Some intuition for why cooperative systems "look 1-dimensional" and 2-cooperative systems "look 2-dimensional"

모든 것이 끊임없이 변화하는 세상, 마치 수백만 명의 사람들이 걷고, 말하고, 상호작용하는 북적이는 도시를 상상해 보십시오. 동역학계(dynamical systems)라는 과학 분야에서 수학자들은 이 복잡한 군중이 시간이 흐름에 따라 어떻게 움직이는지 예측하려고 노력합니다. 보통 수천 개의 변수가 있는 기상 모델이나 수많은 상호작용하는 세포가 있는 생물학적 네트워크처럼 움직이는 부분이 많은 시스템을 다룰 때, 이를 단순화하는 것은 불가능해 보입니다. 그 행동은 마치 도저히 추적할 수 없는 엉킨 실타래처럼 혼란스럽고 고차원적으로 보입니다.

하지만 이러한 '협력적(cooperative)' 시스템이라 불리는 특별한 부류의 시스템이 있습니다. 이들은 마치 사람들이 서로 반대 방향으로 싸우거나 잡아당기는 것이 아니라, 모두가 같은 일반적인 방향으로 움직이도록 서로를 돕는 군중과 같습니다. 이 시스템들에서는 상호작용의 규칙이 우호적입니다. 즉, 한 사람이 속도를 높이면 다른 사람들도 속도를 높이도록 유도하는 경향이 있습니다. 수십 년 동안 과학자들은 이러한 '우호적인' 시스템들이 가진 비밀스러운 초능력을 알고 있었습니다. 그것은 바로 변수가 아무리 많더라도, 이들은 종-종 단 하나의 변수처럼 행동한다는 것입니다. 이들은 마치 하나의 채널로 흘러드는 강물처럼, 단 하나의 예측 가능한 경로로 정착하곤 합니다. 최근에 과학자들은 이보다 약간 더 복로한 버전인 '2-협력적(2-cooperative)' 시스템을 발견했습니다. 이들은 사람들이 서로 협력하여 움직이며 쌍을 이루거나 작은 그룹을 형성하는 조화로운 춤을 추는 군중과 같습니다. 특정한 조건 하에서—시스템이 유계 영역 내에 머물고, 강한 양의 성질(strong positivity)을 유지하며, 고정된 평형점이 존재하지 않는 경우—이 시스템들은 마치 별 주위를 도는 행성처럼, 깔끔한 루프나 사이클로 정착하며 두 차원처럼 행동할 수 있습니다. 하지만 왜 이런 일이 일지는 않을까요? 왜 이 복잡한 다차원 시스템들이 갑자기 이토록 단순해 보이는 걸까요?

에두아르도 손탁(Eduardo Sontag)이 쓴 이 논문은 기하학적 직관을 새롭게 제시함으로써 그 '왜'라는 질문에 답하고자 합니다. 복잡한 대수학을 이용해 정리만을 증명하는 대신, 손탁은 '힐베르트 사영 메트릭(Hilbert projective metric)'이라는 시각적 도구를 사용하여 이 시스템들이 어떻게 복잡한 모양을 더 단순한 모양으로 압착(squeeze)하는지 보여줍니다. 시스템이 움직일 수 있는 모든 방식을 나타내는 거대하고 다채로운 색상의 말랑말랑한 풍선을 상상해 보십시오. 시간이 흐름에 따라, '협력적' 규칙은 이 풍선을 압착하는 거대한 보이지 않는 손처럼 작용합니다. 표준적인 협력적 시스템의 경우, 이 손은 풍선을 아주 얇은 1차원의 선으로 압착합니다. 2-협력적 시스템의 경우, 이 손은 풍선을 평평한 2차원의 시트로 압착합니다. 이 논문은 이러한 압착이 '수축(contraction)'이라는 수학적 성질 때문에 발생한다고 설명합니다. 즉, 시스템이 서로 다른 시작점들을 서로 정렬하도록 강제하여, 중요하지 않은 나머지 차원들을 사실상 무시하게 만드는 것입니다. 저자는 이러한 정렬이 바로 이 시스템들이 많은 복잡한 부분들로 구성되어 있음에도 불구하고 왜 이토록 단순해 보이는지에 대한 기하학적 이유라고 제안합니다.

