Sequential Apportionment from Stationary Divisor Methods
이 논문은 고정된 divisor 방법을 기반으로 한 2 당 및 n 당 의석 배분 시퀀스의 주기성과 순서를 체계적으로 규명하고, 이를 통해 대형 정당이 더 많은 의석을 얻는 것이 아니라 시퀀스 상에서 더 일찍 의석을 확보한다는 새로운 편향 관점과 Adams 및 D'Hondt 방법 간의 새로운 관계를 제시합니다.
원저자:Michael A. Jones, Brittany Ohlinger, Jennifer Wilson
상상해 보세요. 친구들 (정당) 이 모여서 피자를 나누어 먹으려 합니다. 각 친구가 얼마나 많이 먹었는지 (득표수) 에 비례해서 피자를 나누어 줘야 합니다. 하지만 피자는 조각으로만 잘려 있고, 한 조각씩만 나눠줘야 합니다.
이때 "누가 다음 조각을 가져갈지" 정하는 규칙이 바로 이 논문에서 다루는 **'나눗셈 방법 (Divisor Methods)'**입니다.
1. 문제의 시작: "누가 먼저 먹을까?"
보통 우리는 "누가 더 많이 먹었는지"만 따집니다. 하지만 이 논문은 **"누가 먼저 먹기 시작했는지"**가 중요하다고 말합니다.
실제 사례: 북아일랜드에서 장관 자리를 정할 때, 단순히 의석 수만 정하는 게 아니라, 누가 첫 번째 장관 자리를 가져갈지, 두 번째는 누가 가져갈지 순서를 정하는 데 이 방법을 썼습니다.
비유: 피자를 한 조각씩 나눠줄 때, "내가 먼저 먹어야 해!"라고 외치는 친구가 있을 수 있습니다. 이 논문은 그 외침의 순서를 수학적으로 분석합니다.
2. 세 가지 주요 규칙 (나눗셈 방법)
이 논문은 피자를 나누는 세 가지 대표적인 규칙을 비교합니다. 이 규칙들은 **'c'**라는 숫자 (절단점) 에 따라 달라집니다.
Adams 방법 (c=0): "작은 친구를 챙겨주는 규칙"
비유: 가장 먼저 피자를 먹지 못한 작은 친구 (소수 정당) 가 먼저 먹게 해줍니다. "너도 배고프지? 먼저 먹어!"라고 생각하는 방식입니다.
결과: 작은 정당이 의석을 더 일찍 얻습니다.
D'Hondt (Jefferson) 방법 (c=1): "큰 친구를 우대하는 규칙"
비유: 이미 많이 먹은 큰 친구 (대정당) 가 더 많이 먹게 해줍니다. "네가 이미 많이 먹었으니, 다음 조각도 네가 가져가"라는 식입니다.
결과: 큰 정당이 의석을 더 일찍 얻습니다.
Webster 방법 (c=0.5): "중도적인 규칙"
비유: 두 친구 사이에서 딱 중간을 맞춰서 공평하게 나눠줍니다.
3. 이 논문의 핵심 발견: "순서가 곧 편향이다"
기존에는 "큰 정당이 더 많은 의석을 얻는다"고만 생각했습니다. 하지만 이 논문은 **"큰 정당은 의석 수보다 '더 빨리' 의석을 얻는다"**는 사실을 발견했습니다.
비유: 피자를 10 조각으로 나눈다고 할 때, 큰 정당은 15 번째 조각을 모두 가져갈 수도 있고, 작은 정당은 610 번째 조각을 가져갈 수도 있습니다.
결론: 의석의 '양'보다는 **의석을 얻는 '순서 (타이밍)'**가 편향을 결정한다는 것입니다. Adams 방법은 작은 친구에게 먼저 먹게 하고, D'Hondt 방법은 큰 친구에게 먼저 먹게 합니다.
4. 주기적인 패턴: "리듬을 타는 피자 나누기"
이 논문은 흥미로운 사실을 발견했습니다. 피자를 나누는 순서는 **일정한 리듬 (주기)**을 반복한다는 것입니다.
비유: "1 번 친구, 2 번 친구, 1 번 친구, 1 번 친구, 2 번 친구..." 하는 식으로 특정 패턴이 반복됩니다.
의미: 이 패턴을 알면, 앞으로 누가 언제 피자를 먹을지 정확히 예측할 수 있습니다. 논문은 이 패턴을 수학적으로 완벽하게 설명하고, 몇 가지 패턴이 가능한지 세어냈습니다.
5. 2 명에서 n 명으로 확장하기: "조각 맞추기 퍼즐"
처음에는 두 친구 (A 와 B) 만 있을 때의 규칙을 분석했습니다. 그런데 친구가 3 명, 4 명으로 늘어날 때 어떻게 될까요?
