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KOOPMAN-Luenberger Observer Design for Nonlinear Systems with Application to the Monitoring of a Latent Thermal Energy Storage

본 논문은 비선형 동역학을 고차원 공간으로 리프팅하여 효율적인 선형 관측기 설계를 가능하게 하는 Koopman 기반 선형 상태 관측기(KOOPMAN-LSO) 프레임워크를 제안하며, 제한된 센싱 조건 하에서 잠재적 열 에너지 저장 시스템의 미측정 내부 상태를 높은 충실도로 정확하게 추정하는 데 있어 그 효과를 입증한다.

원저자: Mustapha Habib, Dario Aguiar, Esther Kieseritzky, Tilman Barz, Qian Wang

게시일 2026-08-12

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CC BY 4.0

원저자: Mustapha Habib, Dario Aguiar, Esther Kieseritzky, Tilman Barz, Qian Wang

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

거대한, 밀봉된 마법 항아리 내부의 날씨를 추측하려고 한다고 상상해 보십시오. 당신은 안을 볼 수 없고, 항아리를 깨뜨리지 않고서는 온도계를 집어넣을 수도 없습니다. 당신이 가진 전부는 외부의 작은 창을 통해 흘러나오는 공기의 온도를 느끼는 것뿐입니다. 만약 항아리가 물통처럼 단순하다면, 그 미풍을 느끼는 것만으로도 내부에서 무슨 일이 일어나고 있는지 아마 추측할 수 있을 것입니다. 하지만 만약 항아리 안에 온도에 따라 성격과 행동이 변하며 얼고 녹는, 형체가 변하는 신비한 물질이 들어있다면 어떨까요? 이것이 바로 과학자들이 '잠열 에너지 저장(latent thermal energy storage)' 시스템, 즉 소금이나 왁스 같은 물질을 녹여 열을 저장하는 거대한 배터리와 마주하는 퍼즐입니다. 이 시스템들은 매우 효율적이지만, 내부가 숨겨져 있고 그 행동 방식이 매우 비선형적이라서, 즉 입력값의 작은 변화가 거대하고 예측 불가능한 온도 변화를 일으킬 수 있기 때문에 모니터링하기가 매우 까다롭습니다.

이를 해결하기 위해 엔지니어들은 보통 녹는 과정의 물리학을 모방하는 복잡한 수학적 모델을 구축하거나, 값비싸고 번거로운 센서 네트워크에 의존합니다. 하지만 더 똑똑하고 현대적인 방법이 있습니다: 데이터를 사용하여 숨겨진 패턴을 찾는 것입니다. 이것은 폭풍이 몰아치는 흐릿하고 혼란스러운 사진을 찍은 뒤, 특수한 필터를 사용하여 다음 돌풍을 예측하는 명확하고 곧은 그래프로 바꾸는 것과 같습니다. 이 논문은 '쿠프만 기반 선형 상태 관측기(KOOPMAN-based Linear Observer)'라는 영리한 새로운 '필터'를 소개합니다. 이 방법은 무질서하고 비선형적인 시스템을 더 높은 차원으로 '들어 올려(lift)', 그 혼돈이 단순하고 곧은 직선처럼 보이게 만듭니다. 일단 혼돈이 직선으로 펴지면, 팀은 기본적인 공학에서 사용되는 단순하고 신뢰할 수 있는 수학을 사용하여, 흘러나오는 공기를 관찰함으로써 항아리 내부의 숨겨진 온도를 추측할 수 있습니다. 이는 엉킨 실타래를 풀어 끝을 쉽게 잡아당길 수 있는 직선으로 만드는 것과 같습니다.