압착과 정렬

이 논문의 마법을 이해하기 위해, 시스템을 세상의 스냅샷을 찍고 시간을 따라 앞으로 이동시키는 거대한 보이지 않는 기계라고 상상해 봅시다. 일반적인 혼돈스러운 기계에서는, 만약 당신이 약간 다른 두 개의 스냅샷에서 시작한다면, 그것들은 완전히 다른 모양으로 뒤틀리며 격렬하게 멀어질 수 있습니다. 하지만 '협력적' 기계에서는 규칙이 다릅니다. 이 논문은 이 기계에 내장된 '압착' 메커니즘이 있다고 주장합니다.

시스템의 상태를 광활한 다차원 공간의 한 점이라고 생각하십시오. 시스템이 진화할 때, 그것은 이 공간을 늘리고 뒤틉니다. 그러나 시스템이 협력적이기 때문에, 그것은 특정 방향으로 공간을 압착하기도 합니다. 손탁은 이 압착을 측정하기 위해 힐베르트 사영 메트릭이라는 개념을 사용합니다. 이 메트릭을 사물들이 얼마나 멀리 있는지가 아니라, 그것들이 가리키는 방향에만 관심을 갖는 특별한 자라고 생각할 수 있습니다.

논문에서 '1-양의(1-positive)'라고 부르는 표준적인 협력적 시스템에서, 이 기계는 거의 모든 방향이 결국 같은 곳을 향하게 될 정도로 공간을 강력하게 압착합니다. 이는 방 안에 무작위 방향으로 손전등을 비추고 있는 사람들이 가득한 상황과 같습니다. 만약 당신이 특별한 '협력적' 빛을 켠다면, 모든 사람의 손전등 빛줄기는 모두 정확히 같은 방향을 가리킬 때까지 휘어지게 됩니다. 논문은 이것이 시스템의 규칙이 '빔'(또는 접벡터)을 하나의 지배적인 방향으로 정렬하도록 강제하기 때문에 발생한다고 보여줍니다. 이것이 시스템이 1차원적으로 보이는 이유입니다. 즉, 어디서 시작하든 당신은 결국 그 하나의 선을 따라 움직이게 됩니다.

논문은 이를 시각화하기 위한 영리한 트릭을 도입합니다. 시스템의 특정 순간에 대한 '얼어붙은(frozen)' 스냅샷을 상상해 보십시오. 그 단일한 순간을 지배하는 규칙을 살펴본다면, 당신은 특별한 '지배적(dominant)' 방향(폭풍 속의 가장 강한 바람 같은 것)을 찾을 수 있습니다. 시스템이 실행됨에 따라, 이 지배적인 방향은 흐름을 따라 함께 운반됩니다. 논문은 당신이 선택한 다른 어떤 방향이라도(매우 드물고 특별한 경우가 아닌 한) 결국 이 지배적인 방향과 정렬되도록 압착될 것임을 증명합니다. 그것은 강물과 같습니다. 만약 당신이 물속에 잎사귀 하나를 던진다면, 처음에는 약간 소용돌이칠 수 있지만, 결국에는 전류와 완벽하게 정렬될 것입니다. 이 경우의 '전류'는 시스템 자체의 속도입니다.

2차원의 춤

그렇다면 '2-협력적' 시스템은 어떨까요? 이들은 조금 더 복잡합니다. 단순히 하나의 선에 정렬하는 대신, 이 시스템은 평평한 표면, 즉 평면에 정렬합니다. 당신이 거대하고 유연한 고무판이 있는 방에 있다고 상상해 보십시오. 만약 당신이 협력적인 방식으로 고무판을 밀면, 그것은 가는 선이 아니라 평평한 시트로 펼쳐질 수 있습니다.

