Dissipativity-Based Data-Driven Decentralized Control of Interconnected Systems

기술 요약: 상호 연결된 시스템의 소산성 기반 데이터 기반 분산 제어

문제 정의
본 논문은 국부적 하위 시스템 모델과 전역적 상호 연결 구조가 모두 알려지지 않은 상호 연결된 이산 시간 선형 시불변(LTI) 시스템의 안정화 문제를 다룹니다. 시스템은 프로세스 및 측정 노이즈, 그리고 상호 연결 노이즈의 영향을 받습니다. 제어 목표는 각 하위 시스템에 대해 국부 상태 피드백 제어기($u_i = K_i x_i$)를 설계하여 명목 전역 폐루프 시스템이 점근적으로 안정되도록 하는 것입니다. 결정적으로, 설계는 **분산형(decentralized)**이어야 합니다. 즉, 각 제어기는 전역적인 시스템 정보나 중앙 집중식 조정 없이, 오직 국부적인 데이터와 인접한 이웃에 대한 지식만을 사용하여 합성되어야 합니다. 저자들은 일반적인 상호 연결 시스템(알려지지 않은 상호 연결 가중치 포함)과 확산 결합(diffusive coupling)(상호 연결 입력이 이웃 출력 간의 차이에 의존하는 경우)을 통해 상호 연결된 시스템이라는 두 가지 시나리오를 구체적으로 고려합니다.

방법론
제안된 접근 방식은 데이터 기반 제어를 위한 통합 파이프라인을 구축하기 위해 **소산성 이론(dissipativity theory)**을 활용합니다. 방법론은 모두 선형 행렬 부등식(LMI)으로 정식화된 두 가지 주요 단계로 진행됩니다:

1. 국부 소산성 합성 (Local Dissipativity Synthesis):
   각 하위 시스템에 대해, 저자들은 행렬 $(F_i, G_i, H_i)$로 정의되는 이차 공급율(quadratic supply rate)에 대해 국부 폐루프 하위 시스템이 소산성을 갖도록 하는 상태 피드백 이득 $K_i$를 계산하기 위한 데이터 기반 LMI 조건(정리 1)을 도출합니다.

• 이 방법은 행동 시스템 이론(behavioral systems theory)의 **기본 정리(Fundamental Lemma)**를 활용하여 수집된 데이터 궤적(상태, 입력, 상호 연결 입력, 출력)을 해당 데이터와 일치하는 가능한 시스템 행렬 집합과 연결합니다.
• 노이즈는 이차 행렬 부등식(QMI)을 사용하여 모델링되며, 이를 통해 제어기는 명시적인 시스템 식별 없이도 노이즈가 섞인 데이터에 대해 강인할 수 있습니다.
• 공급율 행렬 $(F_i, G_i, H_i)$는 고정된 파라미터가 아닌 **공동 결정 변수(joint decision variables)**로 취급되어, 국부 설계가 전역 안정성 요구 사항에 적응할 수 있도록 합니다.

2. 분산 안정성 검증 (Decentralized Stability Verification):
   본 논문은 국부 하위 시스템의 소산성이 전역 상호 연결 시스템의 점근적 안정성을 보장하는 조건을 확립합니다.

• 일반 상호 연결: 행렬 S-lemma와 듀얼 QMI 정식화를 사용하여, 저자들은 전역 상호 연결 행렬 $M$에 대한 지식 없이 국부적인 상호 연결 데이터(이웃 출력 및 국부 상호 연결 입력)와 첫 번째 단계에서 도출된 공급율 행렬에만 의존하여 전역 안정성을 보장하는 데이터 기반 분산 LMI(정리 2)를 도출합니다.
• 확산 결합: 확산 결합을 가진 시스템의 경우, 저자들은 상호 연결 그래프의 가중 차수(weighted degree)에 의존하는 특정 안정성 조건(명제 5)을 제안합니다. 상호 연결 가중치가 알려져 있지 않으므로, 관측된 상호 연결 데이터와 일치하는 가중 차수의 가장 타이트한 상한을 계산하기 위해 이차 계획법(정리 3)을 구성합니다. 이 상한은 안정성 LMI에 사용됩니다.

