Relative Entropy-Bounded Ambiguous Chance Constraints for Robust Planning in Nonlinear Systems

당신이 우주 먼지와 중력의 끌림이 소용돌이치는 혼돈스러운 우주 폭풍 속에서 우주선을 안내하려고 한다고 상상해 보십시오. 고등학교 물리라는 완벽한 세상에서, 우리는 우주가 차분하고 예측 가능하다고 가정하곤 합니다. 즉, 배가 어디에 있고 얼마나 빨리 가고 있는지만 알면 내일 어디에 있을지 정확히 계산할 수 있다는 식입니다. 하지만 공학이라는 복잡한 현실에서 사물은 결코 그렇게 깔끔하지 않습니다. 우주선이 떠다니는 입자에 부딪힐 수도 있고, 중력을 설명하는 수학 공식이 약간 틀릴 수도 있습니다. 여기서 "스토캐스틱 제어(stochastic control, 확률적 제어)"가 등장합니다. 이는 무엇이 일어나고 있는지 100% 확신할 수 없을 때 무언가를 조종하는 것을 뜻하는 멋진 용어입니다.

배를 안전하게 유지하기 위해, 엔지니어들은 "확률 제약(chance constraints)"을 사용합니다. 이것은 "우리는 배가 달에 충돌하지 않을 확률이 99%라고 확신해야 한다"라는 안전 규칙과 같습니다. 보통 이 수학적 계산을 작동시키기 위해, 엔지니어들은 배의 불확certainty(불확실성)가 완벽한 "종 모양 곡선(가우시안 분포)"을 따른다고 가정합니다. 이는 마치 공을 던졌을 때 모래 위에 깔끔하고 대칭적인 더미를 이루며 떨어질 것이라고 가정하는 것과 같습니다. 하지만 현실 세계, 특히 행성 궤도를 도는 우주선과 같은 복잡한 시스템에서는 바람과 중력이 그 모래 더미를 기묘하고 비대칭적인 덩어리로 뒤틀어 놓을 수 있습니다. 만약 실제로는 덩어리 형태인데 이를 완벽한 종 모양 곡선이라고 가정한다면, 당신의 안전 계산은 위험할 정도로 틀릴 수 있습니다. 이 논문은 당신의 "완벽한 종 모양 곡선" 가정이 틀렸을 가능성이 높지만, 그 "덩어리"가 정확히 어떤 모양인지는 모를 때 어떻게 안전을 유지할 것인가라는 문제를 다룹니다.

저자인 트레버 N. 울프(Trevor N. Wolf)와 제이 W. 맥마흔(Jay W. McMahon)은 이 불확실성을 다루는 새로운 방법인 "분포적 모호성(distributional ambiguity)"을 제안합니다. 그들은 배의 불확실성이 정확히 어떤 모양인지 아는 척하는 대신, 그것을 모른다는 점을 인정합니다. 그들은 자신들의 최선의 추측(가우시안 종 모양 곡선) 주변에 "안전 버블(safety bubble)"을 만듭니다. 이 버블 안에서는, 실제 불확실성이 추측과 아주 크게 다르지만 않다면 무엇이든 될 수 있습니다. 그들은 "너무 다르다"는 기준을 측정하기 위해 "상대 엔트로피(relative entropy)"라는 개념을 사용하는데, 이는 실제의 무질서한 현실이 깔끔하고 완벽한 수학 모델로부터 얼마나 멀어졌는지를 측정하는 자와 같습니다.

그들의 발견의 핵심은 이 안전 버블 안에서 최악의 경우 발생할 수 있는 위험을 계산하는 수학적 기교입니다. 당신이 충돌을 피하려는 선장이라고 상상해 보십시오. 당신에게는 "바위에 부딪힐 확률이 1%이다"라고 적힌 지도가 있습니다. 하지만 당신은 그 지도가 약간 틀릴 수 있다는 것을 알고 있습니다. 이 논문은 "지도가 특정 정도만큼 틀리더라도, 실제 바위에 부딪힐 확률은 확실히 X%를 넘지 않는다"라고 말할 수 있는 공식을 제공합니다. 그들은 이 "X%" 계산이 단순히 거대하고 쓸모없는 숫자를 추측하는 것이 아니라, 정밀하고 유용한 값이 되도록 만드는 방법을 찾아냈습니다.

