Inverse mask design for interference lithography using automatic differentiable wave propagation

기술 요약: 자동 미분 파동 전파를 이용한 간섭 리소그래피용 역방향 마스크 설계

문제 정의
간섭 리소그래피(IL)는 고해 résolution 주기적 나노 구조를 제작하고 극자외선(EUV) 파장에서 포토레지스트를 검증하는 표준 기술이다. 그러나 임의의 비주기적 패턴을 생성하기 위한 포토마스크를 설계하는 것은 여전히 큰 과제로 남아 있다. 마스크에서 에어리얼 이미지(aerial image)로의 순방향 전파는 해석적으로 계산할 수 있지만, 역방향 문제(inverse problem)—즉, 특정 타겟 에어리얼 이미지를 생성하는 데 필요한 마스크를 결정하는 것—는 강도 기반의 에어리얼 패턴에 위상 정보가 결여되어 있어 부적절하게 정의된 문제(ill-posed problem)가 된다. 기존 방식들은 막대한 계산 비용으로 인해 대형 마스크 크기로 확장하거나 마스크 픽셀 피치보다 작은 특징을 분해하는 데 어려움을 겪는 경우가 많다.

방법론
저자들은 자동 미분을 활용하여 역방향 마스크 설계 문제를 해결하는 경사 하강법 기반의 최적화 프레임워크를 제안한다. 이 접근 방식의 핵심은 근접 및 중간장 회절을 시뮬레이션하는 표준 기술인 각 스펙트럼 방법(Angular Spectrum Method, ASM)에 기반한 미분 가능한 순방향 모델이다.

• 순방향 모델: ASM은 마스크 필드의 푸리에 변환을 수행하고, 전달 함수(에바네센트 및 에일리어싱 성분을 억제하기 위한 자유 공간 전파 및 대역 제한 포함)를 곱한 뒤, 역 푸리에 변환을 적용하여 이미지 평면에서의 전파된 필드를 계산한다. 이 과정은 완전히 미분 가능하므로 그래디언트(gradient)를 역전파할 수 있다.
• 최적화 정식화: 마스크 설계는 연속적인 "로짓(logits, $\ell$)"에 대한 최적화 문제로 취급된다. 이 로짓들은 온도 매개변수($\tau$)를 가진 시그모이드 함수를 통해 소프트 바이너리 마스크로 변환되며, $\tau$는 학습 중에 하드 바이너리 마스크에 근접하도록 어닐링(annealing)된다. 손실 함수($\mathcal{L}$)는 시뮬레이션된 필드 진폭과 타겟 패턴 사이의 피어슨 상관관계 항과 함께, 고주파 공간 변화를 억제하는 총 변동(Total Variation, $L_{TV}$) 및 제조 가능한 희소 마스크를 촉진하는 희소성($L_{sp}$) 규제 항을 결합한다.
• 확장성 (Shifted ASM): 대형 마스크에 대한 표준 ASM의 $O(N^2)$ 메모리 확장 문제를 해결하기 위해, 저자들은 Shifted ASM을 채택하였다. 이 방법은 마스크를 작은 패치(예: $4 \times 4$)로 분할하고, 측면 오프셋을 고려하는 전달 함수를 사용하여 각 패치를 독립적으로 전파한 후, 관측 평면에서 결과 복소 필드를 합산한다. 이를 통해 피크 메모리 요구 사항을 패치 크기인 $O((N/P)^2)$ 수준으로 줄인다.
• 병렬화: 본 프레임워크는 멀티 GPU 분산을 지원하며, 패치는 서로 다른 GPU에 할당된다. 통신은 순방향 패스에서의 부분 필드 합산과 역방향 패스에서의 로짓 그래디언트 합산이라는 두 번의 all-reduce 연산으로 제한된다.

주요 결과
저자들은 400 nm의 최소 특징 크기를 갖는 수직 스트라이프를 특징으로 하는 브룩헤이븐 국립 연구소(BNL) 로고에서 유도된 타겟 패턴을 사용하여 프레임워크를 검증하였다.

• 해상도 및 정확도: 800 nm 픽셀 피치를 가진 마스크를 사용하여, 최적화된 설계는 이미지 평면에서 400 nm의 특징을 성공적으로 분해하였으며, 이는 결맞음 회절(coherent diffraction)을 통한 2배의 해상도 향상을 입증한다. 결과 패턴은 타겟과 0.95의 피어슨 상관 계수를 달성하였다. 레지스트 현상을 시뮬레이션하기 위해 이진화했을 때, 패턴은 0.1%의 고립된 픽셀 수준 결함만을 나타냈다.
• 메모리 및 실행 시간 효율성: 3.84 mm $\times$ 3.84 mm 마스크 (19,200 $\times$ 19,200 픽셀)의 경우, 16개의 패치를 사용한 Shifted ASM은 표준 ASM에 비해 피크 GPU 메모리를 3.8배 감소시켰으며, 실행 시간은 1.3배 증가에 그쳤다. 그래디언트 체크포인팅(gradient checkpointing)을 활성화하면 피크 메모리는 7.4배 감소하면서 실행 시간은 2배 증가하였다.
• 대규모 처리 능력: Shifted ASM 접근 방식은 동일한 하드웨어에서 표준 ASM으로 구현 가능한 최대 크기보다 10.2배 더 큰 12.8 mm $\times$ 12.8 mm 크기의 마스크까지 최적화할 수 있게 하였다. 4개의 GPU에 최적화를 분산함으로써 표준 ASM 대비 2.5배의 속도 향상을 달로성했다.
• 스펙트럼 민감도: 시뮬레이션 결과, 주기적인 IL은 광대역 광원에 내성이 있는 반면, 임의의 비주기적 패턴은 단색광에 가까운 조명이 필요함을 나타냈다. 연구에서는 패턴 충실도를 유지하기 위한 대역폭 허용 오차를 $\Delta\lambda/\lambda \lesssim 5.76 \times 10^{-4}$로 추정하였으며, 이는 레이저나 싱크로트론 빔의 조건은 만족하지만 광대역 광원의 조건은 만족하지 못한다.

의의 및 주장
본 논문은 주기적 구조를 넘어 복잡한 비주기적 패턴으로 나아가는, 물리 기반의 머신러닝 주도 IL 마스크 설계를 확립한다. 저자들은 이 미분 가능한 최적화 프레임워크가 순방향 파동 전파 시뮬레이션과 역방향 설계 사이의 간극을 성공적으로 메운다고 주장한다. Shifted ASM과 멀티 GPU 병렬화를 활용함으로써, 이 방법은 이전의 메모리 병목 현상으로 인해 제한되었던 최적화 가능한 마스크의 크기 문제를 극복한다.

본 연구는 역방향 문제의 "퇴화(degeneracy)" 가능성을 강조하며, 마스크 설계의 높은 자유도를 이미지 품질이나 강도를 희생하더라도 실험적 불완전성(예: 거리 오차 또는 빔 비이상성)에 대한 견고성이나 제조 가능성(예: 희소성)과 같은 추가적인 특성을 최적화하는 데 활용할 수 있음을 시사한다. 저자들은 이 프레와크가 미분 가능한 순방향 모델이 존재하는 모든 역방향 문제에 적용 가능하다고 결론지으며, 추가 연구를 촉진하기 위해 소스 코드를 제공한다.