On the Real Zeroes of Half-integral Weight Hecke Cusp Forms, II

문제 정의
본 논문은 기본 영역 내에서 반정수 가중치 헤케 큐스프 폼(half-integral weight Hecke cusp forms)의 "실수" 제로(zeroes)의 분포를 다룬다. 구체적으로, 두 측지선 조각 $\delta_1 := \{s \in \mathbb{C} : \text{Re}(s) = -1/2\}$ 및 $\delta_2 := \{s \in \mathbb{C} : \text{Re}(s) = 0\}$ 위에 위치한 제로에 초점을 맞춘다. 홀로모픽 양자 고유 에르고디시티(Quantum Unique Ergodicity, QUE) 추측은 가중치 $k \to \infty$일 때 제로가 기본 영역의 벌크(bulk) 내에서 균등하게 분포함을 시사하지만, 이 특정 측지선들 위의 제로의 거동은 더 미묘하다.

저자의 이전 연구 [14]는 양의 비율을 갖는 폼들에 대해, 실수 제로의 개수가 $K/Y$의 속도로 성장한다는 것($K$는 가중치 파라미터, $Y$는 실레 영역(Siegel set)에서의 높이)을 확립했으나, 로그 인자의 상당한 손실, 즉 $K/((\log K)^{3/2+\epsilon} Y)$라는 손실이 발생했다. 이러한 손실은 기초 디스크리미넌트(fundamental discriminants) $d$에서 푸리에 계수 $c_g(|d|)$의 크기 변동으로 인해, 이 계수들의 2차 및 4차 모멘트가 동일한 차수의 크기를 갖지 못했기 때문이다. 본 연구의 목표는 이러한 로그 손실을 제거하고, 코헨 플러스 부분 공간(Kohnen plus subspace) 내의 $\gg K^2$개의 폼에 대해 실수 제로의 개수가 기대되는 성장률인 $\gg K/Y$를 따른다는 것을 증명하는 것이다.

방법론
핵 핵심 전략은 저자의 이전 연구 [14]의 접근 방식을 따르며, 이는 짧은 기초 디스크리미넌트 구간을 따라 푸리에 계수 $c_g(|d|)$의 부호 변화를 탐지하는 데 의존한다. 그러나 본 논문은 계수의 변동을 매끄럽게 만들기 위해 몰리파이어(mollifier) $M_g(d)$를 사용하는 중요한 기술적 진전을 도입한다.

1. 몰리피케이션(Mollification): 저자들은 $|c_g(|d|)|M_g(d)$가 전형적으로 일정한 크기를 갖도록 설계된 몰리파이어 $M_g(d)$를 구성한다. 이는 Radziwiłł와 Soundararajan [26]에서 영감을 얻은 반복 스킴을 사용하여 중심 $L$-값 $L(1/2, f \otimes \chi_d)$ (Waldspurger 공식을 통해)를 모델링함으로써 달성된다. 몰리파이어는 $L(1/2, f \otimes \chi_d)^{-1/2}$를 근사하기 위해 서로 소인 소수 집합들로부터 구성된 짧은 디리클레 다항식이다.
2. 모멘트 추정(Moment Estimation): 증명은 푸리에 계수의 몰리파이어된 2차 및 4차 모멘트에 대한 날카로운 상한을 얻는 데 달려 있다.
   • 2차 모멘트: Waldspurger 공식, 근사 함수 방정식, 정수 가중치 폼에 대한 페테르손 트레이스 공식(Petersson trace formula), 그리고 푸아송 합산(Poisson summation)을 사용하여 평가된다.
   • 4차 모ment: 이것이 주요한 기술적 참신함이다. 저자들은 몰리파이어된 4차 모멘트를 헤케 고윳값들이 사토-테이트(Sato-Tate) 측도에 따라 분포하는 독립적인 확률 변수로 대체된 **확률 모델(random model)**과 연관시킨다. 이 모멘트를 확률적 $L$-함수와 확률적 몰리파이어의 기댓값으로 표현함으로써, 저자들은 소수에서의 이 변수들의 독립성을 활용하여 계산을 단순화한다.
3. 확률 모델 및 경로 적분(Random Model and Contour Integration): 저자들은 확률적 디리클레 급수 $L(X; d, k)$와 확률적 몰리파이어 $M_2(X; d)$를 사용한다. 저자들은 복소 평면에서 경로를 이동시켜 곱 $L(X; d, k)M_2(X; d)$의 기댓값을 평가한다. 핵심적인 관찰은 $s_2 = -s_1$에서의 극(pole)으로부터 오는 기여가 페테르손 트레이스 공식의 비대각(off-diagonal) 부분에서 발생하는 주항(main term)을 상쇄한다는 것이며, 이는 Khan [17]에서 관찰된 현상과 유사하지만 여기서는 다른 메커니즘을 통해 발생한다.
4. 부호 변화 탐지(Sign Change Detection): 몰리파이어된 모멘트에 대한 날카로운 상한(구체적으로, 4차 모멘트가 2차 모멘트의 차수와 일치하는 $XK$로 유계됨)이 확립되면, 저자들은 마르코프 부등식(Markov's inequality)과 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz arguments)을 적용하여, 양의 비율을 갖는 폼들에 대해 몰리파이어된 계수들이 짧은 구간에서 부호 변화를 보임을 보여준다.

