Beyond Directed Acyclic Graphs: Causal Zeros and Causal Differential Equations

당신이 미스터리를 풀기 위해 단서를 찾는 대신, 무엇이 무엇을 일으켰는지를 파악하려는 탐정이라고 상상해 보십시오. 과학과 데이터의 세계에서 이것은 **인과 추론(causal inference)**이라고 불립니다. 오랫동안 탐정들이 가졌던 최고의 도구는 "유향 비순환 그래프(Directed Acyclic Graphs, DAGs)"라는 규칙 세트였습니다. DAG를 일방통행 도로 지도라고 생각하십시오. 그것은 만약 당신이 도미노를 밀면(원인), 다음 도미노를 쓰러뜨린다(결과)는 것을 알려주지만, 첫 번째 도미노를 다시 밀어내는 것은 엄격히 금지합니다. 이것은 "흡연이 폐암을 유발한다"거나 "비가 내리면 풀이 젖는다"와 같은 것들에 완벽하게 작동합니다. 방향은 명확하고, 지도는 루프(고리)가 없는 직선입니다.

하지만 현실 세계는 무질서합니다. 때때로 사물은 원형으로 일어나기도 하고, 두 사물이 서로 명확한 "밀기" 없이 완벽한 균형 속에서 함께 존재하기도 합니다. 시소(seesaw)를 생각해 보십시오. 당신이 올라가면 다른 사람은 내려갑니다. 하지만 당신의 무게가 그들을 내려가게 한 것입니까, 아니면 그들의 무게가 당신을 올라가게 한 것입니까? 물리학과 경제학에서 많은 법칙은 이와 같이 작동합니다. 즉, 그것들은 대칭적인 제약 조건이며, 방향은 당신이 어느 한쪽을 밀기로 결정할 때만 나타납니다. 이 논문이 다루는 핵심 질문은 이것입니다: 논리적 규칙을 깨뜨리지 않으면서, 이 순환적이고, 균형 잡힌, 혹은 "양방향"인 관계들을 위한 탐정의 지도를 어떻게 만들 것인가?

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일방통행 도로의 문제점

이 논문은 현대 인과 추론의 토대에 생긴 균열을 지적하며 시작됩니다. 주디아 펄(Judea Pearl)이 개발한 현재의 "골드 스탠다드" 프레임워크는 직선형 구조에는 환상적이지만, **대칭적 제약(symmetric constraints)**을 만나면 벽에 부딪힙니다.

이상 기체 법칙($PV = nRT$)이라는 유명한 방정식을 상상해 보십시오. 이 식은 압력($P$), 부피($V$), 온도($T$)의 관계를 나타냅니다. 물리 실험실에서 당신은 가스를 압축하여(부피$V$를 변화시켜) 압력($P$)이 상승하는 것을 관찰할 수 있습니다. 또는, 가열하여(온도$T$를 변화시켜) 압력이 상승하는 것을 볼 수도 있습니다. 이 방정식은 양방향으로 작동합니다. 하지만 현재의 "일방통행 도로" 지도들은 이를 처리할 수 없습니다. 그것들은 당신이 시작하기 전에 방향을 정할 것을 요구합니다. 그것들은 당신에게 "압력이 부피를 일으킨다"라거나 "부피가 압력을 일으킨다"라고 말하도록 강요합니다. 하지만 실제로는 어느 쪽도 주인이 아닙니다. 그들은 그저 함께 춤을 추는 파트너일 뿐입니다. 만약 존재하지 않는 방향을 강제로 설정한다면, 당신은 물리 법칙을 위반하는 예측을 하게 될지도 모릅니다.

저자들은 많은 물리적 시스템—가스 법칙, 경제학의 수요와 공급, 또는 전기 회로와 같은—에서 관계가 일방향 화살표가 아니라고 주장합니다. 그것은 대칭적 제약입니다. 즉, "이 변수들이 퍼즐 조각처럼 서로 맞물려 있어야 한다"라고 말하는 규칙이지만, 어떤 조각이 운전자이고 어떤 조각이 승객인지는 말해주지 않습니다.

"인과적 제로(Causal Zero)"의 등장

이를 해결하기 위해 저자들은 이야기에 새로운 등장인물을 도입합니다: 바로 **인과적 제로(Causal Zero)**입니다.

인과적 제로를 단순한 도로가 아니라, 자기장이나 팽팽하게 당겨진 고무판이라고 생각하십시오. 그것은 사물들을 붙잡아두는 관계이지만 스스로의 방향은 없습니다. 그들의 새로운 "확장된 인과 모델(Extended Causal Model)"에서, 이러한 관계들은 화살표 대신 하이퍼엣지(hyperedge)(다방향 연결을 뜻하는 멋진 용어)로 그려집니다.

여기 마법 같은 트릭이 있습니다. 인과적 제로는 중립적이고 방향이 없는 상태로 머물다가, 당신이 **개입(intervention)**을 수행할 때 비로소 움직입니다. 개입이란 과학자가 개입하여 "나는 이 변수를 고정하겠다"라고 말하는 것과 같습니다.

논문은 **활성화 연산자(Activation Operator)**라는 새로운 도구를 제안합니다. 이것은 당신이 필요할 때만 중립적인 고무판을 일방통행 도로로 바꾸는 스위치와 같습니다.

