Global Linearization of Parameterized Nonlinear Systems with Stable Equilibrium Point Using the Koopman Operator

1. 연구 배경 및 문제 정의 (Problem)

• 배경: Koopman 연산자 프레임워크는 비선형 동역학 시스템을 무한 차원의 선형 연산자로 변환하여 분석할 수 있게 해줍니다. 최근 데이터 기반 알고리즘 (EDMD 등) 을 통해 이 연산자를 학습하여 비선형 시스템의 식별 및 예측에 널리 활용되고 있습니다.
• 문제점: 기존 연구는 주로 자율 시스템 (Autonomous systems) 에 초점을 맞추었으며, 입력 (Control inputs) 이 있는 비선형 시스템에 대한 Koopman 연산자의 스펙트럼 특성과 전역 선형화 (Global Linearization) 에 대한 이론적 기반이 명확하지 않았습니다.
• 핵심 과제:
  1. 입력을 매개변수 (Parameter) 로 간주한 시스템에서 Koopman 고유함수 (Eigenfunctions) 가 매개변수에 어떻게 의존하는지 규명.
  2. 입력을 가진 시스템에 대해 전역 선형화가 존재하는지, 그리고 그 변환이 매개변수에 연속적으로 의존하는지 증명.
  3. 제어-아핀 (Control-affine) 시스템의 경우, 변환 행렬이 입력에 의존하지 않는 전역 쌍선형화 (Global Bilinearization) 가 가능한 조건을 도출.

2. 방법론 (Methodology)

저자들은 입력을 (조각상수) 매개변수 $u$로 취급하여 다음과 같은 수학적 도구를 활용했습니다.

• 시스템 설정:
  • 매개변수화된 동역학 시스템: $\dot{x} = F_u(x)$
  • 제어-아핀 시스템: $\dot{x} = F(x) + \sum u_i G_i(x)$
  • 가정: 시스템은 원점에서 전역 지수적으로 안정한 평형점 (GES EP, Globally Exponentially Stable Equilibrium Point) 을 가지며, 상태 공간은 양의 불변 집합입니다.
• Koopman 연산자 및 생성자:
  • Koopman 연산자 $U_t$ 와 그 생성자 $L_F$ (리 미분자) 를 정의합니다.
  • $L_F \phi = \mu \phi$를 만족하는 고유함수 $\phi$와 고유값 $\mu$를 분석합니다.
• 섭동 이론 (Perturbation Theory):
  • 선형 연산자의 섭동 이론을 적용하여 매개변수 $u$가 변할 때 Koopman 연산자의 해 (Resolvent) 와 고유 사영 (Eigenprojection) 의 수렴성을 분석합니다.
  • 고유값이 단순 (Simple) 이고 고립된 (Isolated) 경우, 고유 사영이 매개변수에 대해 강하게 수렴 (Strongly converge) 함을 보입니다.
• 리 대수 (Lie Algebra) 구조 분석:
  • 제어-아핀 시스템의 경우, 벡터장 $F, G_i$가 생성하는 리 대수와 선형화된 시스템의 행렬 $A, B_i$가 생성하는 리 대수 사이의 동형사상 (Isomorphism) 조건을 도출합니다.

3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions & Results)

A. 매개변수 의존적 전역 선형화 (Theorem 4)

• 결과: 시스템이 GES EP 를 가지며, 자코비안 행렬의 고유값이 $k$-비공명 ($k$-nonresonant) 조건과 $k$-스펙트럼 확산 ($k$-spectral spread) 조건을 만족할 때, 매개변수 $u$에 연속적으로 의존하는 전역 선형화 변환 $\psi_u(x)$ 가 존재함을 증명했습니다.
• 특징:
  • 비선형 시스템 $\dot{x} = F_u(x)$를 유한 차원 선형 시스템 $\dot{z} = A_u z$로 변환합니다.
  • 변환 행렬 $A_u$는 $D_x F_u(0)$와 일치합니다.
  • 변환 함수 $\psi_u$는 $u$의 함수로서 $C^k$ 노름에서 연속적입니다.
  • 이는 입력을 가진 시스템에 대한 EDMD 기반 제어기 설계의 이론적 근거 (Universal Approximation Theorem 적용 가능성) 를 제공합니다.

B. 입력 독립적 전역 쌍선형화 (Theorem 5)

• 동기: Theorem 4 의 변환 $\psi_u$가 입력 $u(t)$에 의존하면, 변환된 상태 $\dot{z}$ 방정식에 $\dot{u}$ 항이 발생하여 제어에 부적합합니다. 따라서 입력에 독립적인 변환을 찾는 것이 목표입니다.
• 조건: 제어-아핀 시스템에서 다음 두 조건이 만족되면 입력 $u$에 독립적인 전역 쌍선형화가 가능합니다.
  1. 벡터장 $F, G_i$와 선형화 행렬 $A, B_i$가 생성하는 리 대수 (Lie Algebra) $\{F, G_1, \dots, G_d\}_L$과 $\{A, B_1, \dots, B_d\}_L$ 사이에 동형사상이 존재해야 함.
  2. 고유값이 $k$-비공명 조건을 만족해야 함.
• 결과: 위 조건 하에서, 변환 $\psi(x)$는 입력 $u$에 무관하며, 시스템은 다음과 같은 쌍선형 형태로 전역적으로 선형화됩니다.
  $$\dot{z} = Az + \sum_{i=1}^d u_i B_i z$$
• 의의: 기존 국소적 (Local) 결과 (Taylor 급수 기반) 를 Koopman 스펙트럼 이론을 통해 전역적 (Global) 으로 확장했습니다.

4. 예시 (Example)

• 2 차원 시스템 예시를 통해 비공명 조건이 만족될 때 고유함수가 매개변수 $u$에 연속적으로 의존함을 보였습니다.
• 또한, 리 괄호 $[F, G] = 0$인 경우 (예: $a=1$), 입력에 독립적인 쌍선형 변환이 존재하여 Theorem 5 의 조건이 성립함을 확인했습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

1. 이론적 기반 확립: 입력이 있는 비선형 시스템에 대한 Koopman 기반 선형화의 존재성과 연속성을 엄밀하게 증명하여, 데이터 기반 제어 (Data-driven Control) 의 이론적 토대를 마련했습니다.
2. 전역성 확보: 기존 리 대수 기반의 국소적 선형화 결과를 Koopman 연산자의 스펙트럼 성질을 이용하여 전역적으로 확장했습니다.
3. 실용적 적용 가능성:
   • 입력에 독립적인 쌍선형화 조건을 제시함으로써, 입력이 빠르게 변하는 상황에서도 적용 가능한 제어 전략을 가능하게 합니다.
   • 변환의 연속성 증명은 EDMD 와 같은 데이터 기반 방법이 Koopman 고유함수를 근사할 때 수렴성과 정확성을 보장함을 의미합니다.
4. 향후 과제: 현재 연구는 GES EP 를 가진 시스템으로 제한되어 있으나, 향후 더 넓은 클래스의 시스템 (예: 전역적으로 지수적으로 안정화 가능한 시스템) 으로 결과를 확장하는 것이 향후 연구 방향입니다.

이 논문은 Koopman 연산자 이론을 제어 시스템 설계에 적용할 때, 입력의 영향을 어떻게 체계적으로 다룰 수 있는지에 대한 중요한 통찰을 제공합니다.