Extensionalism without Logicism: Ambrose and Extensional Logic

Juan J. Colomina-Alminana 의 논문"논리주의 없는 확장주의: 앰브로즈와 확장 논리"에 대한 설명을 일상적인 언어와 비유로 번역한 것입니다.

큰 그림: 철학적"골디락스"지대

20 세기 초의 수학 세계를 거대하고 시끄러운 토론 클럽으로 상상해 보세요. 한쪽에는 버트런드 러셀이 있습니다. 그는 모든 수학이 순수한 논리로만 구축될 수 있다고 믿은 천재였으며, 마치 레고 블록만으로 성을 짓듯이 수학도 그렇게 구축될 수 있다고 보았습니다. 그는 이를논리주의라고 불렀습니다. 또한 그는 무한 집합 (모든 숫자처럼) 이 아직 아무도 읽지 않았더라도 모든 책이 이미 선반에 꽂혀 있는 완결된 도서관처럼"한꺼번에"존재한다고 믿었습니다.

반면, 직관주의자들 (브라우어와 같은) 은 수학이 정신적 활동이라고 주장했습니다. 그들은"실제로 복도를 걸어 책을 확인하지 않는 한 도서관에 대해 이야기할 수 없다"고 말했습니다. 그들은"완결된 무한"이라는 개념을 거부하고, 무언가를 단계별로 구축해야 한다고 고집했습니다.

앨리스 앰브로즈는 그 사이에서 현명한 중재자였습니다. 이 논문은 그녀가 교묘한"골디락스"해결책을 찾았다고 주장합니다:그녀는 러셀의"레고 블록"(확장 논리) 의 명확성과 엄밀함을 원했지만, 그의"완결된 도서관"(논리주의와 물질적 무한) 은 받아들이기를 거부했습니다.

그녀는 엄격하고 논리적인 시스템을 원했지만, 무언가에 대한 규칙을 작성할 수 있다는 이유만으로 무한한 것들이 물리적으로 존재한다고 가장하지는 않았습니다.

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문제:"마법"공리들

저자는 러셀의 계획에 숨겨진 결함이 있었다고 설명합니다. 그의"순수 논리"성벽을 작동시키기 위해 그는 논리가 아닌 추가 규칙 (공리) 을 은밀히 도입해야 했는데, 이는 마치 마법 주문처럼 작용했습니다.

1. 무한 주문: 러셀은 수학을 수행하기 위해 무한한 수의 것들이 실제로 존재한다고 가정해야 했습니다. 앰브로즈는 이것이 논리적 사실이 아니라 현실의 본질에 대한 추측이라고 주장했습니다.
2. 환원성 주문: 그는 복잡한 규칙이 항상 단순한 규칙으로 단순화될 수 있다고 가정해야 했습니다. 앰브로즈는 이를 논리의 순수성을 해치는"패치"라고 불렀습니다.

비유: 러셀이 순수 논리 (밀가루와 물) 만을 사용하여 케이크를 굽으려 한다고 상상해 보세요. 하지만 케이크가 부풀어 오르게 하려면 그는 비밀스럽게"마법 효모"(무한과 환원성의 공리) 를 조금 추가합니다. 앰브로즈는 이렇게 말합니다."이봐요, 마법 효모가 필요하다면 더 이상 밀가루와 물만으로 케이크를 굽는 것이 아닙니다. 당신은 마법으로 케이크를 굽는 겁니다."

해결책:"논리주의 없는 확장주의"

앰브로즈의 핵심 아이디어는방법(확장주의) 은 유지하되형이상학(논리주의) 은 버리는 것입니다.

• 확장주의 (방법): 이것은 사물이 무엇을"의미"하는지가 아니라 무엇을"포함"하거나 그"결과"가 무엇인지에 따라 사물을 바라보는 것입니다.
  • 비유: 장바구니를 생각해 보세요. 확장적 관점은 카트에 담긴 물건 (사과, 우유, 빵) 에만 관심을 가집니다. 왜 샀는지나 무엇을 요리할 의도인지는 중요하지 않습니다. 단지"사과가 카트에 있는가? 예 또는 아니오?"라는 사실에만 관심을 가집니다.
• 전환: 앰브로즈는 명확하고 객관적인 이"장바구니"접근법을 유지했습니다. 하지만"무한한 카트"가 우주에 놓인 실제 물리적 객체라는 아이디어는 버렸습니다.

그녀는"무한"이 실제 완결된 것이라고 믿지 않아도 엄밀한 수학을 할 수 있다고 주장했습니다. 무한은 단지 규칙의 집합으로 취급하면 된다는 것입니다.

