Irreversibility and randomness

महान समय-यात्रा विरोधाभास और "यादृच्छिक" अराजकता का रहस्य

कल्पना कीजिए कि आप फर्श पर टूटते हुए एक कांच के गिलास का वीडियो देख रहे हैं। यह पूरी तरह से वास्तविक लगता है: टुकड़े बाहर की ओर उड़ते हैं, आवाज आती है, और टुकड़े स्थिर हो जाते हैं। अब, कल्पना कीजिए कि आपने "रिवाइंड" बटन दबा दिया है। टुकड़े वापस एक साथ जुड़ जाते हैं, आवाज वापस लौट आती है, और कांच वापस मेज पर साबुत खड़ा हो जाता है। आपकी आँखों के लिए, यह उल्टा चल रहा वीडियो असंभव दिखता है। यह उस हर चीज़ का उल्लंघन करता है जो आप दुनिया के काम करने के तरीके के बारे में जानते हैं। यह अपरिवर्तनीयता (irreversibility) का रहस्य है: समय केवल एक ही दिशा में क्यों बहता है—व्यवस्था से अव्यवस्था की ओर—भले ही ब्रह्मांड के हर एक परमाणु को नियंत्रित करने वाले सूक्ष्म नियम इस बात की परवाह नहीं करते कि समय किस दिशा में बह रहा है?

यह पहेली सांख्यिकीय यांत्रिकी (statistical mechanics) के केंद्र में स्थित है, जो भौतिक विज्ञान की एक शाखा है जो कणों के विशाल समूहों (जैसे एक कमरे की हवा या एक कप का पानी) के व्यवहार को व्यक्तिगत परमाणुओं की गति के आधार पर समझाने की कोशिश करती है। यहाँ मुख्य विचार सूक्ष्म परिवर्तनीयता (microscopic reversibility) है: यदि आप एक एकल परमाणु को दीवार से टकराकर वापस आते हुए फिल्मा सकें और उसे उल्टा चला सकें, तो वह बिल्कुल एक वैध भौतिक घटना की तरह ही दिखेगा। भौतिकी के नियम आगे और पीछे, दोनों दिशाओं में समान रूप से काम करते हैं। फिर भी, जब आपके पास खरबों परमाणु होते हैं, तो वे उलटा भूल जाते हैं। वे हमेशा फैलते, मिश्रित होते और संतुलन (equilibrium) में स्थिर होते दिखते हैं, कभी भी स्वतः अन-मिक्स (un-mixing) नहीं होते।

150 से अधिक वर्षों से, वैज्ञानिक इस अंतर को पाटने की कोशिश कर रहे हैं। वे आणविक अराजकता (molecular chaos) नामक एक अवधारणा का उपयोग करते हैं, जो यह विचार है कि गैस में कण आपस में टकराने से पहले अनिवार्य रूप से अजनबी होते हैं—उनका आपस में कोई गुप्त योजना या नाचने का इतिहास नहीं होता। यदि आप यह मान लें कि कण पूरी तरह से स्वतंत्र और यादृच्छिक (random) अवस्था से शुरू होते हैं, तो आप समीकरण (जैसे प्रसिद्ध बोल्ट्ज़मैन समीकरण) प्राप्त कर सकते हैं जो भविष्यवाणी करते हैं कि गैस अव्यवस्था की ओर कैसे विकसित होगी। लेकिन इसमें एक पेच है: ये समीकरण आमतौर पर "औसत" पर निर्भर करते हैं। वे कहते हैं, "यदि आप अधिकांश संभावित प्रारंभिक व्यवस्थाओं को देखें, तो गैस इस तरह व्यवहार करेगी।" वे यह नहीं बताते कि परमाणुओं की वास्तव में कौन सी विशिष्ट व्यवस्था इस व्यवहार की ओर ले जाएगी, न ही वे यह समझाते हैं कि "उलटी" व्यवस्थाएँ इतनी दुर्लभ क्यों हैं। यह शोध पत्र उस लापता कड़ी में गोता लगाता है, यह पूछते हुए: क्या हम "यादृच्छिकता" (randomness) को इतनी सटीकता से परिभाषित कर सकते हैं कि हम एक विशिष्ट, एकल सूक्ष्म पथ की ओर इशारा कर सकें और कह सकें, "यह एक गारंटी देता है कि वह अपरिवर्तनीय दुनिया बनाएगा जिसे हम देखते हैं"?