결정적으로, 이 논문은 고도의 비선형 시스템(작은 변화가 크고 예측 불가능한 효과를 일으키는 시스템)을 다룰 때 단순히 완벽한 종 모양 곡선 가정을 고수해서는 안 된다고 주장합니다. 그들은 이러한 복잡한 시스템에서 종 모양 곡선 가정이 빠르게 무너진다는 것을 보여줍니다. 실제 불확실성의 정확한 모양을 찾으려고 애쓰는 대신, 그들은 변분 표현(variational expression, 일종의 복잡한 수학 공식)을 사용하여 위험의 범위를 제한합니다. 즉, 진실을 알 필요는 없으며, 단지 진실이 자신의 추측으로부터 얼마나 멀어질 수 있는지만 알면 된다는 것입니다.

저자들은 지구-달 시스템을 항해하는 우주선의 시뮬레이션을 사용하여 이 아이디어를 테스트했습니다. 그들은 우주선이 공간 노이즈(space noise)의 무작ful한 밀침을 겪으면서도 충돌 없이 '추격자(chaser)' 우주선 근처를 비행해야 하는 시나리오를 설정했습니다. 그들은 실제로 어떤 일이 일어나는지 확인하기 위해 수천 번의 컴퓨터 실험(몬테카를로 시뮬레이션)을 수행했습니다. 결과는 그들의 새로운 방법이 효과적임을 보여주었습니다. 그들이 계산한 "안전 버블"은 실제의 무질서한 위험을 성공적으로 포함했습니다. 실제로 여정의 끝을 살펴보았을 때, 기존의 단순한 방식(완벽한 종 모양 곡선을 가정하는 방식)은 위험을 과소평가한 반면, 그들의 새로운 강건한(robust) 방식은 위험이 더 높다는 것을 정확하게 경고했습니다.

그들 연구의 가장 영리한 부분 중 하나는 그 "안전 버블"의 크기를 어떻게 결정하느냐는 것입니다. 단순히 임의의 크기를 선택하는 대신, 그들은 배의 경로가 얼마나 휘어지는지와 수학 모델이 실제 물리학을 얼마나 근사하는지를 연결하는 규칙을 도출했습니다. 이는 도로가 험할 때는 더 넓게 늘어나고, 도로가 매끄러울 때는 더 팽팽해지는 고무줄을 가진 것과 같습니다. 그들은 수학적으로 자신들의 "고무줄"이 0으로 수축할 때(즉, 모델이 완벽할 때), 그들의 복잡한 위험 공식이 우리가 이미 알고 있는 단순하고 표준적인 위험 공식으로 다시 돌아간다는 것을 증명했습니다.

구체적인 시뮬레이션에서, 그들은 확산 크기(diffusion magnitude, 무작위 노이즈가 우주선을 밀어내는 정도를 나타내는 척도)를 $5 \times 10^{-6}$ km/s$^{3/2}$와 $1 \times 10^{-6}$ km/s$^{3/2}$로 설정했습니다. 그들은 노이즈가 높을수록 "완벽한 추측"과 "무질서한 현실" 사이의 간극이 커진다는 것을 발견했으며, 그들의 방법이 그에 맞춰 안전 마진을 적절히 조정한다는 것을 확인했습니다. 또한 그들은 수학을 조이는 "조절 손잡이(tuning knob, $\lambda$라고 불리는 변수)가 비행의 특정 순간에 따라 시간에 따라 변한다"는 것을 보여주었습니다.

궁극적으로, 이 논문은 완벽한 예측의 문제를 해결했다고 주장하는 것이 아닙니다. 대신, 엔지니어들에게 "우리는 정확한 진실을 모르지만, 우리가 얼마나 틀릴 수 있는지는 알고 있으며, 그 한계 내에서 안전을 보장할 수 있다"라고 말할 수 있는 강건한 프레임워크를 제공합니다. 이는 비선형적 혼돈이라는 무서운 미지의 영역을 관리 가능하고 계산 가능한 위험으로 바꾸어 놓으며, 예측 불가능한 우주의 춤 속에서 우주선을 인도하기 위한 새로운 도구 상자를 제공합니다.