Locatedness, Convexity, and Integrability in $\mathbb{R}^N$

미지의 형상

당신이 신비로운 섬의 지도를 그리려는 지도 제작자라고 상상해 보십시오. 수학의 세계에서 이 섬은 '집합(set)'이라 불리는 도형이며, 그 주변을 둘러싼 바다는 우리가 $\mathbb{R}^N$이라 부르는 거대한 수의 공간입니다. 때때로 이 형상들은 무질서하고, 들쭉날쭉하며, 측정하거나 확정하는 것이 불가능한 구멍들을 가지고 있습니다. 하지만 다른 때에는 매끄럽고, 단단하며, 다루기 쉽습니다. 이 논문은 "구성적 해석학(constructive analysis)"이라는 수학의 특별한 구석에 자리 잡고 있습니다. 이것을 수학자들이 단순히 "어딘가에 존재할 것이다"라고 말하는 곳이 아니라, 그것이 실재함을 증명하기 위해 단계별로 실제로 그것을 직접 만들어내야 한다고 고집하는 작업실이라고 생각하십시오.

이 작업실의 주요 도구는 측도(measure) (양동이에 물이 얼마나 들어가는지처럼, 도형의 '크기'나 부피를 계산하는 방법), 볼록성(convexity) (도형 내부의 어떤 두 점을 선택하더라도 그 둘을 잇는 직선이 완전히 도형 내부에 머무는 성질—마치 불가사리가 아닌 매끄러운 구슬처럼), 그리고 위치성(locatedness) (우주의 어떤 점에서 당신의 도형 가장자리까지의 거리를 정확하게 말할 수 있는 능력)입니다. 이것이 왜 중요할까요? 왜냐하면 구성적인 세계에서는 어떤 도형이 경계(boundary)를 가지고 있다고 그냥 가정할 수 없기 때문입니다. 당신은 그 경계에 가까워질 수 있다는 것을 실제로 증명해야 합니다. 만약 어떤 형상이 "위치적(located)"이라면, 그것은 수학적 도구 상자 안에서 신뢰할 수 있고 사용 가능한 대상임을 의미합니다. 만약 그렇지 않다면, 그것은 유령과 같습니다. 존재한다는 것은 알지만, 당신이 그곳까지의 거리를 측정하거나 만질 수는 없는 상태 말입니다.

논문의 발견

이 노트에서 더글러스 S. 브리지스(Douglas S. Bridges)는 $N$ 차원 공간에서의 이러한 형상들에 관한 특정한 퍼즐을 다룹니다. 그는 이전 아이디어의 교정된 버전을 증명하고자 합니다: 만약 당신이 "르베그 적분 가능(Lebesgue integrable)"한(즉, 막힘없이 크기를 계산할 수 있는) 형상 $S$를 가지고 있고, 양의 크기(비어 있지 않음)를 가지며, 그 핵심 부분인 $S_1$이 유계(bounded, 무한히 뻗어나가지 않음)이면서 볼록(convex, 매끄럽고 단단한 덩어리)하다면, $S_1$은 단지 모호한 개념이 아니라 **전유계(totally bounded)**이며 **위치적(located)**이라는 것입니다. 쉬운 말로 하면, 이 형상은 유한한 개수의 작은 점들로 덮을 수 있을 만큼 충분히 조밀하며, 우주의 어떤 점에서든 그 형상까지의 거리를 항상 계산할 수 있다는 뜻입니다.

여기에 도달하기 위해, 브리지는 몇 가지 영리한 기법을 사용하여 논리적 사다리를 쌓아 올립니다. 먼저, 그는 당신이 $N$차원 공간의 평평한 단면(예를 들어 3차원 방 안의 종이 한 장)을 취한다면, 그 단면은 부피가 0임을 보여줍니다. 이는 당연해 보이지만, 엄격한 구성적 수학의 규칙 안에서는 그 단면을 실제로 구축할 수 있고 그것이 "두께"를 가지고 있지 않음을 증명해야 합니다. 그다음 그는, 양의 크기를 가진 형상이 있다면 그것은 전체 공간을 지탱할 수 있는 충분한 "척추"를 포함해야 함을 증명합니다. 구체적으로, 그것은 $x, y, z$축과 같은 $N$개의 독립적인 방향을 포함해야 합니다.

진정한 마법은 그가 이 방향들을 결합할 때 일어납니다. 그는 양의 크기를 가진 볼록한 형상이 있다면, 그것이 충분히 밀집된 점들을 가진 "핵심" 또는 내부를 가지고 있어야 함을 보여줍니다. 일단 이 단단한 핵심을 확보하면, 그는 "구(ball, 완벽한 구체)"를 이용한 기하학적 기술을 사용하여 형상의 내부가 전체 형상 내에서 "균등하게 조밀함"을 보여줍니다. 이 형상이 스펀지라고 상상해 보십시오. 이 보조정리는 당신이 스펀지의 어디를 찌르더라도, 근처에서 항상 작은 고체 스펀지 재료를 찾을 수 있음을 증명합니다.

마지막으로, 그는 이 조밀성을 사용하여 주요 결과를 증명합니다. 그는 형상이 너무 많은 점을 가지고 있기 때문에, 유한한 점들의 집합으로부터 "너무 멀리" 떨어진 부분을 가질 수 없다고 주장합니다. 만약 당신이 점들의 지도로부터 멀리 떨어진 형상 안의 점을 찾으려 한다면, 수학은 모순을 강제할 것입니다. 즉, 당신의 점들과 형상 사이의 "빈" 공간이 너무 커져서 형상의 전체 부피를 잡아먹어야 하는데, 이는 이미 불가능하다는 것을 알고 있는 사실입니다. 그러므로 그 형상은 "전유계"(유한한 개수의 점들로 덮을 수 있음)이며 "위치적"(그것까지의 거리를 항상 측정할 수 있음)이어야 합니다.

이 논문은 이것이 참일 수도 있다고 제안하는 데 그치지 않고, 엄격하고 단계적인 구성적 증명을 제공합니다. 그는 유계이고 볼록하며 양의 크기를 가진 형상이 "위치적이지 않거나" 근사하기 불가능할 수 있다는 가능성을 배제합니다. 보조정리들의 논리를 따라가면 결론은 확고하게 서 있습니다: 그러한 형상들은 신뢰할 수 있고, 측정 가능하며, 우리의 완전한 파악 범위 안에 있습니다.