शोध पत्र की खोज: "यादृच्छिक" पथ की तलाश

इस शोध पत्र में, नीनो डेकर्स और क्लास लैंड्समैन इस पहेली को हल करने के लिए एक नया, गणितीय दृष्टिकोण अपनाते हैं। केवल यह कहने के बजाय कि "अधिकांश" व्यवस्थाएं काम करती हैं, वे एक "यादृच्छिक" सूक्ष्म प्रक्षेपवक्र (trajectory) वास्तव में कैसा दिखता है, इसे परिभाषित करने के लिए एल्गोरिदम यादृच्छिकता (algorithmic randomness) नामक गणित की एक शाखा का उपयोग करते हैं। इसे ऐसे समझें: यदि आप एक मिलियन बार सिक्का उछालते हैं, तो एक "यादृच्छिक" अनुक्रम केवल वह नहीं है जो अस्त-व्यस्त दिखता है; बल्कि वह है जो पैटर्न के लिए हर संभव परीक्षण में पास हो जाता है। इसमें कोई छिपे हुए नियम, दोहराते लय या अनुमानित संरचना नहीं होती।

लेखक प्रस्ताव करते हैं कि यदि कोई प्रणाली एक ऐसी अवस्था में शुरू होती है जो एल्गोरिदम द्वारा यादृच्छिक है (अर्थात, कणों की प्रारंभिक स्थिति और गति एक विशिष्ट संभाव्यता नियम के अनुसार वास्तव में गणितीय रूप से यादृच्छिक है), तो वह प्रणाली गारंटीतः बोल्ट्ज़मैन समीकरण द्वारा अनुमानित अपरिवर्तनीय पथ का पालन करेगी। वे केवल यह नहीं कहते कि यह "अधिकांश समय" होता है; वे दिखाते हैं कि इन विशिष्ट, गणितीय रूप से परिभाषित यादृच्छिक पथों के लिए, स्थूल व्यवहार (जैसे गैस का फैलना) अपरिहार्य है।

इसे सिद्ध करने के लिए, वे तुरंत अत्यंत जटिल वास्तविक गैस से नहीं जूझते। इसके बजाय, वे दो "टॉय मॉडल्स" (toy models) का उपयोग करते हैं—वास्तविकता के सरलीकृत, चंचल संस्करण जो बड़े विचारों के लिए प्रशिक्षण पहियों (training wheels) की तरह कार्य करते हैं।

सबसे पहले, वे एरेनफेस्ट अर्न मॉडल (Ehrenfest urn model) को देखते हैं। दो पात्रों (बकेटों) की कल्पना करें जिनमें गेंदें भरी हुई हैं। क्लासिक संस्करण में, आप एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनते हैं और उसे दूसरे बकेट में स्थानांतरित करते हैं। लेखकों के इस "संशोधित" संस्करण में, प्रत्येक गेंद के पास कूदने का अपना स्वतंत्र अवसर होता है। वे दिखाते हैं कि यदि आप एक विशिष्ट प्रकार की यादृच्छिकता (जहाँ गेंदें स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं) के साथ शुरू करते हैं, तो प्रत्येक बकेट में गेंदों की संख्या सुचारू रूप से और अनुमानित रूप से एक समान विभाजन की ओर बढ़ेगी, ठीक वैसे ही जैसे एक गैस संतुलन तक पहुँचती है। महत्वपूर्ण रूप से, वे सिद्ध करते हैं कि यदि आप गेंदों के एक "यादृच्छिक" पथ को लेते हैं और फिल्म को उल्टा चलाने की कोशिश करते हैं, तो गणित टूट जाता है। उल्टा पथ यह आवश्यक करेगा कि गेंदएं एक बहुत ही विशिष्ट, गैर-यादृच्छिक व्यवस्था में शुरू हों जो इतनी असंभव है कि प्रभावी रूप से असंभव मानी जाती है। यह समझाता है कि हम गेंदों को स्वतः अन-मिक्स होते क्यों नहीं देखते: मिश्रण की ओर ले जाने वाले "यादृच्छिक" पथ ही एकमात्र हैं जो वास्तविक दुनिया में अस्तित्व रखते हैं।

