Thermalization in a closed quantum system from randomized dynamics

우주를 아주 작은 입자들이 춤을 추는 거대하고 믿기지 않을 정도로 복잡한 기계라고 상상해 보십시오. 지난 한 세기 동안 과학자들은 이 입자들이 뜨거워지거나 차가워질 때 어떻게 행동하는지 예측하는 비밀 규칙책을 가지고 있었습니다. 바로 통계 역학입니다. 이 규칙책은 충분히 기다리기만 하면, 시스템이 커피가 실온으로 식는 것처럼 편안한 '열평형' 상태에 도alt하게 된다고 말합니다. 하지만 여기 한 가지 난제가 있습니다. 입자들이 파동처럼 행동하고 엄격하며 깨뜨릴 수 없는 운동 법칙을 따르는 양자 세계에서는, 식혀 내려갈 '실온'이라는 개념이 존재하지 않습니다. 시스템은 닫혀 있으며, 그 자체로 완결된 하나의 우주입니다. 그렇다면 완전히 고립된 양자 시스템이 어떻게 뜨겁거나 차갑게 행동하는 법을 배울 수 있는 걸까요?

전통적으로 물리학자들은 시스템이 더 큰 파티의 일부라고 가정함으로써 이 문제를 해결해 왔습니다. 그들은 작은 입자 그룹(시스템)이 거대한 군중(배스, bath)과 어울리고 있다고 상상합니다. 이 군중은 열적 배스 역할을 하며 에너지를 흡수하거나 내어줌으로써 작은 그룹이 안정되도록 돕습니다. '고유 상태 열화 가설(Eigenstate Thermalization Hypothesis, ETH)'로 알려진 이 아이디어는 국소적인 관측, 예를 들어 방의 한 구석의 온도만을 확인하는 데에는 매우 효과적입니다. 하지만 방 전체를 하나의 단위로 보려고 하면 벽에 부딪힙니다. 방 전체가 시스템이라면, 배스는 어디에 있을까요? 그리고 시스템을 '부분'과 '나머지'로 나눌 수 없다면 어떻게 될까요? 다트머스 대학교와 카를스루에 연구소의 이번 연구가 해결하고자 하는 미스터리는 바로 이것이며, 양자의 냉기 속에서 열이 어떻게 발생하는지에 대해 신선하고 혼돈스러운 반전을 제시합니다.

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혼돈의 셔플: 뜨거워지는 새로운 방법

보통 양자 시스템이 '열적'으로 작동하게 만들기 위해 과학자들은 약한 자극에 의존합니다. 그들은 시스템을 부드럽게 흔들어, 오직 에너지 준위의 아주 작은 조각만이 중요해지는 상태로 안착하기를 기대합니다. 이는 종을 가볍게 톡톡 두드리는 것과 같습니다. 종은 특정한 방식으로 예측 가능하게 울립니다. 하지만 이 새로운 논문에서 저자인 니콜라이 그네즈딜로프(Nikolay Gnezdilov)와 안드레이 파블로프(Andrei Pavlov)는 부드럽게 두드리는 것을 멈추고 테이블을 격렬하게 흔들기로 결정했습니다.

그들은 양자 시스템, 구체적으로는 '횡장 이싱 모델(transverse-field Ising model)'이라고 불리는 일렬로 배열된 11개의 작은 자석(스핀) 사슬을 가져와서, 무작위적인 상호작용의 거대한 폭풍으로 타격하는 방법을 제안합니다. 당신의 시스템의 에너지 상태를 나타내는 카드 한 벌이 있다고 상상해 보십시오. 기존 방식에서는 카드의 순서를 거의 유지한 채 덱을 아주 조금만 섞는 방식이었습니다. 하지만 이 새로운 접근 방식에서는 덱을 토네이도 속에 던져버립니다. 이 '무작위 상호작용'은 너무 강력해서 모든 에너지 준위를 뒤섞고, 가능한 모든 스펙트럼을 하나로 섞어버립니다.

여기에 마술 같은 일이 일어납니다. 시스템이 혼돈에 빠지더라도, 저자들은 만약 여러 가지 서로 다른 무작위 폭풍들의 '평균' 결과값을 본다면 아름다운 패턴이 나타난다는 것을 발견했습니다. 이는 마치 한 움큼의 모래를 공중에 천 번 던지는 것과 같습니다. 각 알갱이는 서로 다른 혼돈스러운 방향으로 날아가겠지만, 그 모든 알갱이가 떨어진 위치를 평균 내면 완벽하고 매끄러운 언덕을 형성하게 됩니다.

이 연구에서 '모래 알갱이'는 시스템이 서로 다른 에너지 상태에 존재할 확률입니다. 시스템이 이러한 강한 무작위 섭동(perturbation)을 받을 때, 이 에너지 상태들을 점유하는 방식은 **포터-토마스 분포(Porter-Thomas distribution)**라는 유명한 통계적 패턴을 따릅니다. 이는 혼돈스러운 시스템이 어떻게 행동하는지를 설명하는 수학적 기술입니다. 저자들은 이 혼돈스러운 분포의 '평균'이 바로 깁스 분포(Gibbs distribution), 즉 커피 한 잔이나 하늘의 별이 열을 나누는 방식을 설명하는 것과 동일한 공식이라는 것을 발견했습니다.

