Quantum computer-based simulation of Stark many-body localization in a 1D Fermi-Hubbard model

기술 요약: 양자 컴퓨터 기반의 스타크 다체 국소화(Stark Many-Body Localization) 시뮬레이션

문제 정의
다체 국소화(Many-body localization, MBL)는 고립된 양자 시스템에서 열화(thermalization)가 붕괴되는 현상을 나타내며, 초기 상태의 기억 유지와 느린 얽힘 성장이라는 특징을 갖는다. 전통적으로는 무질서(disorder)와 연관되어 왔으나, 최근의 이론적 연구는 균일한 선형 전기장(스타크 포텐셜)이 무질서가 없는 시스템에서도 스타크 MBL이라 불리는 MBL을 유도할 수 있음을 시사한다. 주요 과제는 클래식 컴퓨터가 상호작용하는 다체 시스템의 역학을 시뮬레이션할 때, 시스템 크기와 진화 시간이 증가함에 따라 발생하는 한계이다. 또한, 현재의 노이즈가 있는 중규모 양자(NISQ) 장치에서 MBL을 시뮬레이션하는 것은 회로 깊이(circuit depth)와 게이트 수의 제약으로 인해 급격한 결맞음 해제(decoherence) 및 오류 누적의 문제를 겪는다. 본 연구는 현재의 IBM 양자 하드웨어를 사용하여 12-큐비트 상관 페르미온 시스템에서 스타크 MBL을 시뮬레이션하는 것의 타당성을 다루며, 특히 노이즈가 있는 프로세서의 자원 제약을 극복하는 데 초점을 맞춘다.

방법론
본 연구는 표준 페르미-허바드 격자에 선형 스타크 포텐셜이 적용된 1차원 기울어진 페르미-허바드 모델(t-FHM)을 사용하여 시스템을 모델링한다. 해밀토니안은 인접 이웃 호핑($J$), 온사이트 쿨롱 상호작용($U$), 그리고 스타크 기울기 항($\Delta_0$)을 포함한다.

이를 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션하기 위해 저자들은 다음과 같은 기술적 파이프라인을 채택하였다:

1. 매핑(Mapping): 스핀 분해 조던-와이너 변환(spin-resolved Jordan-Wigner transformation)을 사용하여 페르미온 해밀토니안을 큐비트로 매핑하였다. 기존의 인터리브드 매핑과 달리, 이 방식은 스핀 업(spin-up)과 스핀 다운(spin-down) 페르미온을 별도의 패리티 체인(짝수 및 홀수 큐비트)에 할당한다. 이는 호핑 연산자와 관련된 파울리 스트링(Pauli string)의 길이를 줄여준다.
2. 회로 구성(Circuit Construction): 시간 진화를 1차 트로터-스즈키 분해(first-order Trotter-Suzuki decomposition)를 사용하여 근사하였다. 회로는 스타크 포텐셜, 온사이트 상호작용, 호핑의 세 가지 블록으로 구성되었다. 인접 이웃 연결성을 가진 하드웨어에서 스핀 분해 매핑으로 인해 발생하는 비국소적 호핑 항을 처리하기 위해, SWAP-네트워크 구조를 구현하였다.
3. 최적화(Optimization): 회로 깊이와 게이트 수를 줄이기 위해 다단계 최적화 워크플로우를 적용하였다:
   • 텐서 네트워크 압축(Tensor-Network Compression): AQC-Tensor 루틴을 사용하여 대상 상태와의 충실도(fidelity)를 극대화하도록 매개변수화된 안사츠(ansatz)를 최적화함으로써 트로터화된 회로를 압축하였다.
   • 트랜스파일(Transpilation): 압축된 회로는 Qiskit Level-3, pytket 패스, 그리고 최종 Qiskit Level-3 최적화를 포함하는 표준 최적화 파이프라인을 거쳤다.
   • 오류 억제(Error Suppression): 결맞음 해제와 코히어런트 오류를 완화하기 위해 동적 디커플링(Dynamically Decoupling, DD)과 파울리 트월링(Pauli Twirling, PT)을 적용하였다.
4. 하드웨어 실행(Hardware Execution): 실험은 12개의 큐비트를 사용하는 IBM_Marrakesh 프로세서(Heron r2 아키텍처)에서 수행되었다. 시스템은 전하 밀도 파동(CDW)과 도메인 벽(DW)이라는 두 가지 곱 상태(product states)로 초기화되었다.

