Stability of data-driven Koopman MPC with terminal conditions

1. 연구 배경 및 문제 정의 (Problem)

• 배경: 모델 예측 제어 (MPC) 에 데이터 기반 대리 모델 (surrogate model) 을 적용하는 연구가 증가하고 있습니다. 특히, 비선형 동역학 시스템을 선형 무한 차원 연산자 (Koopman 연산자) 로 변환하여 근사하는 확장 동역학 모드 분해 (EDMD) 및 커널 EDMD (kEDMD) 기법이 주목받고 있습니다.
• 문제점:
  • 기존 MPC 의 안정성 이론은 모델이 시스템을 정확히 묘사한다고 가정합니다. 그러나 데이터 기반 모델은 필연적으로 근사 오차 (approximation error) 를 포함합니다.
  • 근사 오차가 존재할 경우, 기존 MPC 는 재귀적 실현 가능성 (recursive feasibility) 과 점근적 안정성 (asymptotic stability) 을 보장하지 못합니다.
  • 기존 연구들 (예: [26], [27]) 은 오차의 크기가 상태와 입력의 크기에 비례하는 비례 오차 경계 (proportional error bound) 가 존재할 때 안정성을 보였으나, 주로 종단 조건 (terminal conditions) 이 없는 경우나 파라미터 불일치에 국한되었습니다.
• 목표: 종단 비용 (terminal cost) 과 종단 집합 (terminal set) 을 포함하는 MPC 프레임워크에서, 데이터 기반 대리 모델 (kEDMD) 의 근사 오차 하에서도 재귀적 실현 가능성과 점근적 안정성을 보장하는 조건을 유도하고 이를 검증하는 것입니다.

2. 방법론 (Methodology)

A. 시스템 및 오차 가정

• 시스템: 이산 시간 비선형 제어 시스템 $x^+ = f(x, u)$ (불확실성 포함).
• 대리 모델: 데이터 기반 모델 $x^+ = f^\varepsilon(x, u)$ 사용.
• 핵심 가정 (Assumption 1):
  1. 비례 및 균일 오차 경계: 오차 $\|f(x, u) - f^\varepsilon(x, u)\|$ 가 상태와 입력의 노름에 비례하거나 ($c_x^\varepsilon \|x\| + c_u^\varepsilon \|u\|$), 또는 상수 $\eta^\varepsilon$ 으로 제한됨. 오차가 작아질수록 ($\varepsilon \to 0$) 이 계수들이 0 으로 수렴.
  2. 리프시츠 연속성: 대리 모델 $f^\varepsilon$ 이 리프시츠 연속성을 가짐.

B. 강화된 제약 조건을 가진 MPC 알고리즘

• 제약 조건 강화 (Constraint Tightening): 모델 오차로 인한 궤적 이탈을 보정하기 위해 상태 제약 집합을 축소합니다.
  • 강화된 집합: $S \ominus B_{\bar{c}(k)\eta^\varepsilon}$ (여기서 $\bar{c}(k)$ 는 리프시츠 상수와 오차의 누적 효과).
  • 이를 통해 실제 시스템이 강화된 제약 내에서 움직이도록 보장하여 재귀적 실현 가능성을 확보합니다.
• 종단 조건 (Terminal Conditions):
  • 종단 비용 ($V_f^\varepsilon$): 대리 모델 기반의 Lyapunov 함수 형태.
  • 종단 집합 ($X_f^\varepsilon$): 종단 비용의 하위 레벨 집합.
  • 종단 제어기: 종단 집합 내에서 Lyapunov 감소 조건을 만족하는 제어 법칙 $\mu^\varepsilon$ 설계.

C. 안정성 증명 (Theorem 1)

• 재귀적 실현 가능성: 최적 제어 시퀀스의 꼬리 (tail) 에 종단 제어기를 연결하여, 오차로 인한 상태 이탈이 강화된 제약 조건을 위반하지 않음을 증명.
• 점근적 안정성:
  • 최적 가치 함수 $V_N^\varepsilon$ 을 Lyapunov 함수 후보로 사용.
  • 비례 오차 경계의 중요성: 상태가 원점에 가까워질수록 오차도 줄어들기 때문에, Lyapunov 함수의 감소가 보장됨.
  • 오차 항이 $O(\|x\|^2)$ 또는 $O(\|u\|^2)$ 수준으로 작아지도록 $\varepsilon$ 을 충분히 작게 설정하면, 전체 Lyapunov 감소가 보장되어 원점의 점근적 안정성이 증명됨.

