과제들을 다룬다.

방법론
저자는 Soundararajan이 개발하고 Bondarenko와 Seip이 개량한 공명 방법을 사용한다. 핵심 전략은 가중치 합 $W$에 대한 가중치 합 $V$의 비율 $V/W$를 최대화하는 "공명기(resonator)" 함수 $R_\chi$를 구성하는 것이다.

1. 근사 함수 방정식(Approximate Functional Equation): $L$-값들은 가중치 함수 $W(x)$를 포함하는 근사 함수 방정식을 통해 표현되며, 이를 통해 $L$-값들을 정수 아이디얼(integral ideals)에 대한 합으로 나타낼 수 있다.
2. 공명기 구성: 공명기 계수 $R_\chi$는 곱셈적 함수 $f$를 가진 아이디얼 집합 $\mathcal{M}$에 대한 합으로 정의된다. 집합 $\mathcal{M}$은 특정 범위 $(e \log M \log_2 M, \exp(\lfloor (\log_2 M)^\gamma \rfloor) \log M \log_2 M]$에 있는 유리 소수 위의 소 아이디얼들로 생성된 제곱 없는(squarefree) 아이디얼들의 부분집합이 되도록 정교하게 구성된다.
3. 자명한 문자 제약 조건(Trivial Character Constraint): 자명한 문자의 기여가 합에서 지배적이지 않도록 보장하는 것이 중요한 기술적 난관이다. 본 논문은 만약 집합 $\mathcal{M}$의 크기가 $|\mathcal{M}| \leq h_D / (3D^{1/4} \log D)$를 만족하면, 자명한 문자의 기여가 주 항(main term)에 비해 무시할 수 있는 수준임을 입증한다.
4. 분할 소수 처리: 디리클레 L-함수에 대한 이전의 공명 방법 적용과 달리, 여기서의 하한은 선택된 범위 내의 소수 $\mathfrak{p}$에 대하여 **분할(split)**되는 소 아이디얼들의 $1/\sqrt{N\mathfrak{p}}$ 합에 의존한다. 만약 선택된 범위의 소수들이 불멸(inert)한다면, 이 하한은 자명해진다.

주요 기여 및 결과

• 정리 1 (평균적인 경우): 본 논문은 기초 판별식 $-D \in [-2X, -2X]$에 대해 평균적으로 추측된 차수가 성립함을 증명한다. 구체적으로, $\delta < 1/4$에 대하여:
  $$\left( \prod_{X \leq D \leq 2X}^{\flat} M_D \right)^{1/N_X} \geq \exp\left( \delta \sqrt{\frac{\log X \log_3 X}{\log_2 X}} \right)$$
  여기서 $M_D$는 주어진 $D$에 대한 최대 $L$-값이며, 이 곱은 최대 한 개의 예외적인 판별식을 제외한다. 이는 심플렉틱 패밀리(함수체 사례 제외)에서 이 차수를 밝혀낸 최초의 무조건적(unconditional) 증명이다.

• 정리 2 (점별 기술적 상한): 본 논문은 특정 판별식 $-D$에 대해 소수의 분할 거동에 명시적으로 의존하는 정밀한 하한을 제공한다. $P$를 매개변수 $M$과 $\gamma$에 의해 정의된 범위 내의 소수 위의 소 아이디얼 집합이라고 하면:
  $$\max_{\chi} L(1/2, \chi) \geq \exp\left( (1+o(1)) \sqrt{\frac{\log M \log_2 M}{\log_3 M}} \sum_{\mathfrak{p} \in P} \frac{1}{\sqrt{N\mathfrak{p}}} \frac{1}{\sqrt{p}(\log p - \log_2 M - \log_3 M)} \right)$$
  이 결과는 하한의 크기가 $(\log D)^{1+\epsilon}$ 구간 내의 분할 소수의 수와 직접적으로 연결되어 있음을 강조한다.

의의 및 한계
본 논문은 원하는 하한을 얻기 위해 크기가 $(\log D)^{1+\epsilon}$인 소수들이 분할되어야 한다는 점 때문에 정리 1의 평균화 특징이 필요하다고 주장한다. 저자는 GRH 하에서도 모든 판별식에 대해 충분히 많은 그러한 소수들이 분할된다는 것을 보장할 수 없음을 언급한다. GRH는 오직 $\log^2 D$보다 큰 소수들에 대해서만 분할을 보장하기 때문이다.

결과적으로, 본 논문은 모든 기초 판별식에 대해 추측된 최댓값이 존재함을 무조건적으로 증명하지는 않는다. 대신, 관련 소수의 절반이 분할된다는 확률적 기대를 활용하여, 해당 하한이 평균적으로 성립함을 보여준다. 저자는 하나의 열린 질문을 던진다: 모든 판별식에 대해 극대값이 존재한다는 사실(Farmer-Gonek-Hughes 추측)이 현재 GRH가 제공하는 것보다 더 강력한 소수 분할 결과를 함의하는지, 아니면 차수의 크기가 $\log^2 D$보다 큰 소수들을 사용해야만 달성 가능한 것인지에 대한 문제이다.

이 연구는 공명 방법을 허수 이차체의 멱급수 문자의 심플렉틱 패밀리에 적응시킨 것이며, 계수의 양의 성질(positivity of coefficients) 및 허수 이차체에서의 분할 소수의 분포와 관련된 구체적인 장애물들을 극복하였다.