비유: A 와 B, B 와 C, A 와 C 사이의 2 인 관계 규칙을 모두 모아서, 3 인 이상의 큰 그룹 규칙을 만들어냅니다. 마치 여러 개의 작은 퍼즐 조각을 맞춰 큰 그림을 완성하는 것과 같습니다.
결과: 이 방법을 통해 어떤 정당이든 몇 명이어도, 어떤 규칙 (c) 을 쓰면 어떤 순서로 피자가 나뉠지 계산할 수 있는 공식을 만들었습니다.
📝 요약 및 결론
이 논문은 **"선거 의석 나누기"**를 단순한 계산이 아니라, **"누가 먼저 자리를 차지하느냐"**는 시간의 흐름으로 바라봤습니다.
규칙에 따라 순서가 바뀐다: 작은 정당을 먼저 챙기는 규칙 (Adams) 과 큰 정당을 먼저 챙기는 규칙 (D'Hondt) 은 의석의 총수는 비슷할지라도, 누가 먼저 앉느냐가 완전히 다릅니다.
리듬이 있다: 나누는 순서는 일정한 패턴을 반복하므로 예측 가능합니다.
실용성: 이 연구는 북아일랜드 같은 곳에서 장관 자리를 정할 때, 혹은 공장에서 물건을 생산할 때 (Just-in-Time) 누구의 주문을 먼저 처리할지 결정하는 데 도움을 줍니다.
한 줄 요약:
"누가 더 많이 먹느냐보다, 누가 먼저 먹느냐가 중요한 세상에서, 피자를 나누는 규칙에 따라 그 '먼저'의 순서가 어떻게 달라지는지 수학적으로 증명해낸 연구입니다."
1. 문제 제기 (Problem Statement)
비례대표제에서 의석을 정당별 득표율에 따라 배분하는 **약수법 (Divisor Methods)**은 잘 알려져 있으며, 특히 '의석 수 증가 monotonicity (House Monotonicity)'를 만족하여 의석을 순차적으로 배분할 수 있다는 특징이 있습니다. 그러나 기존 연구는 최종 의석 수 분배에 집중했으나, **의석이 수여되는 순서 (Sequence)**에 대한 연구는 상대적으로 부족했습니다.
이 순서는 실제 정치 상황에서 중요합니다. 예를 들어, 북아일랜드 의회와 같은 연합 정부에서는 의석 배분 순서를 따라 내각 직책을 결정합니다. 또한, Just-In-Time (JIT) 스케줄링 문제와도 구조적으로 유사합니다. 본 논문은 다음과 같은 핵심 질문에 답하고자 합니다:
정적 약수법 (고정된 반올림 절단점 c∈[0,1]을 가진 방법) 은 어떤 의석 배분 시퀀스를 생성하는가?
이 시퀀스들은 주기적 (Periodic) 인가?
n개 정당의 상황에서 가능한 서로 다른 시퀀스의 수는 얼마이며, 이는 어떻게 계산되는가?
시퀀스의 순서 (Lexicographical ordering) 와 약수법의 편향 (Bias) 은 어떤 관계가 있는가?
정적 약수법 정의: 정당 i의 현재 의석 수를 ai라고 할 때, 다음 의석은 ai+cpi 비율을 최대화하는 정당에게 수여됩니다. 여기서 pi는 득표수입니다.
c=0: 아담스 (Adams) 방법 (소수 정당 우대)
c=0.5: 웹스터/생트-라귀 (Webster/Sainte-Laguë) 방법
c=1: D'Hondt (제퍼슨) 방법 (대수 정당 우대)
주기성 (Periodicity) 분석: 투표수가 정수일 때, 생성되는 시퀀스가 주기적임을 증명하고, 그 주기가 gcd(p1,…,pn)∑pi임을 보였습니다.
2 당국 분석 (2-Party Analysis): 두 정당 (p1>p2) 의 경우, 시퀀스가 $1s와2s로구성된패턴으로반복됨을규명하고,c$의 값에 따라 시퀀스가 어떻게 변하는지 구간별로 분류했습니다.
상승 기법 (Lifting): 2 당 시퀀스의 특성을 이용하여 n당 시퀀스를 구성하는 알고리즘을 개발했습니다. 모든 (2n)개의 2 당 시퀀스를 결합하여 n당 시퀀스를 유도하는 Algorithm 1을 제시했습니다.
포함 - 배제 원리 (Inclusion-Exclusion Principle):n당 문제에서 가능한 서로 다른 시퀀스의 총수를 계산하기 위해, 각 2 당 쌍이 생성하는 절단점 c의 구간 분할 집합의 합집합 크기를 계산하는 수학적 모델을 구축했습니다.