무스타파 하빕(Mustapha Habib)과 그의 팀이 이끄는 연구진은 이 아이디어를 SP31이라는 특수한 염기성 물질로 채워진 실제 열 저장 장치에 적용했습니다. 이 물질은 열을 흡수하는 열적 스펀지 역할을 하여, 녹으면서 열을 흡수하고 얼면서 열을 방출합니다. 문제는 단 하나의 센서로 시스템을 빠져나가는 물의 온도를 측정하고 있음에도 불구하고, 내부 깊숙한 곳에 있는 물질의 온도를 알아내야 했다는 점입니다. 그들은 eDMDc라고 불리는 기술을 사용하여 시스템의 '디지털 트윈'을 구축했는데, 이 기술은 충전 및 방전 주기를 지켜봄으로써 시스템이 어떻게 작동하는지 학습합니다. 녹는 물리 현상을 직접 모델링하려고 노력하는 대신, 그들은 데이터를 더 높은 차원으로 들어 올리기 위해 녹는 방식과 유사한 형태를 띤 '물리 정보 기반(physics-informed)' 수학적 기법을 사용했습니다.

시스템이 '들어 올려진' 후, 그들은 본질적으로 스스로의 예측을 끊임없이 수정하는 스마트한 추측기인 '루엔버거 관측기(Luenberger Observer)'를 부착했습니다. 이것은 정답지가 자신의 추측과 약간 다르다는 것을 알고 있는 시험을 치르는 학생과 같습니다. 새로운 단서(유출 온도)를 얻을 때마다, 그들은 진실에 가까워지도록 자신의 답을 조정합니다. 팀은 예측 속도와 노이즈가 섞인 센서 데이터 사이의 균형을 맞추는 볼륨 조절기 같은 역할을 하는 LQR 방법을 사용하여 이 추측기를 튜닝했습니다. 그들은 200리터 탱크에서 다양한 유량(2, 4, 8 리터/분)과 온도 조건으로 실험을 진행했습니다.

결과는 인상적이었습니다. 시스템이 일정한 속도로 작동할 때, 관측기는 유출되는 물의 온도를 놀라운 정밀도로 예측했으며, 오차는 0.0819 °C에 불과했습니다. 더 중요한 것은, 내부의 녹는 물질의 숨겨된 온도를 성공적으로 재구성하여 대부분의 센서에서 평균 오차를 1.0 °C 미만으로 유지했다는 점입니다. 그러나 논문은 한계에 대해서도 솔직하게 밝히고 있습니다. 물의 유량이 8 리터/분으로 높아지거나 시스템이 가열에서 냉각으로 갑자기 전환될 때, '추측'이 따라잡는 데 시간이 조금 더 걸렸으며, 특정 지점의 오차는 최대 2.3072 °C까지 커졌습니다. 저자들은 이것이 일부 탱크 구역이 단일 센서로부터 너무 멀리 떨어져 있어 명확하게 보이지 않기 때문이라고 설명하는데, 이는 마치 시끄러운 방 뒤쪽에서 들리는 속삭임을 들으려고 노력하는 것과 같습니다.

결정적으로, 이 논문은 이러한 시스템을 모니터링하기 위해 완벽하고 물리 중심적인 모델이나 구석구석에 배치된 센서가 반드시 필요하다는 생각에 반론을 제기합니다. 또한 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter)와 같은 다른 방법들이 존재하지만, 계산량이 많고 튜닝하기 어렵다는 점을 시사합니다. 이 새로운 접근 방식은 '중간 지점'을 제공합니다. 즉, 모든 것을 즉시 보는 완벽한 수정구슬은 아니지만, 무질서한 비선형 문제를 다룰 수 있는 선형 문제로 바꾸어 주는 견고하고 계산 효율적인 도구입니다. 저자들은 이 방법이 안정적인 조건에서는 잘 작동하지만, 향-후 작업에서는 더 넓은 운전 범위를 다루기 위해 다른 데이터 기반 기술들과 결합될 수 있다고 제안합니다. 현재로서는, 이 방법은 열 배터리의 내부를 뚫지 않고도 그 심장부를 지켜볼 수 있는 유망한 방법입니다.

