Adaptive and Neural Operator Control of Nonlinear Volterra Hyperbolic PDEs

문제 정의
본 논문은 임의의 개수의 커널을 갖는 미지의 볼테라 급수(Volterra series)에 의해 내부 비선형성이 결정되는 일종의 비선형 쌍곡형 편미분 방정식(PDE)에 대한 적응 제어를 다룬다. 구체적인 대상(plant)은 경계 제어 입력이 존재하는 1차 쌍곡형 PDE이다. 제어 목표는 플랜트 상태를 원점으로 안정화하는 것이다.

표준적인 PDE 백스태핑(backstepping) 제어를 이러한 불완전하게 알려진 플랜트에 적용하는 데 있어 두 가지 주요 장애물이 존재한다:

1. 모델 의존성: 백스태핑에 필요한 피드백 이득(커널)은 플랜트 계수의 범함수(functionals)이다. 모델을 알지 못하면 이러한 이득을 계산할 수 없다.
2. 계산적 제약: 설령 모델을 안다고 하더라도, 이러한 클래스의 비선형 볼테라 PDE에 대한 백스태핑 이득은 증가하는 차원의 심플렉스 영역(n번째 차수 커널의 경우 n차원 심플렉스)에서 정의된 커널 PDE의 연쇄(cascade)의 해가 된다. 적응 제어 환경에서는 플랜트 추정치가 지속적으로 변하기 때문에, 이 연쇄를 온라인에서 푸는 것은 계산적으로 매우 불가능하다.

방법론
저자들은 두 가지 장애물을 동시에 극복하기 위해 적응 제어와 **뉴럴 오퍼레이터 학습(neural operator learning)**을 결합한 통합 아키텍처를 제안한다. 시스템은 직렬로 연결된 두 가지 학습 과정을 통해 작동한다:

1. 온라인 적응형 식별기(Online Adaptive Identifier): 미지의 볼테라 커널($f_1, \dots, f_N$)을 온라인으로 추정하기 위해 관측기 기반의 수동적 식별기(passive identifier)가 설계된다. 이 식별기는 절단된 $N$차 볼테라 급수를 사용하며 투영 기반(projection-based) 파라미터 업데이트 법칙을 사용한다. 결정적으로, 이 설계는 지속적 흥분(persistence-of-excitation) 가정이 필요 없이 안정성을 보장하는데, 이는 추정 오차가 리아푸노프 미분 항에서 소산(dissipative) 항으로 나타나기 때문이다.
2. 오프라인 뉴럴 오퍼레이터 솔버(Offline Neural Operator Solver): 추정된 플랜트 파라미터로부터 요구되는 백스태핑 제어 이득으로의 매핑은 선형 볼테라 적분 방정식의 연쇄를 포함하는 복잡한 무한 차원 연산자이다. 이 매핑을 $Q_N$이라 명명하며, 이를 뉴럴 오퍼레이터($\hat{Q}_N$)에 의해 오프라인에서 근사한다.
   • 기존 연구들이 '알려진' 플랜트에 대한 제어기를 학습하는 것과 달리, 본 논문은 **커널 생성 맵(kernel-generation map)**을 학습한다. 뉴럴 오퍼레이터는 실행 중인 파라미터 추정치 $\hat{f}(t)$를 입력으로 받아 실시간으로 제어 커널 $\hat{k}(t)$를 출력한다.
   • 구현된 제어기는 이러한 학습된 커널을 확실성 등가(certainty-equivalence) 프레임워크 내에서 사용하여 관측기 상태에 작용한다.