손탁은 이러한 시스템에서 '압착'이 방향의 쌍(pairs of directions)에 대해 일어난다고 설명합니다. 모든 것을 한 방향을 향하게 하는 대신, 시스템은 모든 것이 동일한 2차원 평면 위에 놓이도록 강제합니다. 이는 마치 모두가 움직이고 있지만, 모두가 동일한 평평한 구역 내에서 움직이도록 제약받는 댄스 플로어와 같습니다. 논문은 시스템의 규칙이 어떤 두 시작 방향이라도 '공면(coplanar)'이 되도록, 즉 그들이 동일한 평평한 시트 위에 놓이도록 강제한다고 보여줍니다.

이것이 이 시스템들이 2차원적으로 보이는 이유입니다. 시스템이 열 개, 스무 개, 혹은 백 개의 변수를 가지고 있을지라도, '흥미로운' 작용은 오직 이 평평한 시트 위에서만 일어납니다. 논문은 이 '시트'가 실제로는 접평면 근사(tangent plane approximation)임을 명확히 합니다. 즉, 이것은 모든 궤적이 영원히 머물도록 강제되는 단일한 전역적 평면이 아니라, 특정 순간 시스템의 움직임에 대한 지배적인 기하학적 구조를 설명하는 것입니다. 논문은 이것이 2-협력적 시스템이 종종 루프나 사이클(별 주위를 도는 행성처럼)로 정착하는 이유라고 제안하는데, 왜냐하면 평평한 시트 위에서의 움직임은 엉킨 3차원 공간에서의 움직임보다 훨씬 더 예측 가능하고 구조적이기 때문입니다.

저자는 이를 설명하기 위해 '복합 행렬(compound matrices)'이라는 개념을 사용합니다. 이것을 시스템의 규칙을 단순히 단일 점이 아니라, 점들의 쌍에 대해 살펴보는 것이라고 생각하십시오. 협력적 시스템이 단일 점들을 정렬시키듯, 2-협력적 시스템은 점들의 쌍이 평면 위에 정렬되도록 강제합니다. 논문은 이러한 정렬이 지수적으로 빠르게(exponentially fast) 일어난다는 것을 증명합니다. 즉, 시스템은 자신의 지저치고 고차원적인 과거를 매우 빠르게 잊고, 단순한 저차원의 미래로 정착한다는 것입니다.

'앵커(Anchor)'와 '느린' 방향들

이 논문의 가장 생생한 아이디어 중 하나는 '앵커(anchor)'의 사용입니다. 당신이 강의 방향을 설명하려고 한다고 상상해 보십시오. 당신은 강바닥의 특정 바위를 기준점으로 잡을 수 있습니다. 수학에서 손탁은 시스템 규칙의 '얼어붙은' 스냅샷을 맨 처음에 선택하고, 거기서 특별한 방향(또는 평면)을 찾습니다. 그는 이것을 '앵커'라고 부릅니다.

시스템이 실행됨에 따라, 이 앵커는 흐름을 따라 운반됩니다. 논문은 이 앵커가 비록 과거의 스냅로 샷일지라도, 미래의 '진정한' 지배적 방향과 매우 가깝게 유지된다는 것을 보여줍니다. 이는 여행을 시작할 때 교정된 나침반을 가진 것과 같습니다. 지형이 변하더라도, 시스템의 규칙이 매우 일관적이기 때문에 나침반은 여전히 대략적으로 올바른 방향을 가리킵니다.

그러나 논문은 이러한 정렬이 모든 시작점에 대해 완벽한 것은 아니라는 점을 주의 깊게 언급합니다. '느린(slow)' 방향들이 존재합니다. 마치 군중 속에서 전류를 거슬러 걷기로 결정한 몇몇 사람들처럼 말입니다. 만약 당신이 정확히 이러한 드물고 특별한 방향에서 시작한다면, 당신은 주요 선이나 평면으로 압착되지 않을 것입니다. 하지만 논문은 이것이 예외적인 경우임을 강조합니다. 만약 당신이 무작위의 시작점을 선택한다면(수학에서 '일반적(generic)'이라는 의미는 이것을 뜻합니다), 당신은 거의 확실하게 단순한 저차원의 형상으로 압착될 것입니다.