기술 요약: 비선형 시스템을 위한 KOOPMAN-Luenberger 관측기 설계 및 잠열 축열 시스템에 대한 적용

문제 정의
비선형 동역학 시스템, 특히 상변화 물질(PCM) 기반의 잠열 축열(LTES) 시스템에 대한 정확한 상태 추정은 여전히 중요한 과제로 남아 있다. 이러한 시스템은 상전이, 이력 현상(hysteresis), 그리고 공간적으로 분포된 온도 구배로 인해 강한 비선형성을 나타낸다. 실제 응용 분야에서 내부 상태(예: 특정 PCM 온도)는 대부분 접근이 불가능하며, 모니터링은 입구 및 출구 유체 온도와 같은 희소한 경계 측정값에 국한되는 경우가 많다. 기존의 솔루션들은 트레이드오프 문제에 직면해 있다: 고충실도 물리 기반 모델(예: CFD)은 실시간 사용에는 계산 비용이 너무 많이 들며, 차수 축소 모델(reduced-order models)은 파라미터 민감도 문제가 발생할 수 있고, 순수 데이터 기반 접근 방식(예: 신경망)은 학습 영역 외부에서의 해석 가능성과 강건성이 부족하다. 또한, 기존의 비선형 관측기(예: 확장 칼만 필터)는 튜닝이 복잡할 수 있으며 전역적 안정성 보장이 부족하다.

방법론
저자들은 KOOPMAN-LSO(KOOPMAN 기반 선형 상태 관측기) 프레임워크를 제안한다. 이 접근 방식은 Koopman 연산자 이론을 활용하여 비선형 시스템을 관측 가능한 함수들의 고차원 공간으로 들어 올려(lifting), 해당 공간에서 동역학이 선형으로 근사될 수 있도록 한다. 방법론은 다음과 같이 세 가지 주요 단계로 진행된다:

물리 정보 기반 리프팅 및 eDMDc 식별:
- 비선형 시스템은 **물리 정보 기반 기저 함수(physics-informed basis functions)**를 사용하여 고차원 관측 공간으로 리프팅된다. 구체적으로, PCM 동역학을 모델링하기 위해 상전이(고체-액체)를 모델링하는 시그모이드(Sigmoid) 함수와 용융점 주변의 비열 변화를 모델링하는 가우시안(Gaussian) 함수를 통합하였다.
- 순수 데이터 기반 리프팅(예: 오토인코더)과 달리, 이러한 선택은 사전 물리 지식을 내재화하여 일반화 성능과 해석 가능성을 향상시킨다.
- 제어 입력이 포함된 선형 예측기는 **제어 기능이 포함된 확장 동적 모드 분해(eDMDc)**를 사용하여 이 리프팅된 공간 내에서 식별된다. 이를 통해 원래의 비선형 동역학을 근사하는 이산 시간 선형 상태 공간 모델( $z_{k+1} = Az_k + Bu_k$ )을 얻는다.
관측기 합성:
- 리프팅된 좌표 공간 내에서 이산 시간 **루엔버거 관측기(Luenberger observer)**가 구축된다.
- 관측기 이득( $L$ )은 이중 선형 이차 조절기(dual LQR) 정식화를 사용하여 결정된다. 이 결정론적 접근 방식은 추정 오차 수렴과 측정 예측 사이의 균형을 맞추는 목적 함수를 최소화하며, 칼만 필터링에 필요한 확률적 노이즈 가정을 피한다.
- 추정된 리프팅 상태는 선택 행렬(selector matrix)을 사용하여 물리적 상태(PCM 온도)로 다시 매핑된다.
실험적 검증:
- 본 프레임워크는 SP31 무기 PCM을 사용하는 실험실 규모의 LTES 시스템에서 테스트되었다.
- 시스템은 다양한 열전달 유체(HTF) 유량(2, 4, 8 l/min) 조건에서 충전 및 방전 사이클을 거쳤다.
- 관측기는 단 하나의 측정값인 HTF 출구 온도를 사용하여 9개의 내부 PCM 온도 상태를 재구성하도록 설계되었다.