1. 설정: 압력, 부피, 온도를 연결하는 인과적 제로가 있습니다.
2. 개입: 당신은 부피를 고정하기로 결정합니다(부피가 변하지 않도록 고정함).
3. 활성화: 시스템은 묻습니다. "좋습니다, 부피가 고정되었으니, 우리는 어떤 변수를 구해야 합니까?" 만약 당신이 "압력을 구하라"고 말하면, 고무판은 부피 $\to$ 압력이라는 일방향 화살표로 딱 달라붙습니다. 만약 당신이 "온도를 구하라"고 말하면, 화살표는 반대로 뒤집힙니다: 부피 $\to$ 온도.

여기서 핵심적인 통찰은, 방향은 당신이 무엇을 고정하는지(운전자)와 무엇을 구하고자 하는지(대상)를 명시하기 전까지는 존재하지 않는다는 것입니다. 대상을 지정하지 않으면 시스템은 혼란 상태에 빠집니다. 저자들은 단순히 "부피에 개입하겠다"라고만 해서는 안 되며, 반드시 "그리고 압력이 어떻게 되는지 알고 싶다"라고 대상까지 말해야 한다고 강조합니다. 만약 대상을 잊어버린다면, 수학적 계산은 무너집니다.

시간 루프 펼치기

또한 이 논문은 두 번째 큰 문제인 **순환(Cycles)**을 다룹니다.
표준적인 지도들은 루프를 싫어합니다. 그들은 "원형은 허용되지 않는다!"라고 말합니다. 하지만 현실 세계에서 피드백 루프는 어디에나 있습니다. 온도 조절기는 온도를 측정하고, 히터를 켜고, 히터는 방을 따뜻하게 하며, 다시 온도 조절기가 이를 측정합니다. 이것은 원입니다.

저자들은 물리적 시스템을 다루는 영리한 방법을 제안합니다: 바로 **시간(Time)**입니다.
그들은 언뜻 보면 마법처럼 즉각적인 루프처럼 보이는 것이, 사실 우리가 너무 느리게 관찰하고 있는 매우 빠르게 움직이는 과정이라고 주장합니다 초고속 카메라로 확대해 보면, 온도의 변화가 아주 짧은 시간 후에 히터를 켜는 것을 볼 수 있습니다. 루프는 원이 아니라, 시간을 따라 앞으로 나아가는 나선형입니다.

이를 설명하기 위해 그들은 **인과 미분 방정식(Causal Differential Equations, CDEs)**을 도입합니다.

• 과도 단계(The Transient Phase): 사물이 변하고 있을 때(가스가 가열될 때처럼), 시스템은 시간을 관통하며 움직이는 인과관계의 직선입니다. 이는 "시간적으로 펼쳐진(time-unrolled)" 비순환 과정입니다.
• 평형 단계(The Equilibrium Phase): 시스템이 안정되면(가스의 변화가 멈추면), 시간은 더 이상 중요하지 않게 되며, 당신은 정적인 인과적 제로(방정식 $PV=nRT$)를 마주하게 됩니다.

따라서 논문은 "루프"란 시간을 무시했을 때 나타나는 결과물일 뿐이라고 제안합니다. 만약 시간을 포함한다면, 루프는 인과관계의 긴 직선으로 펼쳐집니다. 인과적 제로는 그 직선이 마침내 멈춰 섰을 때의 스냅샷입니다.

이것이 미래에 의미하는 바

저자들은 이것이 완성된 정답이 아니라 하나의 제안이자 프레임워크임을 신중하게 밝히고 있습니다. 그들은 이러한 새로운 지도를 그리는 규칙과 이를 "활성화"하는 방법을 구축했지만, 여전히 열려 있는 질문들이 있음을 인정합니다.

• 그들은 복잡하고 혼돈스러운 시스템(날씨나 혼돈 상자 안에서 튀어 오르는 공과 같은)의 경우, "평형"이 단일 지점이 아니라 요동치는 루핑 어트랙터(looping attractor)가 될 수 있다고 제안합니다. 우리는 이러한 루프에 상대적으로 개입을 정의해야 할 수도 있지만, 이는 여전히 해결되지 않은 문제입니다.
• 또한, 그들의 "활성화 연산자"가 많은 물리 법칙에는 작동하지만, 물리적 지식을 미리 알지 못한 채 가공되지 않은 데이터로부터 이러한 인과적 제로를 어떻게 발견할 것인가는 향-후 연구의 과제라고 언급합니다.

요약

간단히 말해, 이 논문은 다음과 같이 말합니다: "모든 관계를 억지로 일방향 화살표로 만들려고 하지 마십시오. 어떤 관계는 그저 사물들을 붙잡아주는 규칙일 뿐입니다."

그들은 이러한 규칙을 그리는 새로운 방법, 즉 우리가 어떤 변수를 제어하고 어떤 변수를 측정할지 명시적으로 결정할 때만 일방향 화살표가 되는 중립적인 "인과적 제로"를 제시합니다. 그리고 우리를 혼란스럽게 하는 루프에 대해서는, 시계를 보라고 조언합니다: 충분히 빠르게 관찰한다면, 원은 그저 앞으로 나아가는 선일 뿐입니다.

이것은 수학적 논리를 깨뜨리지 않으면서도, 복잡하고 균형 잡혀 있으며 때로는 순환적인 물리적 현실에 인과관계의 수학을 맞추는 방법입니다.