이것이 의미하는 것 (그리고 의미하지 않는 것)

이 논문은 자신이 무엇을 증명하고 무엇을 증명하지 않는지에 대해 매우 명확합니다. 논문은 움직임의 방향이 정렬된다는 것을 증명합니다. 만약 당신이 접벡터(시스템이 어느 방향으로 움직이는지를 보여주는 작은 화살표들)를 본다면, 그것들이 모두 같은 방향을 가리키거나 동일한 평면에 놓여 있음을 보여줍니다.

하지만, 논문은 시스템의 경로가 현실 세계에서 완벽한 직선이나 완벽한 평평한 시트가 된다고 주장하는 것이 아닙니다. 논문은 작은 변화에 대해서는 시스템이 선이나 평면 위에 있는 것처럼 행동한다고 말합니다. 만약 큰 변화를 준다면, 시스템은 휘어져 나갈 수 있습니다. 논문은 이를 '1차(first-order)' 효과라고 설명하는데, 이는 당신이 아주 가까이서 확대해 볼 때 얻을 수 있는 최선의 근사치라는 뜻입니다. 이는 굽은 도로도 충분히 확대해서 보면 직선처럼 보인다는 것과 같습니다. 논문은 도로가 영원히 직선으로 유지된다고 약속하는 것이 아니라, 잠시 동안은 직선처럼 보일 것이라고 말하는 것입니다.

저자는 또한 이러한 정렬이 '기하학적' 현상이라는 점을 언급합니다. 이것은 공간이 어떻게 늘어나고 압착되는지에 관한 것이지, 시스템의 구체적인 숫자들에 관한 것이 아닙니다. 이 점이 결과의 힘을 실어주는데, 왜냐하면 시스템이 협력적 규칙을 따르기만 한다면 생물학에서 공학에 이르기까지 매우 다양한 유형의 시스템에 적용될 수 있기 때문입니다.

요약

단순히 말해서, 이 논문은 왜 어떤 복잡한 시스템들이 놀라울 정도로 단순한지를 바라보는 새로운 방법을 제공합니다. 논문은 협력적 시스템의 '우호성'이 모든 복잡성을 납작하게 만드는 거대한 보이지 않는 프레스(press) 역할을 한다고 제안합니다. 표준적인 협력적 시스템의 경우, 이 프레스는 모든 것을 하나의 선으로 납작하게 만듭니다. 2-협력적 시스템의 경우, 이 프레스는 모든 것을 평평한 시트로 납작하게 만듭니다.

이것은 단지 수학적인 호기 curiosity가 아닙니다. 이는 수백만 개의 변수가 관여하는 상황에서도 왜 자연계에서 이토록 질서 정연한 행동이 관찰되는지를 설명해 줍니다. 시스템은 단순해지기 위해서 반드시 단순할 필요는 없습니다. 그저 협력적이기만 하면 됩니다. '압착' 메커니즘은 혼돈이 걸러지도록 보장하며, 그 뒤에 깨끗하고 예측 가능한 경로를 남깁니다.

이 논문은 모든 복잡한 시스템의 미스터리를 해결했다고 주장하는 것도 아니고, 모든 시스템이 협력적이라고 말하는 것도 아닙니다. 하지만 협력적인 시스템에 있어서만큼은, 이 논문은 복잡성이 어떻게 단순함으로 붕괴하는지에 대한 아름다운 기하학적 그림을 제공합니다. 이는 때때로 우주의 가장 복잡한 것들이 그저 단순하고 우아한 모양으로 압착되기를 기다리고 있는 것일 수도 있다는 사실을 상기시켜 줍니다.