Irreversibility and randomness

위대한 시간 여행의 역설과 "무작위적" 혼돈의 비밀

유리잔이 바닥에 떨어져 산산조각 나는 영화를 보고 있다고 상상해 보십시오. 그것은 완벽하게 실제처럼 보입니다. 파편들이 바깥으로 튀어나가고, 깨지는 소리가 들리며, 조각들이 가라앉습니다. 이제, 당신이 "되감기" 버튼을 누른다고 상상해 보십시오. 파편들이 다시 모여들고, 소리는 거꾸로 울리며, 유리 조각들이 테이블 위로 뛰어올라 다시 온전한 상태가 됩니다. 당신의 눈에 이 역재생 영화는 불가능해 보일 것입니다. 그것은 세상이 작동하는 방식에 대한 당신의 모든 지식을 위반합니다. 이것이 바로 **비가역성(irreversibility)**의 미스터리입니다. 왜 시간은 우주를 구성하는 개별 원자들을 지배하는 아주 작은 규칙들이 시간의 방향에 상관하지 않음에도 불구하고, 질서에서 무질서로 향하는 한 방향으로만 흐르는 것처럼 보이는 것일까요?

이 퍼즐은 거대한 입자 집단(방 안의 공기나 컵 속의 물 같은)의 행동을 개별 원자의 움직임을 바탕으로 설명하려는 물리학의 한 분야인 **통계 역학(statistical mechanics)**의 핵심에 자리 잡고 있습니다. 여기서 핵심 개념은 **미시적 가역성(microscopic reversibility)**입니다. 만약 당신이 벽에 부딪히는 단 하나의 원자를 촬영하여 이를 거꾸로 재생할 수 있다면, 그것은 정확히 유효한 물리적 사건처럼 보일 것입니다. 물리 법칙은 순방향과 역방향 모두에서 동일하게 작동합니다. 하지만 수조 개의 원자가 모이면, 그들은 마치 시간을 되돌리는 법을 잊어버린 것처럼 행동합니다. 그들은 항상 퍼지고, 섞이고, 평형 상태로 가라앉는 것처럼 보이며, 결코 스스로 다시 섞이지 않습니다.

150년 넘게 과학자들은 이 간극을 메우기 위해 노력해 왔습니다. 그들은 **분자 혼돈(molecular chaos)**이라는 개념을 사용하는데, 이는 기체 속의 입자들이 서로 충돌하기 전에는 본질적으로 서로에게 낯선 존재, 즉 서로 춤을 추기 위한 비밀스러운 계획이나 과거의 이력이 없는 상태라는 생각입니다. 만약 입자들이 완전히 독립적이고 무작위적이라고 가정한다면, 기체가 어떻게 무질서를 향해 진화할지를 예측하는 방정식(유명한 볼츠만 방정식과 같은)을 도출할 수 있습니다. 하지만 함정이 있습니다. 이러한 방정식들은 대개 "평균"에 의존합니다. 그것들은 "대부분의 가능한 시작 배열을 본다면, 기체는 이런 방식으로 행동할 것이다"라고 말합니다. 하지만 이 방정식들은 구체적으로 어떤 특정 배열이 이러한 행동을 이끌어내는지, 혹은 왜 "역방향"의 배열이 그렇게 드문지에 대해서는 설명해주지 않습니다. 이 논문은 그 빠진 고리를 파고들며 다음과 같이 질문합니다: "우리가 '무작위성'을 매우 정밀하게 정의하여, 단 하나의 특정한 미시적 경로를 지목하며 '이 경로는 우리가 보는 비가역적인 세계를 만드는 것이 보장되어 있다'라고 말할 수 있을까?"

논문의 탐구: "무작위적" 경로를 찾아서

이 논문에서 니노 데커스(Nino Dekkers)와 클라스 란즈만(Klaas Landsman)은 이 퍼즐을 해결하기 위해 신선하고 수학적인 접근 방식을 취합니다. 단순히 "대부분"의 배열이 작동한다고 말하는 대신, 그들은 **알고리즘적 무작위성(algorithmic randomness)**이라는 수학 분야를 사용하여 정확히 무엇이 "무작위적"인 미시적 궤적인지를 정의합니다. 이것을 이렇게 생각해 보십시오. 만약 당신이 동전을 백만 번 던진다면, "무작위"한 수열은 단순히 무질서해 보이는 수열이 아닙니다. 그것은 가능한 모든 패턴 테스트를 통과하는 수열입니다. 그것은 숨겨진 규칙도, 반복되는 리듬도, 예측 가능한 구조도 없습니다.

