Temperature Beyond Equilibrium in Isolated Quantum Many-Body Systems and Their Subsystems

상상해 보십시오. 당신에게는 양자 입자로 만들어진 거대하고 투명한 댄스 플로어가 있습니다. 옛날에 물리학자들은 이 댄스 플로어가 얼마나 "뜨거운지" 알고 싶다면, 그저 모든 사람이 격렬하게 춤추는 것을 멈추고 차분하고 일정한 리듬으로 자리 잡을 때까지 기다리기만 하면 된다고 생각했습니다. 그 차분한 상태를 **평형(equilibrium)**이라고 부르며, 그 상태에서 온도는 다루기 쉽고 측정하기 용이한 숫자입니다.

하지만 음악이 갑자기 바뀐다면 어떻게 될까요? 만약 이 댄스 플로어에 양자적 "퀜치(quench, 급격한 변화)"를 가해, 입자들이 결코 진정되지 않는 혼돈스럽고 소용돌이치는 광란의 상태로 몰아넣는다면 어떻게 될까요? 거의 2세기 동안, 과학자들은 다음과 같은 단순한 질문에 답하기 위해 고군분투해 왔습니다. 평형에서 벗어난 계(system)의 온도는 무엇인가?

이 논문에서 마우리치오 파고티(Maurizio Fagotti)는 이 문제를 바라보는 새로운 방법을 제안합니다. 그는 우리가 이러한 혼돈스러운 계를 예전의 "차분해지는" 틀 안에 억지로 끼워 맞추려 노력하는 것을 멈춰야 한다고 제안합니다. 대신, 우리는 온도를 계가 여전히 춤을 추고 있는 동안에도, 방대한 조직적 가능성의 도서관 내에서 특정 상태를 찾아내는 방법으로 취급해야 한다고 주장합니다.

두 가지 종류의 에너지 떨림

이 새로운 아이디어를 이해하기 위해, 시스템의 에너지가 두 가지 다른 유형의 "떨림"을 가지고 있다고 상상해 보십시오.

1. 인구(Populations): 이것은 댄스 플로어 위의 무용수 수와 같습니다. 무용수가 더 많으면 에너지가 더 많습니다. 이것은 "고전적"인 부분으로, 우리가 시스템에 에너지가 얼마나 있는지에 대해 보통 갖게 되는 무지(ignorance)의 종류입니다.
2. 결맞음(Coherence): 이것은 까다로운 부분입니다. 이것은 무용수들이 특정한 방식으로 손을 잡고 동기화된 패턴을 형성하는 것과 같습니다. 전체 무용수의 수가 동일하더라도, 그들이 연결되는 방식(상대적 위상)은 고전적인 대응물이 없는 특별한 종류의 에너지 불확certainty(불확실성)를 만들어냅니다. 이 결맞음이 시스템을 시간에 따라 변화하도록 유도하는 동력이 됩니다.

논문은 평형 밖에서 온도를 정의하기 위해서는 이 두 가지 떨림을 분리해야 한다고 주장합니다. 우리는 "결맞음" 부분을 있는 그대로 유지하면서, "인구" 부분에 적합한 온도를 찾아내야 합니다.

잎사귀의 도서관

파고티는 **포리에이션(foliation, 층 구조)**이라는 영리한 비유를 사용합니다. 전체 양자 시스템의 상태를 하나의 거대한 책이라고 상상해 보십시오.

• 옛 방식 (교환자 포리에이션 - Commutant Foliation): 과거에 과학자들은 페이지들을 동일한 "기저(basis)"를 공유하는 것끼리 그룹화하여(예를 들어 저자의 이름별로 책을 분류하듯) 이 책을 정리했습니다. 하지만 이 방식은 시스템이 평온할 때(평형 상태)만 잘 작동했습니다. 시스템이 혼돈스러워지면, "저자"(퀜치 전의 온도)라는 개념이 의미를 잃기 때문에 이 조직화는 무너집니다.
• 새로운 방식 (최소 분산 포리에이션 - Minimum-Variance Foliation): 저자는 이 책을 정리하는 새로운 방법을 제안합니다. 페이지들을 얼마나 많은 **결맞은 에너지(coherent energy)**를 포함하고 있는지에 따라 "잎사귀(leaves)"로 그룹화한다고 상상해 보십시오. 같은 "잎사귀" 위에 있는 모든 상태는 정확히 동일한 양자적 연결 패턴(결맞음)을 공유하지만, 에너지(인구)가 무용수들 사이에 어떻게 분포되어 있는지는 서로 다릅니다.

잎사귀를 시스템의 특정 "분위기(vibe)"나 "기분(mood)"이라고 생각하십시오. 일단 기분(결맞음)을 알게 되면, 당신은 그 특정 잎사귀를 따라 미끄러지듯 이동하며 온도를 찾을 수 있습니다. 온도는 단지 당신이 그 특정 잎사귀의 어디에 위치해 있는지를 알려주는 좌표일 뿐입니다.