주요 기여

1. 미지의 선형 커널에 대한 적응형 설계: 본 논문은 선형 커널($f_1$)조차 미지인 완전 비선형 볼테라 클래스로 적응 제어를 확장한다. 이는 이득 연쇄를 폐쇄형 쿼드러처(closed-form quadratures)의 시퀀스(알려진 모델 설계의 경우)에서 자기 결합된 선형 볼테라 적분 방정식의 시퀀스로 변환한다. 저자들은 작은 크기 조건(smallness conditions) 없이도 임의의 허용 가능한 비선형 크기에 대해 이 방정식들의 가역성을 증명한다.
2. 절단 및 근사와 관련된 안정성: 저자들은 폐루프 시스템의 $a$ priori $L^2$ 안정성과 점근적 조절(asymptotic regulation)을 확립한다. 이들은 다음으로부터 발생하는 섭동을 동시에 흡수하기 위해 단일 리아푸노프 함수를 활용한다:
   • 무한 볼테라 급수의 절단.
   • 온라인 파라미터 추정 오차.
   • 뉴럴 오퍼레이터의 근사 오차.
3. 뉴럴 오퍼레이터 구현 (정리 2): 온라인 PDE 연쇄 풀이를 오프라인으로 훈련된 뉴럴 오퍼레이터 대리물(surrogate)로 대체하는 것이 폐루프 안정성을 유지함을 증명한다. 뉴럴 오퍼레이터 기반 제어기의 인력권(basin of attraction)은 근사 오차가 사라짐에 따라 정확한 커널의 인력권과 일치하도록 확장된다.
4. 커널 맵의 립시츠 연속성: 커널 생성 연산자 $Q_N$이 파라미터 추정 공간 상에서 립시츠 연속임을 보여주는 엄밀한 증명을 제공하며, 이는 뉴럴 오퍼레이터의 보편 근사 능력(universal approximation capabilities)을 위한 전제 조건이다.

결과

• 이론적 보장: 정리 1은 정확한 커널 케이스에 대해 플랜트 상태, 관측기 상태 및 입력의 리아푸노프 안정성과 점근적 조절을 확립한다. 정리 2는 뉴럴 오퍼레이터 구현으로 이 보장을 확장하여, 초기 조건이 특정 인력권 내에 있고 뉴럴 오퍼레이터의 정확도가 충분하다면 시스템이 안정적으로 유지되며 0으로 조절됨을 보여준다.
• 수치적 예시: 이차 볼테라 PDE($N=2$)를 이용한 시뮬레이션은 설계를 입증한다. 결과는 다음과 같다:
  • 개방 루프 시스템은 유한 시간 내에 발산한다.
  • 적응형 폐루프 시스템은 상태를 성공적으로 0으로 조절한다.
  • 파라미터 추정치와 뉴럴 오퍼레이터의 출력 커널은 조기에 수렴하고 안정화되는 반면, 플랜트 상태는 수송 시간(transport time) 척도에 따라 더 느리게 감쇠한다.
  • 추정치가 반드시 실제 플랜트 파라미터로 수렴하는 것은 아니지만(상태가 소멸할 때 지속적 흥분이 부족하기 때문), 이는 시스템을 안정화하는 커널을 생성하기에 충분하다.
  • 뉴럴 오퍼레이터는 온라인 계산 비용을 크게 줄이면서(수치적 연쇄 풀기의 0.64 ms 대비 0.17 ms) 낮은 근사 오차(~$2 \times 10^{-2}$)를 유지한다.

의의
본 논문은 무한 차원 적응 제어의 근본적인 병목 현상, 즉 플랜트 추정치가 변화함에 따라 복잡하고 고차원적인 피드백 이득을 실시간으로 재계산할 수 없는 문제를 해결했다고 주장한다. 뉴럴 오퍼레이터를 통해 (오프라인에서 처리되는) 커널 PDE 연쇄의 무거운 계산 부하를 온라인 적응 루프로부터 분리함으로써, 저자들은 미지의 볼테라 비선형성을 갖는 비선형 쌍곡형 PDE에 대한 적응형 백스태핑의 실질적인 배포를 가능하게 한다. 이 연구는 PDE를 위한 이론적 적응 제어와 실시간 구현 사이의 간극을 메우며, 특히 비선형 연쇄 내에서 미지인 선형 커널이 갖는 독특한 어려움을 다룬다.