A Categorical Realization of the (2-)Category of Monoids via Sch{ü}tzenberger Categories and Strict Factorization Systems

기술 요약: 슈츠엔베르거 범주(Schützenberger categories)와 엄격 인수분해 시스템(Strict Factorization Systems)을 통한 모노이드 (2-)범주의 범주론적 실현

문제 제기
본 논문은 모노이드와 단위 반군(unital semigroups)의 범주론적 표현을 다룬다. 모노이드 $M$을 하나의 대상(one-object) 범주(그 "델루핑(delooping)"인 $BM$)로 보는 것이 일반적이지만, 저자는 대안적인 관점을 추구한다. 목표는 모노이드의 범주($\mathbf{Mon}$)와 모노이드 준동형사상들의 범주를, "루프 공간(loop space)" 구성을 사용하여 동치인 범주를 구축하는 것이다. 이 구성은 모노이드를 그 원소들을 대상으로 하며 특정한 구조적 성질을 갖춘 작은 범주와 연관시키고자 한다. 이는 모리타 동치(Morita equivalence) 연구를 용이하게 하기 위함이다.

방법론
방법론은 반군 이론과 범주론 사이의 상호작용, 특히 **슈츠엔베르거 범주(Schützenberger categories)**와 **엄격 인수분해 시스템(Strict Factorization Systems, SFS)**의 활용에 의존한다.

1. 엄격 인수분해 시스템 (SFS): 저자는 Grandis의 정의를 채택하여, 범주 $\mathcal{C}$ 상의 SFS를 모든 사상 $f$가 $f = em$($e \in E, m \in M$)으로 유일하게 분해되는 두 개의 넓은 부분 범주(wide subcategories) $(E, M)$의 쌍으로 정의한다. 저자는 다음과 같은 성질을 갖는 SFS에 집중한다:

   • 단위적(Unital): 단위 대상 $\zeta$를 가지며, $\zeta$는 $E$의 엄격한 초기점(strict initial point)이자 $M$의 엄격한 종점(strict terminal point)이다.
   • 완전한(Complete): 그린의 전순서(Green's preorders) $\leq_L$ 및 $\leq_R$의 교환성과 관련된 도식의 완성을 허용하는 교환 성질을 만족한다.
   • 박한(Thin): 임의의 두 대상 사이에 최대 하나의 사상만을 포함한다.

2. 슈츠엔베르거 범주 구성 ($D$): 반군 $S$에 대하여, 저자는 Costa와 Steinberg에 의해 정의된 슈츠엔베르거 범주 $D(S)$를 활용한다.

   • 대상(Objects): $S$의 원소들.
   • 사상(Morphisms): $a \xrightarrow{x} b$를 나타내는 트리플 $(a, x, b)$이며, 여기서 $x \in aS^1 \cap S^1b$이다.
   • 구조: $D(S)$는 $E$-사상이 우측 곱셈에 대응하고 $M$-사상이 좌측 곱셈에 대응하는 정준적인 엄격 인수분해 시스템 $(E, M)$을 갖는다. 모노이드 $M$의 경우, $D(M)$은 델루핑 범주 $BM$의 프레이드(Freyd, 또는 epi-monic) 완포(completion)로 식별된다.

3. 모노이드의 재구성 ($\Sigma$): 역으로, 단위적이고 완전하며 박한 SFS(denote $\mathbf{CatSFS}^*_{c,t}$)를 갖는 작은 범주 $\mathcal{A}$가 주어졌을 때, 저자는 대상의 집합 $X = \mathcal{A}_0$ 상에서 이항 연산을 정의한다. 대상 $a, b$에 대하여, 곱 $a * b$는 유일한 사상 $a \xrightarrow{\zeta} b$의 유일한 인수분해에서의 중심 대상(central object)으로 정의된다. 이 구성 $\Sigma(\mathcal{A})$는 모노이드를 생성한다.

4. 2-범주적 확장: 저자는 자연 변환을 도입하여 이러한 1-범주적 동치를 2-범주로 확장한다.