저자들은 만약 시스템이 알고리즘적으로 무작위적인 상태(즉, 입자들의 초기 위치와 속도가 특정 확률 규칙에 따라 진정으로, 수학적으로 무작위적임)에서 시작한다면, 그 시스템은 볼츠만 방정식이 예측하는 비가역적 경로를 따르는 것이 보장된다고 제안합니다. 그들은 이것이 단지 "대부분의 경우" 일어난다고 말하는 것이 아닙니다. 그들은 이러한 구체적이고 수학적으로 정의된 무작위 경로들에 대해, 거시적 행동(예를 들어 기체가 퍼지는 현상)이 필연적임을 보여줍니다.

이를 증hent하기 위해, 그들은 처음부터 매우 복잡한 실제 기체를 다루지 않습니다. 대신, 그들은 거대한 아이디어를 위한 연습용 바퀴 역할을 하는 단순화되고 유희적인 현실의 버전인 두 가지 "장난감 모델(toy models)"을 사용합니다.

첫째, 그들은 **에렌페스트 항아리 모델(Ehrenfest urn model)**을 살펴봅니다. 두 개의 항아리에 공들이 가득 차 있다고 상상해 보십시오. 고전적인 버전에서는 공 하나를 무작위로 골라 다른 항아리로 옮깁니다. 저자들의 "수정된" 버전에서는 모든 공이 스스로 이동할 수 있는 독립적인 확률을 가집니다. 그들은 만약 특정한 종류의 무작위성(공들이 독립적이고 동일하게 분포된 경우)에서 시작한다면, 각 항아리에 담긴 공의 수는 마치 기체가 평형에 도달하는 것처럼 매끄럽고 예측 가능하게 균등한 분할을 향해 움직인다는 것을 보여줍니다. 결정적으로, 그들은 만약 공들의 "무작위"한 경로를 가져와서 영화를 거꾸로 돌리려 한다면, 수학이 깨진다는 것을 증명합니다. 역방향 경로는 공들이 매우 특이하고 비무작위적인 배열에서 시작해야 하는데, 이는 너무나 희귀해서 사실상 불가능한 수준입니다. 이것은 왜 우리가 공들이 스스로 다시 섞이는 것을 결코 보지 못하는지를 설명해 줍니다. 즉, 섞임으로 이어지는 "무작위"한 경로들이 실세계에 존재하는 유일한 경로이기 때문입니다.

둘 둘째, 그들은 **카츠 링 모델(Kac ring model)**을 조사합니다. 링 모양의 지점들이 있고 그 주위를 공들이 움직이고 있다고 상상해 보십시오. 어떤 지점들은 공이 지나갈 때 색을 바꾸는 "마커"를 가지고 있습니다. 비록 규칙은 결정론적이지만(주사위는 던져지지 않으며, 공들은 그저 궤도를 따릅니다), 저자들은 시작 패턴의 공과 마커가 알고리즘적으로 무작위적이라면, 시스템은 여전히 무작위적인 것처럼 행동하며 정상 상태(steady state)로 진화한다는 것을 보여줍니다. 마찬가지로, 시간을 역전시키려 하면 무작위성 기준이 실패합니다. 역전된 경로는 "너무 질서 정연해" 보여서 유효한 무작위 경로가 될 수 없으며, 이는 그것이 단순히 일어나지 않는다는 것을 의미합니다.

논문이 배제하는 것과 증명하는 것

저자들은 자신들의 주장에 대해 매우 신중합니다. 그들은 우리가 그저 어떠한 시작 조건을 선택하든 기체가 비가역적으로 행동할 것이라고 기대할 수 있다는 생각에 명시적으로 반대합니다. 그들은 만약 당신이 너무 질서 정연하거나 숨겨진 패턴을 가진 "나쁜" 배열에서 시작한다면, 기체가 볼츠만 방정식을 따르지 않거나 심지어 시간이 역전되는 것처럼 보일 수도 있음을 보여줍니다. "분자 혼돈"은 단순히 막연한 느낌이 아닙니다. 그것은 엄격한 수학적 요구 사항입니다.

