Uncertainty intervals for multilevel models with missing not at random data

기술 요약: 다층 모델의 결측치(MNAR)에 대한 불확실성 구간

문제 제기
종단적 조사는 참여하지 않는 개인과 일부 측정 시점 이후 중도 탈락하는 이들을 모두 포함하여 결측 문제에 자주 직면한다. 표준 다층(혼합 효과) 모델은 결측 확률이 관측된 데이터에만 의존한다는 결측 무작위성(MAR) 가정을 일반적으로 채택한다. 그러나 노인 인구와 건강 결과에 관한 연구에서는 응답자가 비응답자와 체계적으로 다를 수 있으므로(예: 더 건강함), MAR 가정이 위배될 가능성이 높다. 이는 결측이 무작위가 아닌 경우(MNAR)를 시사한다. 만약 MAR 가정이 위배된다면, 매개변수 추정치는 편향될 수 있으며 오해의 소지가 있는 결론으로 이어질 수 있다. 선택 모델(selection models)과 패턴 혼합 모델(pattern mixture models)이 MNAR 데이터를 처리하기 위해 존재하지만, 매개변수를 완전히 식별하기 위해서는 검증 불가능할 정도로 강력한 분포적 제약 조건을 요구하는 경우가 많다.

방법론
본 논문은 완전한 식별 대신 약한 가정하에서의 부분 식별을 지향하는 민감도 분석 방법을 제안한다. 이 접근 방식은 다음 단계들을 포함한다:

1. 이중 모델링(Dual Modeling): 결과 변수와 탈락 메커니즘을 다층 모델을 사용하여 동시에 모델링한다.
   • 결과 $y_{ij}$는 선형 혼합 효과 모델을 통해 모델링된다: $y_{ij} = X_{ij}\beta + \eta_{ij}$.
   • 탈락 과정은 프로빗 링크(probit link)를 사용하는 일반화 선형 혼합 모델을 통해 잠재 변수 $z^*_{ij}$를 활용하여 모델링된다: $z^*_{ij} = X_{ij}\delta + u_{ij}$, 여기서 $z^*_{ij} > 0$일 때 관측이 발생한다.
2. 민감도 매개변수: MAR 가정하에서 결과의 무작위 효과($\eta$)와 탈락의 무작위 효과($u$)는 독립적이다. MNAR을 고려하기 위해 저자들은 두 무작위 성분 사이의 공분산을 나타내는 민감도 매개변수 행렬 $\Delta_i$를 도입한다.
3. 편향 도출: 저자들은 $\Delta_i \neq 0$일 때 일반화 최소제곱(GLS) 추정량의 편향에 대한 일반적인 해석적 표현식을 도출한다. 이 편향은 민감도 매개변수와 이중 절단된 다변량 정규 분포(doubly truncated multivariate normal distribution)의 기댓값의 함수이다.
4. 불확실성 구간: 민감도 매개변수에 대해 단일 값을 가정하는 대신, 이 방법은 타당한 범위(예: 0과 0.5 사이의 상관관계)를 지정한다. 이 범위 내의 값들에 대해 편향을 계산함으로써, 저자들은 "불확실성 구간"을 구축한다. 이 구간은 지정된 MNAR 가정 범위 하에서 도출된 신뢰 구간들의 합집합으로서, 추정과 추론을 위한 경계(bounds)를 제공한다.

주요 기여

• 일반적 해석적 표현식: 본 논문은 MNAR 조건하의 다층 모델에서 GLS 추정량의 편향에 대한 일반적인 해석적 표현식을 제공한다. 기존의 도출 방식은 종단 연구를 대표하기 어려운 특수한 사례(예: 클러스터 내의 모든 결과가 완전히 관측되거나 완전히 누락된다고 가정하는 경우)에 국한되어 있었다.
• 부분 식별 프레임워크: 이 방법은 매개변수를 완전히 식별하기 위해 검증 불가능한 분포적 제약을 요구하지 않으면서, MAR 가정을 완화하여 결론의 안정성을 정량화할 수 있게 한다.
• 구현 전략: 저자들은 표준 소프트웨어(예: R의 lme4)와 전문 패키지(MomTrunc)를 사용하여 필요한 구성 요소(공분산 행렬 및 절단된 기댓값)를 계산하는 방법을 보여줌으로써, 이 접근 방식이 응용 연구자들에게 계산적으로 실행 가능함을 입증한다.

결과

• 실증적 적용: 본 방법은 SHARE(유럽 건강, 노화 및 은퇴 조사) 데이터를 적용하여 65세 이상 인구의 외로움, 신체 활동 및 기억력 궤적 간의 연관성을 조사하였다.
  • MAR 조건하에서, 빈번한 외로움은 기억력 점수의 0.59 감소와 관련이 있었던 반면, 격렬한 신체 활동은 0.41 증가와 관련이 있었다.
  • MNAR을 가정하는 민감도 분석(특히 기억력 저하가 탈락 위험을 높인다는 가정)은 추정치가 약간 편향(과소 추정)될 수 있음을 시사했으나, 전반적인 결론은 견고하게 유지되었다. 불확실성 구간은 MAR 추정치와 유사한 중심을 가지면서도 약간 더 넓게 나타났다.
• 시뮬레이션 연구: 시뮬레이션 연구를 통해 유한 표본에서의 편향 수정 성능을 평가하였다.
  • 연구는 중첩된(가구 클러스터링) 모델과 비중첩(unnested) 모델을 비교하였다. 중첩된 모델은 종종 수렴 문제를 겪었으나, 비중첩 모델은 안정적인 추정치를 제공하였다.
  • 편향이 수정된 추정치는 실제 데이터 생성 과정이 MAR을 위반하는 경우에도 최소 87%(종종 90–95%)의 경험적 피복률(empirical coverage rates)을 달eric하였다.
  • 연구는 중첩된 설계에서 시간 변수의 표준 오차가 과소 추정되어 수정되지 않은 추정치의 피복률이 낮아진다는 점을 언급하였으나, 편향 수정이 피복률을 유의미하게 개선함을 확인하였다.

의의 및 한계
본 논문은 제안된 방법이 특히 MAR 가정이 의심스러운 경우가 많은 건강 및 노화 연구에서 민감도 분석을 위한 실용적인 도구를 제공한다고 주장한다. 이는 결론이 결측 데이터에 대한 가정에 어떻게 의존하는지를 더 투명하게 평가할 수 있게 한다.

저자들은 다음과 같은 특정 한계점을 인정한다:

• 계산적 부담: 이중 절단된 다변량 정규 분포의 기댓값을 계산하는 것은 큰 클러스터에 대해 계산 집약적이 되며, 이는 현재 구현 방식에서 고도로 중첩된 설계(예: 국가 수준의 클러스터링)의 실행 가능성을 제한한다.
• 대상 인구: 실증적 적용에서, 기록되지 않은 사망 및 연구 선택 문제로 인해 대상 인구가 다소 불분명하게 정의되어 있으며, 본 방법은 이를 명시적으로 다루지 않는다.
• 소프트웨어: 현재 이 방법은 기존 R 패키지를 사용하는 커스텀 스크립트를 통해 구현되어 있으며, 향후 더 넓은 접근성을 위해 ui 패키지에 통합하는 것을 목표로 한다.

결론적으로, 본 논문은 이 방법이 식별 문제를 완전히 해결하지는 못하지만, 타당한 MNAR 시나리오 하에서 추정치의 경계를 설정하고 결과의 견고성을 평가하기 위한 엄격한 프레임워크를 제공한다고 밝히고 있다.