   • 지점화된 함자(pointed functors)의 맥락에서 자연 변환은 자명하다.
   • "준-지점화된(semi-pointed)" 함자의 맥락에서(단위를 엄격하게 보존하지는 않지만 아이뎀포턴트(idempotency)를 보존하는 함자), 자연 변환은 **켤레(conjugations)**에 대응한다(즉, 준동형사상들과 특정 교환 관계를 만족하는 대상 $\alpha \in$ 타겟 반군의 원소).

주요 기여 및 결과

1. 범주의 동치:
   본 논문은 모노이드의 범주 $\mathbf{Mon}$가 $\mathbf{CatSFS}^*_{c,t}$(단위 $\zeta$에서 지점화된, 완전하고 박한 SFS를 갖는 작은 범주들)와 동치임을 입증한다.

   • 함자 $D: \mathbf{Mon} \to \mathbf{CatSFS}^*_{c,t}$는 모노이드를 그 슈츠엔베르거 범주로 매핑한다.
   • 함자 $\Sigma: \mathbf{CatSFS}^*_{c,t} \to \mathbf{Mon}$는 범주로부터 모노이드를 재구성한다.
   • 정리 2.1은 $D \dashv \Sigma$가 인접 동치(adjoint equivalence)임을 증명한다 ($\Sigma \circ D = \text{Id}_{\mathbf{Mon}}$).
   • 유사한 결과(정리 2.2)는 이 동치를 단위 반군($\mathbf{Mons}$)과 준-지점화된 범주($\mathbf{CatSFS}_{u,c,t,s}$)로 확장한다.

2. 2-동치 및 켤레:
   준-지점화된 함자들 사이의 자연 변환을 정의함으로써, 저자는 2-셀이 **켤레(conjugations)**인 2-범주 $\mathbf{Mon}^{(2)}_s$를 구축한다.

   • 준동형사상 $f, g: M \to M'$ 사이의 켤레 $\alpha: f \Rightarrow g$는 $f(1)\alpha = \alpha = \alpha g(1)$ 및 모든 $m$에 대해 $f(m)\alpha = \alpha g(m)$을 만족하는 원소 $\alpha \in M'$이다.
   • 정리 3.3은 $\mathbf{Mon}^{(2)}_s$와 자연 변환을 갖는 슈츠엔베르거 범주들 사이의 엄격한 2-동치를 확립한다.

3. 모리타 동치의 특징화:
   주요 결과(정리 3.7)는 2-범주적 구조와 모리타 동치를 연결한다.

   • 본 논문은 두 모노이드 $M$과 $M'$가 $\mathbf{Mon}^{(2)}_s$에서 **인접 동치(adjointly equivalent)**일 필요충분조건이 모리타 동치임을 증명한다.
   • 이는 인접 동치(삼각 항등식을 만족하는 가역적 켤레를 포함하는)가 $M = MeM$이고$M' \cong eMe$를 만족하는 아이뎀포턴트$e$의 존재와 정확히 일치한다는 것을 보여줌으로써 입증된다. 이는 모노이드에 대한 모리타 동치의 표준적인 특징화이다.

의의
본 논문은 슈츠엔베르거 범주와 엄격 인수분해 시스템을 통해 구축된 2-범주 $\mathbf{Mon}^{(2)}_s$가 모노이드의 모리타 동치를 연구하기 위한 "좋은" 프레임워크를 제공한다고 주장한다. 하나의 대상만을 갖는 델루핑 접근법(one-object categories)과 달리, 이 실현 방식은 모노이드를 원소들을 대상으로 하는 범주로 취급하며, 이를 통해 모리타 동치의 구조적 성질(특히 인접 동치)이 켤레와 인수분해 시스템의 상호작용으로부터 자연스럽게 도출되도록 한다. 이 연구는 모노이드의 범주적 실현을 모리타 동치의 대수적 이론과 통합하며, 토포스 이론에 의존하지 않고도 그 대응 관계를 직접적으로 증명한다.