주요 기여

• 자원 효율성: 텐서 네트워크 기반 압축과 표준 트랜스파일의 통합은 자원 요구 사항을 크게 감소시켰다. 저자들은 최적화되지 않은 트로터 회로와 비교하여 2-큐비트 게이트 수가 약 88% 감소하고 회로 깊이가 87% 감소했음을 보고하였다.
• 스타크 MBL의 입증: 본 연구는 실제 양자 하드웨어에서 약한 기울기($\Delta_0 = 1, 3$)에서의 열화 역학에서 강한 기울기($\Delta_0 = 15$)에서의 강한 국소화 거동으로의 교차(crossover)를 성공적으로 입증하였다.
• 벤치마킹: 하드웨어 결과는 정확한 대각화(exact diagonalization) 및 노이즈 없는 시뮬레이션과 엄격하게 벤치마킹되었으며, 측정된 관측량에 대해 양호한 질적 및 양적 일치성을 보였다.

결과
역학은 다음과 같은 관측량들을 통해 특성화되었다:

• 전하 불균형(Charge Imbalance, $I_c$): 약하거나 중간 정도의 기울기에서는 불균형이 빠르게 감소하여 열화를 나타냈다. 강한 기울기($\Delta_0 = 15$)에서는 불균형이 높게 유지되어 초기 CDW 상태의 기억을 보존하였다.
• 양자 피셔 정보(QFI) 및 참여 엔트로피(Participation Entropy, $S^P_2$): 국소화 영역에서 QFI와 참여 엔트로피의 성장은 강력하게 억제되었으며, 이는 상관관계의 확산과 힐베르트 공간 내 파동 함수의 구속을 의미한다.
• 얽힘 엔트로피(Entanglement Entropy): 서브시스템 얽힘 엔트로피는 낮은 수준을 유지하였고, 강한 기울기에서는 서브시스템 크기에 대한 의존성이 약하게 나타났는데, 이는 MBL의 전형적인 면 법칙(area-law) 스케일링과 일치한다.
• 밀도 진화(Density Evolution): 사이트별 밀도 측정 결과, 강한 기울기 하에서는 입자들이 초기 위치에 갇혀 있었으나, 약한 전기장 하에서는 격자 전체로 퍼져 나갔다.
• 입자 수송(Particle Transport): DW 초기 상태의 경우, 강한 기울기에서 처음에 점유되었던 절반의 입자 수($N_{half}$)가 일정하게 유지되어 수송의 억제를 확인하였다.

의의 및 주장
본 논문은 자원 효율적인 컴파일 및 최적화 전략이 결로된 현재의 양자 하드웨어가 상관 관계가 있는 양자 다체 시스템의 역학적 현상과 같은 연구를 수행할 수 있음을 주장한다. 저자들은 스타크 MBL의 무질서가 없는 특성이 여러 무질서 실현(realization)에 대한 평균화 과정을 제거하여 실험적 오버헤드를 줄여준다는 점에서 양자 시뮬레이션에 특히 유리하다고 강조한다. 이 연구는 MBL의 전체 상도표(phase diagram)를 해결하는 것이 아니라, 고정된 상호작용 시스템에서 강한 기울기 하의 수송 억제와 기억 유지를 입증하는 데 집중한다. 본 작업은 최적화된 회로 구현과 오류 억제 기술을 통해 하드웨어 노이즈에도 불구하고 스타크 국소화의 핵심적인 징후를 포착할 수 있음을 보여줌으로써, 비에르고딕(non-ergodic) 양자 역학을 탐구하는 데 있어 NISQ 장치의 유용성에 대한 벤치마크 역할을 한다.