초기 상태의 온도

그렇다면 온도는 어디에서 오는 걸까요? 기존의 '배스' 방식에서 온도는 환경에 의해 설정됩니다. 이 새로운 폐쇄형 시스템 방식에서 온도는 시스템의 초기 상태에 의해 결정됩니다.

저자들은 특정 시작점, 즉 스핀들이 특정한 방식으로 정렬된 상태로 실험을 설정했습니다. 그런 다음 시스템의 총 에너지는 시작할 때와 반드시 같아야 한다는 엄격한 규칙을 부여했습니다. 무작위 폭풍이 모든 것을 뒤섞기 때문에, 시스템은 단 하나의 에너지 준위에 머물지 않고 퍼져 나갑니다. 하지만 총 에너지가 고정되어 있기 때문에, 시스템은 그 에너지에 부합하는 특정한 '열적' 분포로 자리 잡을 수밖에 없습니다.

이는 음악이 혼돈스러운 폭풍인 뮤지컬 체어 게임과 같습니다. 만약 당신이 특정 인원수(에너지)를 가지고 시작하여 그들에게 무작위로 춤을 추라고 강요한다면, 그들은 결국 시작할 때의 인원수에 전적으로 의존하는 매우 특정한 패턴을 그리며 방 전체로 퍼져 나갈 것입니다. 저자들은 시스템을 '부분'과 '배스'로 나눌 필요 없이, 이 패턴이 열역학의 황금 표준인 정준 앙상블(canonical ensemble)임을 보여주었습니다.

작동 증명: 전역에서 국소로

이것이 단순한 수학적 요행이 아님을 증명하기 위해, 연구팀은 11개 스핀 사슬에 대한 시뮬레이션을 실행했습니다. 그들은 두 가지 유형의 요소를 관찰했습니다:

1. 전역 관측량(Global Observables): 그들은 시스템의 모든 개별 에너지 상태의 '점유(occupation)'를 확인했습니다. 전통적인 물리학에서 시스템 '전체'가 열적 분포를 따른다는 생각은 종종 불가능하거나 배스를 필요로 하는 것으로 간주됩니다. 하지만 여기서는 전역 투영기(global projectors, 시스템이 특정 상태에 얼마나 있는지 알려주는 것)가 열적 예측과 완벽하게 일치했습니다.
2. 국소 관측량(Local Observables): 그들은 또한 스핀들이 거리상으로 어떻게 서로 소통하는지(스핀-스핀 상관관계)를 살펴보았습니다. 열적 시스템에서 이러한 연결은 노이즈가 많은 방에서 속삭임이 사라지는 것처럼, 거리가 멀어짐에 따라 지수적으로 약해져야 합니다. 저자들은 스핀들이 서로 '들을 수 있는' 거리(상관 길이)가 온도가 상승함에 따라 정확히 짧아진다는 것을 발견했습니다.

결과는 놀라웠습니다. 시스템의 초기 에너지를 높였을 때, '온도'는 올라갔고 상관 길이는 짧아졌으며, 이는 표준 열역학이 예측하는 바와 정확히 일치했습니다. 그들은 또한 결과를 계산할 때 최종 에너지 상태를 보는 방식(정확한 대각화)을 사용하든, 실시간으로 시스템의 진화를 관찰하는 방식(실시간 전파)을 사용하든 이 결과가 유효함을 보여주었습니다. 두 경우 모두, 시스템은 유한한 시간(대략 $1/J$, 여기서 $J$는 무작위 상호작용의 세기) 내에 열적 상태로 이완되었습니다.

이것이 중요한 이유

이 논문은 단순히 이론적인 수수께끼를 푸는 것에 그치지 않고, 양자 컴퓨터를 위한 문을 열어줍니다. 현재 열적 상태를 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션하는 것은 어렵습니다. 왜냐하면 보통 시스템과 함께 거대한 '배스'를 함께 시뮬레이션해야 하는데, 이는 귀중한 큐비트를 모두 잡아먹기 때문입니다. 이 새로운 방법은 강하고 무작위적인 역학 하에서 짧은 시간 동안 시스템을 진화시키는 것만으로도 시스템 전체의 열적 상태를 생성할 수 있음을 시사합니다. 가짜 환경을 구축할 필요 없이, 그저 시스템을 충분히 세게 흔들어 혼돈이 일을 하게 만들면 됩니다.

저자들은 이것이 시뮬레이션 기반의 발견임을 주의 깊게 명시했습니다. 그들은 11개 스핀의 특정 1차원 사슬에 대해 이를 입증했습니다. 하지만 이 메커니즘은 자석의 구체적인 세부 사항이 아니라 혼돈스러운 시스템의 보편적 특성(포터-토마스 분포)에 의존하기 때문에, 저자들은 이 접근 방식이 충분히 혼돈스럽고 고정된 총 에너지를 가진 훨씬 더 크고 복잡한 시스템에도 적용될 수 있다고 믿습니다.

요약하자면, 그네즈딜로프와 파블로프는 양자 시스템을 뜨겁게 만들기 위해 열적 배스가 필요하지 않다는 것을 보여주었습니다. 충분한 혼돈을 도입하고, 에너지를 고정하고, 시스템이 스스로 평균을 내도록 내버려 두기만 하면 됩니다. 열은 외부에서 오는 것이 아닙니다. 그것은 양자의 소음 속에 숨겨진 아름답고 통계적인 질서로부터 솟아나오는 것입니다.