3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions and Results)
A. 시퀀스의 주기성과 아담스 - D'Hondt 관계
주기성 정리 (Theorem 2): 정적 약수법에 의해 생성된 시퀀스는 정수 투표수 조건 하에서 주기적이며, 그 주기는 P=(∑pi)/gcd(p1,…,pn)임을 증명했습니다.
아담스와 D'Hondt 의 관계 (Theorem 1): 아담스 방법 (c=0) 의 시퀀스는 D'Hondt 방법 (c=1) 의 시퀀스 앞에 각 정당에 1 의 의석을 먼저 수여하는 패턴 (1,2,…,n) 을 붙인 것과 동일하다는 놀라운 관계를 발견했습니다. 즉, S0(p)=(1,2,…,n,s1,s2,…)입니다.
B. 편향 (Bias) 에 대한 새로운 관점
기존 연구는 편향을 "큰 정당이 더 많은 의석을 얻는가"로 보았으나, 저자들은 **시퀀스의 사전적 순서 (Lexicographical Ordering)**를 통해 편향을 재정의했습니다.
Proposition 2: 절단점 c가 클수록 (D'Hondt 에 가까울수록) 생성된 시퀀스는 사전적 순서에서 더 작아집니다. 즉, 큰 정당은 c가 클수록 더 일찍 의석을 얻습니다.
이는 편향이 단순히 의석 수의 차이가 아니라, 의석을 얻는 타이밍의 차이임을 보여줍니다.
C. 2 당 및 n당 시퀀스의 완전한 분류
2 당 시퀀스:p1,p2가 서로소일 때, 가능한 시퀀스의 수는 p1−p2+1개임을 증명했습니다 (Corollary 4). 각 시퀀스는 c의 특정 구간 [p1−p2ℓ,p1−p2ℓ+1)에 대응됩니다.
n당 시퀀스: 2 당 시퀀스들을 결합하여 n당 시퀀스를 생성하는 알고리즘 (Algorithm 1) 을 제시했습니다.
서로 다른 시퀀스의 수 계산 (Theorem 8):n개 정당의 경우, 가능한 서로 다른 시퀀스의 수는 1+∣⋃kAk∣로 주어지며, 여기서 Ak는 각 2 당 쌍이 생성하는 절단점 구간들의 집합입니다. 이 크기는 포함 - 배제 원리를 사용하여 gcd 값을 통해 계산할 수 있습니다.
D. 북아일랜드 사례 적용
2022 년 북아일랜드 의회 선거 데이터 (Sinn Féin, DUP 등 4 당) 를 적용하여, D'Hondt 방법과 아담스 방법, 그리고 그 사이의 모든 정적 방법들이 생성하는 시퀀스를 비교했습니다.
실제 내각 직책 배분 순서가 D'Hondt 방법에 기반했을 때와 아담스 방법에 기반했을 때 어떻게 달라질 수 있는지 시뮬레이션했습니다.
4. 의의 및 결론 (Significance and Conclusion)
이론적 기여: 약수법의 순차적 배분 특성을 체계적으로 분류하고, n당 문제에서 가능한 시퀀스의 수를 정확히 계산하는 공식을 제시했습니다. 이는 기존에 기하학적 접근으로 상한선만 추정했던 연구 (Cembrano et al.) 와는 구별되는 정밀한 결과입니다.
실용적 적용:
정치적: 연합 정부 내 내각 직책 배분 시, 순차적 배분 방식을 통해 협상 비용을 줄이고 갈등을 완화할 수 있음을 보여줍니다. 또한, 어떤 약수법을 선택하느냐에 따라 직책 배분 순서가 달라져 정치적 결과에 영향을 미칠 수 있음을 시사합니다.
운영 연구 (Operations Research): JIT 스케줄링 문제에서 약수법의 적용 가능성을 재조명하며, 특히 아담스 방법과 D'Hondt 방법이 각각 시작 시간과 종료 시간에 기반한 공정한 대기열 (Fair Queueing) 에 대응됨을 확인했습니다.
편향의 재해석: "큰 정당이 더 많은 의석을 얻는다"는 절대적 편향 개념에서 벗어나, "큰 정당이 의석을 더 일찍 얻는다"는 시간적 편향 개념을 정립했습니다.
요약하자면, 이 논문은 수학적 정밀성을 바탕으로 정당 의석 배분의 순서를 분석함으로써, 기존에 간과되었던 약수법의 동적 특성과 그 정치적/운영적 함의를 규명한 선구적인 연구입니다.