दूसfrist, वे कैक रिंग मॉडल (Kac ring model) की जांच करते हैं। एक रिंग (छल्ले) की कल्पना करें जिसमें गेंदें घूम रही हैं। कुछ स्थानों पर "मार्कर" होते हैं जो गेंद के गुजरने पर उसके रंग को बदल देते हैं। भले ही नियम नियतत्ववादी (deterministic) हैं (कोई पासा नहीं फेंका जा रहा है; गेंदें बस ट्रैक का पालन करती हैं), लेखक दिखाते हैं कि यदि गेंदों और मार्करों का शुरुआती पैटर्न एल्गोरिदम द्वारा यादृच्छिक है, तो भी प्रणाली यादृच्छिक व्यवहार करेगी, जो एक स्थिर अवस्था की ओर विकसित होती है। फिर से, यदि आप समय को उलटने का प्रयास करते हैं, तो "यादृच्छिकता" का मानदंड विफल हो जाता है। उलटा पथ बहुत अधिक "व्यवस्थित" दिखाई देगा ताकि वह एक वैध यादृच्छिक पथ हो सके, जिसका अर्थ है कि यह बस होता ही नहीं है।

शोध पत्र क्या खारिज करता है और क्या सिद्ध करता है

लेखक अपनी दावों के प्रति बहुत सावधान हैं। वे स्पष्ट रूप से इस विचार का खंडन करते हैं कि हम केवल किसी भी प्रारंभिक स्थिति को चुन सकते हैं और उम्मीद कर सकते हैं कि गैस अपरिवर्तनीय व्यवहार करेगी। वे दिखाते हैं कि यदि आप एक "खराब" व्यवस्था के साथ शुरू करते हैं—जो बहुत अधिक व्यवस्थित है या जिसमें छिपे हुए पैटर्न हैं—तो गैस बोल्ट्ज़मैन समीकरण का पालन नहीं कर सकती है, या यह समय को उल्टा भी करती हुई प्रतीत हो सकती है। "आणविक अराजकता" केवल एक अस्पष्ट भावना नहीं है; यह एक सख्त गणितीय आवश्यकता है।

वे समय उत्क्रमण (time reversal) के बारे में एक सामान्य भ्रम को भी स्पष्ट करते हैं। शोध पत्र पुष्टि करता है कि अंतर्निहित भौतिकी के नियम सममित (symmetric) हैं। यदि आप जादुई रूप से गैस के प्रत्येक कण के वेग को उलट सकें, तो वह अपने कदमों को फिर से दोहराएगी। हालाँकि, शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि ऐसा करने के लिए आवश्यक प्रारंभिक स्थितियाँ "यादृच्छिक" नहीं हैं। वे अत्यधिक विशिष्ट और "असामान्य" हैं। शोध पत्र की भाषा में, अनंत कणों की सीमा में समय-उलटे पथों का समूह शून्य प्रायिकता रखता है। इसलिए, जबकि सिद्धांत में समय उत्क्रमण संभव है, एक यादृच्छिक प्रणाली के लिए यह व्यवहार में असंभव है क्योंकि इसे ट्रिगर करने के लिए आवश्यक प्रारंभिक अवस्था यादृच्छिक नहीं है।