###"파이 -7"퍼즐: 시험 사례

이 논문은 앰브로즈의 새로운 방법이 어떻게 작동하는지 보여주기 위해 구체적인 퍼즐을 사용합니다. 이 퍼즐은**파이 (π)**숫자에 관한 것입니다.

질문: "파이의 소수 전개에서 세 개의 연속된 7 이 나타나는가?"(예: ...777...)

• 러셀의 견해: 파이는 숫자의 무한한 목록이므로, 답은 이미 무한한 도서관 어딘가에"결정"되어 있습니다. 우리가 아직 찾지 못했더라도 777 은 거기에 있거나 없거나 둘 중 하나입니다.
• 직관주의자의 견해: "우리가 실제로 그것을 찾을 때까지는 그것이 참인지 거짓인지 말할 수 없습니다. 우리가 그것을 찾을 수 없다면, 그 질문은 무의미합니다."
• 앰브로즈의"중도": 그녀는"우리는 이를 논리적 질문으로 취급할 수 있지만, 중단 규칙이 필요합니다"라고 말합니다.

비유: 끝없는 고속도로에서 특정 빨간색 차를 찾고 있다고 상상해 보세요.

• 러셀은 말합니다."그 차는 아무리 멀리 떨어져 있더라도 고속도로 어딘가에 분명히 있습니다."
• 앰브로즈는 말합니다."우리는 그 차에 대해 이야기할 수 있지만,'그 차가 존재한다'는 진술은 우리가 언제 멈추어야 하는지 알려주는규칙을 가지고 있을 때만 의미가 있습니다. 우리가 차를 찾으면 멈추고"예"라고 말합니다. 만약 우리가 결코 찾지 못한다면, 마법에 기반해"아니오"라고 말할 수는 없습니다. 우리는 검색을 마치지 않았다고 인정해야 합니다."

앰브로즈는 이 질문을무한한"OR"문장들의 목록으로 재구성했습니다:

• "1 번 위치에 있는가? OR 2 번 위치에 있는가? OR 3 번 위치에 있는가?"
• 그녀는 이것이 의미를 갖기 위해서는유한한 증인이 필요하다고 주장했습니다. 당신은 특정 위치 (증인) 를 가리키며"여기 있습니다!"라고 말할 수 있어야 합니다.

만약 당신이 증인 (777 이 나타나는 특정 위치) 을 만들어낼 수 없다면, 존재에 대한 주장은 흔들립니다. 하지만 만약 당신이 증인을 만들어낼 수 있다면, 그것이 참이라고 말하기 위해"완결된 무한"을 믿을 필요가 없습니다. 단지"찾을 때까지 계속 확인하라"는 규칙만 있으면 됩니다.

이것이 중요한 이유 (논문에 따르면)

저자는 앰브로즈가"과도기적 인물"이었다고 결론 내립니다. 그녀는 다음 사이의 간극을 메웠습니다:

1. 러셀의 형식주의: "수학은 순수 논리이다."
2. 브라우어의 직관주의: "수학은 정신적 구성이다."

앰브로즈는 실제 물리적 무한을 믿는다는형이상학적 짐 없이 러셀 논리의엄밀함(명확하고 객관적인 규칙) 을 가질 수 있음을 보여주었습니다.

"프로토 - 알고리즘"통찰:
이 논문은 앰브로즈가 우연히 현대 컴퓨터 과학의 정신을 발명했다고 제안합니다. 무한한 검색에는"유한한 중단 규칙"(증인) 이 필요하다고 고집함으로써, 그녀는 우리가 이제알고리즘이라고 부르는 것을 설명하고 있었습니다.

• 비유: 로봇에게"777 을 검색하라. 찾으면 멈추고 삐 소리를 내라. 찾지 못하면 계속 가라"고 말하는 것과 같습니다. 앰브로즈는 수학이 추상적이고 신비로운 무한 개념에 의존하기보다는 명확하고 기계적인 단계를 따르는 로봇처럼 작동할 때 가장 잘 작동한다는 것을 깨달았습니다.

한 문장으로 요약한 내용

앨리스 앰브로즈는 게임의 엄격한 규칙 (확장주의) 에 동의하면서도 게임판 자체 (무한) 가 완결된 물리적 객체라고 믿는 것을 거부함으로써, 실제로 찾거나 유한한 단계별 규칙으로 증명할 수 있는 것들만 세어야 한다고 고집함으로써 논리적 수학의 명확성을 구했습니다.