주요 기여

프레임워크 개발: 제어 입력이 있는 열 시스템을 위한 선형 관측기 합성을 가능하게 하는 KOOPMAN-LSO 프레임워크를 구축하였다.
물리 정보 기반 리프팅: PCM 동역학을 위한 도메인 특화 기저 함수(Sigmoid 및 Gaussian)를 도입하여, 블랙박스 데이터 기반 방식에 비해 모델의 강건성과 해석 가능성을 높였다.
결정론적 이득 설계: 리프팅된 공간 내에서 LQR 기반 이득 튜닝을 갖는 루엔버거 관측기를 정식화함으로써, 확률적 노이즈 가정 없이도 안정적이고 튜닝 가능한 추정을 제공한다.
실험적 검증: 희소한 경계 측정으로부터 내부 열 상태를 재구성할 수 있음을 보여주는 포괄적인 검증을 수행하였다.

결과
연구에서 보고된 성능 지표는 다음과 같다:

출구 온도: 관측기는 HTF 출구 온도의 고충실도 재구성을 달성하였으며, 제곱 평균 제곱근 오차(RMSE)는 0.0819 °C까지 낮았다.
내부 PCM 온도: 표준 유량 조건(2 l/min)에서 내부 PCM 온도의 RMSE는 일반적으로 1.0 °C 미만이었다.
유량 민감도: 유량이 증가함에 따라 추정 정확도가 감소하였다. 8 l/min에서 특정 센서의 RMSE는 급격한 과도 상태(충전과 방전 사이의 전환기) 동안 최대 2.3072 °C에 달했다.
관측 가능성 한계: 관측 가능성 분석 결과 랭크(rank)가 8/10으로 나타났으며, 이는 두 개의 내부 온도 방향이 단일 출구 측정으로부터 구조적으로 관측 불가능함을 의미한다. 결과적으로, 관측기는 전체 에너지 함량과 평균적인 경향은 포착하지만, 상전이 전선(phase front)의 전파와 같은 미세한 공간적 특징을 고유하게 분해할 수는 없다.
과도 응답 특성: 관측기는 입구 온도(가열과 냉각 사이의 전환)의 급격한 계단형 변화 중에 일시적인 편차를 보였으며, 오차 동역학을 안정화하기 위해 유한한 횟수의 반복 과정이 필요했다.

의의 및 주장
본 논문은 KOOPMAN-LSO가 복잡한 화이트박스 물리 모델링과 순수 블랙박스 데이터 기반 접근 방식 사이의 실용적인 "중간 지점"을 제공한다고 주장한다. 주요 의의는 다음과 같다:

분석적 단순성: 비선형 동역학을 선형 표현으로 변환함으로써, EKF와 같은 비선형 대안보다 더 강력한 안정성 보장을 제공하는 성숙하고 분석적으로 단순한 선형 제어 및 추정 도구(루엔버거 관측기, LQR)를 사용할 수 있게 한다.
계산 효율성: 고충실도 CFD나 복잡한 비선형 최적화(예: 이동 수평선 추정)가 불가능한 실시간 모니터링 및 제어 애플리케이션에 적합하도록 계산량이 적다.
희소 센싱에 대한 강건성: 물리적으로 의미 있는 관측량을 사용하여 리프팅된다면, 최소한의 센서 배치로도 전역적 열 상태(충전 상태, SoC)의 정확한 추정이 가능함을 입증한다.

저자들은 이 방법이 모든 미측정 상태, 특히 구조적으로 관측 불가능한 상태에 대해 절대적인 정확도를 달도 달성하기 위한 것이 아님을 겸허히 인정한다. 그들은 성능이 희소한 측정값과 시스템 입력 사이의 함수적 의존성 강도에 의해 제한된다고 언급한다. 향러 연구로는 모델의 해석 가능성을 더욱 높이고 더 넓은 운전 영역에 걸쳐 모델의 유효성을 확장하기 위해 희소 비선형 동역학 식별(SINDy)의 통합을 조사하는 것을 목표로 한다.

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