लेखक इन टॉय मॉडल्स के लिए अपने परिणामों को लेकर आश्वस्त हैं। उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि संशोधित एरेनफेस्ट मॉडल और काक रिंग मॉडल के लिए, एल्गोरिदम यादृच्छिकता अपरिवर्तनीय स्थूल समीकरणों के उद्भव की गारंटी देने के लिए पर्याप्त है। वे यह दावा नहीं करते कि उन्होंने वास्तविक, जटिल गैसों (जैसे कमरे की हवा) के लिए इस समस्या को हल कर लिया है। वे स्वीकार करते हैं कि इन कठोर प्रमाणों को वास्तविक दुनिया की हार्ड-स्फीयर गैसों तक विस्तारित करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है और एक खुला प्रश्न बना हुआ है। हालाँकि, उन्होंने सफलतापूर्वक तंत्र (mechanism) को प्रदर्शित किया है: सूक्ष्म स्तर पर यादृच्छिकता, जिसे एल्गोरिदम सिद्धांत के माध्यम से सटीक रूप से परिभाषित किया गया है, समय के तीर को चलाने वाला इंजन है।

यादृच्छिकता की मायावी प्रकृति

एक अंतिम, दिमाग घुमा देने वाला मोड़ है जिस पर लेखक चर्चा करते हैं। वे एक विरोधाभास की ओर इशारा करते हैं: जबकि "अधिकांश" सूक्ष्म पथ यादृच्छिक हैं और अपरिवर्तनीय व्यवहार की ओर ले जाते हैं, हम वास्तव में किसी विशिष्ट यादृच्छिक पथ को कभी भी लिख या दिखा नहीं सकते। यह चैतिन के अपूर्णता सिद्धांतों (Chaitin's incompleteness theorems) के कारण है, जो कहते हैं कि किसी भी पर्याप्त जटिल गणितीय प्रणाली में, आप यह सिद्ध नहीं कर सकते कि एक विशिष्ट अनुक्रम यादृच्छिक है। यह एक ऐसे जासूस की तरह है जो इतना अच्छा छिपता है कि यदि वह अपनी पहचान प्रकट कर दे, तो वह अब जासूस नहीं रह जाता। यदि आप किसी यादृच्छिक अनुक्रम का स्पष्ट वर्णन कर सकते हैं, तो उसमें एक पैटर्न होगा (स्वयं वह विवरण), और इस प्रकार वह यादृच्छिक नहीं रहेगा।

इसलिए, शोध पत्र एक जीवंत चित्र के साथ समाप्त होता है: ब्रह्मांड उन सूक्ष्म पथों से भरा है जो पूरी तरह से यादृच्छिक हैं, जो हमारे अनुभव किए जाने वाले समय के अपरिवर्तनीय प्रवाह को संचालित करते हैं। हम जानते हैं कि वे वहाँ हैं, और हम जानते हैं कि वे ही कारण हैं कि कांच टूटता है और फिर कभी दोबारा नहीं जुड़ता। लेकिन हम उनमें से किसी एक की ओर इशारा करके यह नहीं कह सकते, "देखो, यहाँ परमाणुओं का वह सटीक अनुक्रम है जिसने इसे घटित किया।" वे हर जगह हैं, फिर भी गणितीय अनिर्णयता (mathematical undecidability) की छाया में हमेशा के लिए छिपे हुए हैं।

संक्षेप में, डेकर्स और लैंड्समैन ने "आणविक अराजकता" की हमारी समझ को तेज किया है। उन्होंने एक अस्पष्ट सांख्यिकीय विचार को एक सटीक गणितीय परिभाषा में बदल दिया है, यह दिखाते हुए कि समय का तीर केवल औसत का एक भाग्यशाली दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक वास्तव में यादृच्छिक सूक्ष्म दुनिया के साथ शुरू होने का एक आवश्यक परिणाम है।