주요 기여
본 논문의 구체적인 기여는 다음과 같습니다:

• 데이터 기반 국부 소산성: 공급율 행렬을 결정 변수로 취급하여, 알려지지 않고 노이즈가 섞인 하위 시스템을 소산적으로 만드는 상태 피드백 제어기를 합성하기 위한 필요충분한 LMI 조건을 도출했습니다.
• 데이터 기반 전역 안정성: 전역 상호 연결 행렬 $M$에 대한 지식 없이, 국부 하위 시스템의 소산성과 국부 상호 연결 데이터만을 기반으로 전역 안정성을 보장하는 분산 LMI 조건을 제안했습니다.
• 통합 파이플라인: 국부 및 전역 LMI를 동시에 해결하여 분산 제어기를 생성하는 결합 알고리즘(알고리즘 1)을 제공합니다.
• 확산 결합 확장: 안정성을 보장하기 위해 상호 연결 가중치에 대한 데이터 기반 경계값을 계산하는 확산 결합용 특화 알고리즘(알고리즘 2)을 제공합니다.
• 확장성 입증: 제안된 분산 방식이 중앙 집중식 구조적 데이터 기반 제어 방식에 비해 훨씬 적은 데이터와 계산 시간을 요구함을 수치적 검증을 통해 보여주었습니다.

결과
알고리즘의 효과는 50개의 분산 발전 유닛(DGU)이 있는 DC 마이크로그리드를 포함하는 수치 예제를 통해 검증되었습니다.

• 안정성: 알고리즘 1(일반 케이스)과 알고로리즘 2(확산 결합) 모두 마이크로그리드를 성공적으로 안정화하여 전류와 전압을 원점으로 유도했습니다.
• 강인성: 제어기는 가정된 QMI 경계를 만족하는 노이즈가 존재하는 상황에서도 안정성을 유지하며, 입력-상태 안정성(input-to-state stability)을 입증했습니다.
• 실행 가능성 및 확장성:
  • 100개의 무작위 시스템 인스턴스 테스트에서, 알고리즘 1은 다양한 데이터 길이, 노이즈 수준 및 상호 연결 밀도에 대해 100%의 실행 가능성을 유지했습니다.
  • 알고리즘 2는 가중 차수의 상한을 계산하는 과정에서 발생하는 보수성(conservatism)으로 인해, 높은 노이즈나 희소한 데이터 환경에서는 실행 가능성이 감소하는 모습을 보였습니다.
  • 비교: 중앙 집중식 구조적 데이터 기반 제어기와 비교했을 때, 제안된 분산 알고리즘은 훨씬 짧은 데이터 길이(50 샘플 vs. 600 이상 샘플)와 현저히 낮은 계산 시간(밀리초 단위 vs. 약 24초)으로 실행 가능성을 달성했습니다.

의의 및 주장
본 논문은 시스템 식별이나 전역 정보 없이도 상호 연결된 시스템을 안정화할 수 있는 통합적이고 데이터 기반이며 분산된 프레임워크를 제공한다고 주장합니다. 본 연구의 의의는 알려지지 않은 상호 연결 구조와 노이즈가 섞인 데이터를 동시에 처리할 수 있다는 점에 있으며, 이는 기존 방식들로 해결하기 어려운 과제입니다. 공급율 행렬을 결정 변수로 취급함으로써, 저자들은 국부 소산성 설계와 전역 안정성 분석 사이의 간극을 메웠습니다. 저자들은 이 접근 방식이 이차 공급율을 가진 선형 시스템에는 효과적이지만, 비선형 동역학, 동적 상호 연결 및 온라인 적응을 다루기 위해서는 향후 연구가 필요하다는 점을 겸허히 언급했습니다. 본 연구는 전력망 및 로봇 네트워크와 같은 대규모 사이버 물리 시스템의 확장 가능한 제어를 향한 단계로 자리매김하고 있습니다.