D. kEDMD 를 통한 조건 충족 (Section IV)

• Physics-Informed kEDMD (PI-kEDMD):
  • 기존 kEDMD 에 원점 ($x=0$) 에서의 균형 조건 ($f(0,0)=0$) 을 강제로 만족시키도록 회귀 문제를 수정.
  • 이를 통해 비례 오차 경계 (Proportional Error Bound) 가 수학적으로 보장됨 (Theorem 2).
  • Wendland 커널 함수와 채움 거리 (fill distance) $h_X$, 클러스터 반경 $r_X$ 를 조절하여 오차 계수를 임의로 작게 만듦.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 종단 조건이 있는 데이터 기반 MPC 의 안정성 증명: 오차 경계가 비례적 (proportional) 일 때, 종단 비용과 집합을 포함한 MPC 가 불확실한 비선형 시스템을 점근적으로 안정화함을 이론적으로 증명.
2. kEDMD 기반의 엄격한 검증: Koopman 연산자 기반의 kEDMD (특히 PI-kEDMD) 가 위 안정성 증명을 위한 오차 경계 조건을 만족할 수 있음을 보임.
3. 단순한 실용적 안정성 (Practical Stability) 에서 점근적 안정성으로의 확장: 기존 연구들이 오차로 인해 원점 근처에서 진동하는 '실용적 안정성'만 보였던 것과 달리, 오차 크기를 충분히 줄이면 진정한 점근적 안정성을 달성할 수 있음을 보임.
4. 제약 조건 강화 기법 적용: 모델 오차를 고려하여 상태 제약 조건을 동적으로 강화하는 기법을 도입하여 재귀적 실현 가능성을 확보.

4. 실험 결과 (Results)

• 시뮬레이션 대상: 제어된 van der Pol 발진기 (Euler 이산화).
• 설정:
  • 가상 관측점 (Virtual observation points) 수: 352 개 및 1327 개.
  • 커널: Wendland 함수 사용.
  • 비교 대상: 일반 kEDMD vs. PI-kEDMD (비례 오차 보장).
• 결과:
  • 일반 kEDMD: 비례 오차 경계가 보장되지 않아, 오차가 일정 값 이상으로 수렴하지 않고 실용적 안정성 (Practical Asymptotic Stability) 만 달성 (오차가 0 으로 수렴하지 않음).
  • PI-kEDMD: 비례 오차 경계가 적용되어, 시스템 상태가 원점으로 점근적으로 수렴함을 확인.
  • 데이터 포인트가 증가할수록 (1327 개) 오차 경계 ($\eta^\varepsilon$) 가 감소하여 더 긴 예측 지평선 ($N=9$) 을 사용할 수 있게 됨.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

• 이론적 의의: 데이터 기반 제어 (Data-driven Control) 분야에서 모델 오차가 존재할 때에도 MPC 가 어떻게 안정성을 유지할 수 있는지에 대한 엄격한 이론적 토대를 마련했습니다. 특히, "비례 오차 경계"가 안정성의 핵심 열쇠임을 재확인했습니다.
• 실무적 의의: 실제 공학 시스템 (예: 인공 췌장 등) 에 데이터 기반 MPC 를 적용할 때, 단순히 모델을 학습하는 것을 넘어 안정성 보장을 위한 데이터 수집 전략 (PI-kEDMD) 을 제시했습니다.
• 한계 및 향후 과제: 현재 제안된 방법은 리프시츠 상수를 기반으로 한 제약 조건 강화 (Constraint Tightening) 를 사용하는데, 예측 지평선이 길어질수록 강화 폭이 커져 보수적 (conservative) 일 수 있습니다. 향후 더 정교한 강화 기법 (예: 점진적 안정화 기반) 을 적용하여 이를 완화하는 연구가 필요하다고 언급했습니다.

요약: 본 논문은 데이터 기반 Koopman MPC 가 모델 오차 하에서도 점근적 안정성을 가질 수 있음을 증명하고, 이를 위해 비례 오차 경계가 필요하며 PI-kEDMD가 이를 충족시킬 수 있음을 이론 및 시뮬레이션을 통해 입증했습니다.