새로운 규칙: 최대가 아닌 최소 변별

여기서 논문은 대담한 행보를 보입니다. 표준 열역학에서 우리는 보통 시스템이 **엔트로피(무질서도)**를 극대화한다고 가정하여 계의 상태를 찾습니다. 이는 마치 "시스템은 가장 혼란스러운 것을 만드는 방향으로 움직일 것이다"라고 말하는 것과 같습니다.

그러나 이 논문은 평형 밖에서는 "최대 엔트로피" 규칙이 틀렸다고 주장합니다. 대신, 시스템은 최소 변별 정보(minimum discrimination information) 원리를 따릅니다.

당신이 비밀 코드를 추측하려고 한다고 상상해 보십시오. 옛날 규칙은 "가장 무작위한 코드를 추측하라"고 했습니다. 새로운 규칙은 "당신이 이미 알고 있는 부분(결맞음)을 바꾸지 않으면서, 기존의 것과 가장 가까운 코드를 추측하라"고 말합니다. 논문은 이 혼돈스러운 잎사귀들에 대해 최대 엔트로피 규칙을 적용하면 잘못된 온도를 얻게 된다는 것을 시뮬레이션을 통해 보여줍니다. 참조 상태와의 차이를 최소화하는 새로운 규칙이 올바른 답을 줍니다.

부분계(Subsystems)에 대하여 (부분적인 관점)

만약 당신이 댄스 플로어의 아주 작은 구석만을 본다면 어떻게 될까요? 그곳에서 온도를 측정할 수 있을까요?
논문은 아니오, 정확하게는 불가능하다고 말합니다. 당신은 작은 조각의 축약된 상태(reduced state)만을 보고 "아, 이 조각의 온도는 5구나"라고 말할 수 없습니다.

왜 그럴까요? 작은 부분의 온도는 그 부분이 나머지 댄스 플로와 어떻게 연결되어 있는지에 달려 있기 때문입니다. 부분계의 "온도"는 **전체 시스템의 궤적(trajectory)**에 의해 결정됩니다. 이는 마치 백미러만을 보고 자동차의 속도를 추측하려는 것과 같습니다. 속도를 이해하려면 앞으로 펼쳐진 길 전체를 알아야 합니다.

하지만 논문은 만약 부분계가 충분히 크다면, "경계" 효과(부분계가 세상의 나머지 부분과 만나는 가장자리)가 작아진다고 제안합니다. 매우 큰 부분계의 극한에서 우리는 국소적 온도를 정의할 수 있지만, 그 경계 상호작용 때문에 항상 아주 작은 불확실성(부분계 크기의 역수에 비례하는)이 존재합니다.

이 논문이 배제하는 것들

• 이 논문은 온도가 단순히 평형 상태에서 남겨진 잔재라는 생각을 배제합니다. 저자들은 온도가 단순히 평온했던 과거의 흔적이 아니라, 상태와 그 역학(dynamics)의 고유한 속성이라고 주장합니다.
• 이 논문은 이러한 비평형 상태에 대해 최대 엔트로피 원리가 작동한다는 생각을 배제합니다. 저자들은 최대 엔트로피를 사용하는 것이 편향되고 잘못된 온도를 초래한다는 것을 시뮬레이션을 통해 보여줍니다.
• 이 논문은 부분계의 축약된 상태만을 보고 그 부분계의 온도를 정의할 수 있다는 생각을 배제합니다. 역사와 전역적 연결이 중요합니다.

얼마나 확실한가?

이 논문은 (단거리 상호작용을 가진 양자 스핀 체인이라는) 특정 계에 대해 수학적으로 엄밀한 이론적 프레임워크를 제시합니다.

• "잎사귀"와 "정준 흐름(canonical flow)"의 핵심 정의는 확립된 양자 정보 이론(특히 최소 분산 포리에이션)으로부터 도출되었습니다.
• "최대 엔트로피는 실패하고 최소 변별이 작동한다"는 주장은 수치 시뮬레이션(논문의 섹션 6)에 의해 뒷받침됩니다. 저자들은 기존 방식이 편향된 결과를 내놓는 반면, 새로운 방식이 기대되는 물리적 행동과 일치함을 보여주는 시뮬레이션을 수행했습니다.
• 이 논문은 이 프레임워크가 열역학적 극한(무한한 시스템)에도 적용될 수 있음을 시사하지만, 이 "잎사귀"들 위에서 상전이(phase transitions)가 존재하는지 등의 일부 문제는 여전히 향후 연구 과제로 남아 있음을 인정합니다.

요점

온도는 단순히 상황이 차분해졌을 때 측정하는 숫자가 아닙니다. 그것은 가능성의 지도 위에 있는 하나의 좌표입니다. 양자 시스템이 혼돈스러운 비평형의 광란 속에 있을 때조차, 그 시스템은 여전히 온도를 가지고 있습니다. 하지만 그 온도를 찾으려면, 시스템을 정적인 객체로 보는 것을 멈추고, 양자적 연결(결맞음)을 고정시킨 채 저항이 가장 적은 경로를 따라 미끄러지며 그 시스템이 살아가는 "잎사귀"의 가능성을 바라봐야 합니다. 이것은 혼돈 속에서 열을 바라보는 새로운 방식입니다.