그들은 또한 **시간 역전(time reversal)**에 대한 흔한 혼동을 명확히 합니다. 논문은 근본적인 물리 법칙이 대칭적임을 확인합니다. 만약 당신이 마법처럼 기체 속 모든 입자의 속도를 뒤집을 수 있다면, 그것은 자신의 발자취를 되짚어 갈 것입니다. 그러나 논문은 그러한 일이 일어나도록 만들기 위해 필요한 초기 조건이 "무작위적"이지 않다는 점을 입증합니다. 그것들은 매우 특이하고 "비전형적"입니다. 논문의 언어로 표현하자면, 시간 역전된 경로의 집합은 입자의 수가 무한대로 가는 극한에서 확률이 0입니다. 따라서 시간 역전은 이론적으로는 가능하지만, 무작위 시스템에서 그것을 촉발하는 데 필요한 시작 상태가 무작위적이지 않기 때문에 실제로는 불가능합니다.

저자들은 이 장난감 모델들에 대한 결과에 확신을 가지고 있습니다. 그들은 수정된 에렌페스트 모델과 카츠 링 모델에 대해, 알고리즘적 무작위성이 비가역적인 거시적 방정식의 출현을 보장하기에 충분하다는 것을 수학적으로 증명했습니다. 그들은 아직 실제의 복잡한 기체(방 안의 공기 같은)에 대해 이 문제를 해결했다고 주장하지 않습니다. 그들은 이러한 엄격한 증명을 실제의 딱딱한 구체 기체(hard-sphere gases)로 확장하는 것이 매우 어렵고 여전히 열린 과제로 남아 있음을 인정합니다. 그러나 그들은 메커니즘을 성공적으로 입증했습니다. 즉, 수학적 이론을 통해 정밀하게 정의된 미시적 수준의 무작위성이 시간의 화살을 추진하는 엔진이라는 점입니다.

무작위성의 포착하기 어려운 본질

저자들이 논의하는 마지막, 머리를 어지럽게 만드는 반전이 있습니다. 그들은 역설을 지적합니다. "대부분"의 미시적 경로는 무작위적이며 비가역적 행동으로 이어지지만, 우리는 결코 특정한 무작위 경로를 실제로 써 내려가거나 보여줄 수 없다는 점입니다. 이는 차이틴의 불완전성 정리(Chaitin's incompleteness theorems) 때문인데, 이 정리는 충분히 복잡한 수학 체계 내에서 특정 수열이 무작위적이라는 것을 증명할 수 없다고 명시합니다. 그것은 마치 정체가 드러나면 더 이상 스파이가 될 수 없는, 정체를 너무 잘 숨기는 스파이와 같습니다. 만약 당신이 무작위 수열을 명시적으로 설명할 수 있다면, 그것은 패턴(그 설명 자체)을 갖게 될 것이고, 따라서 더 이상 무작위가 아니게 됩니다.

따라서 논문은 생생한 그림으로 결론을 맺습니다: 우주는 우리가 경험하는 비가역적인 시간의 흐름을 추진하는, 완벽하게 무작위적인 미시적 경로들로 가득 차 있습니다. 우리는 그것들이 존재한다는 것을 알고 있으며, 그것들이 유리잔이 깨지고 다시 합쳐지지 않는 이유라는 것도 알고 있습니다. 하지만 우리는 그것 중 하나를 가리키며 "보십시오, 여기 그것을 일으킨 정확한 원자들의 순서가 있습니다"라고 말할 수 없습니다. 그것들은 어디에나 있지만, 수학적 결정 불가능성(undecidability)의 그림자 속에 영원히 숨겨져 있습니다.

요컨대, 데커스와 란즈만은 "분자 혼돈"에 대한 우리의 이해를 더욱 날카롭게 다듬었습니다. 그들은 막연한 통계적 아이디어를 정밀한 수학적 정의로 바꾸어 놓았으며, 시간의 화살이 단순히 평균의 운 좋은 사고가 아니라, 진정으로 무작위적인 미시 세계에서 시작되는 필연적인 결과임을 보여주었습니다.