주요 기여 및 결과
주요 결과는 **정리 1.2(Theorem 1.2)**이며, 이는 가중치가 $K$까지인 코헨 플러스 부분 공간들의 합집합 내의 폼 $g$ 중 $\gg K^2$개에 대하여, $\delta_j \cap F_Y$ (여기서 $j \in \{1, 2\}$) 상의 실수 제로의 개수가 다음을 만족함을 명시한다:
$$\#\{z \in Z(g) \cap \delta_j \cap F_Y\} \gg \frac{K}{Y}$$
단, $\sqrt{K} \log K \le Y \le K^{1-\vartheta}$이다.

이 결과는 다음과 같은 점을 통해 [14]의 기존 발견을 통합하고 개선한다:

• 로그 손실 $(\log K)^{-3/2-\epsilon}$을 제거하였다.
• 제로 개수의 추측된 최적 성장률을 달성하였다.
• 단일 가중치가 아닌, 가중치 족(family of weights) 내의 양의 비율을 갖는 폼들에 대해 결과를 확립하였다.

또한 본 논문은 몰리파이어된 2차 및 4차 모멘트에 대한 날카로운 상한을 확립하는 명제 4.1(Proposition 4.1) 및 **명제 4.2(Proposition 4.2)**를 제공하며, 이들은 주 정리(main theorem)를 이끄는 기술적 엔진 역할을 한다.

의의
본 논문은 오토모픽 폼(automorphic forms)의 제로 분포 맥락에서 그 의의를 주장한다. 본 연구는 (Lester–Matomäki–Radziwiłł [21]에서와 같이) 계수의 곱셈성(multiplicativity)에 의존하는 정수 가중치 폼에서 사용되는 방법들이, 푸리에 계수의 비곱셈성(lack of multiplicativity) 때문에 반정수 가중치 폼에는 직접 적용되지 않음을 보여준다. 대신, 본 연구는 적절한 몰리파이어를 도입하고 비곱셈적 변동을 처리하기 위해 확률 모델을 활용함으로써, 기대되는 제로 밀도를 회복할 수 있음을 보여준다.

저자들은 일반화된 린델로프 가설(Generalised Lindelöf Hypothesis)이 정수 가중치 폼에 대해 유사한 상한을 제시할 것임을 언급하면서도, 본 논문에서 제시된 반정수 가중치 폼에 대한 무조건적인 결과는, 계수의 비곱셈적 성질에 의해 발생하는 특정한 해석적 어려움을 극복했다는 점에서 중요한 진전임을 밝히고 있다. 이 연구는 몰리파이어를 사용하여 실수 제로의 개수 산정에서 로그 손실을 제거할 수 있다는 [14]의 예측을 검증한다.