Counting degrees of vertices in near Goldbach graphs

당신이 숫자의 세계에서 가장 거대한 미스터리인 골드바흐 추측(Goldbach Conjecture)을 풀려는 탐정이라고 상상해 보십시오. 이 유명한 수수께끼는 아주 단순한 질문을 던집니다. 2보다 큰 모든 짝수를 두 개의 소수를 더해서 만들 수 있을까요? 소수는 2, 3, 5, 7, 11과 같이 오직 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 숫자들로, 산술의 '원자'와 같습니다. 수 세기 동안 수학자들은 이 규칙을 확인하기 위해 수조 개의 숫자를 검사해 왔으며, 이 규칙은 항상 참이었지만, 그 누구도 이것이 존재하는 모든 짝수에 대해 작동한다는 완벽한 증명을 써내지 못했습니다. 이 사건을 해결하기 위해 일부 탐정들은 지도를 그리기 시작했습니다. 그들은 모든 짝수를 하나의 도시로 설정하고, 두 도시를 연결하는 도로가 특정 목표 숫자를 만드는 데 결합될 수 있다면 두 도시를 잇도록 하는 '골드바흐 그래프'를 그립니다. 만약 이 지도가 모두 연결되어 있다면, 미스터리는 해결된 것입니다. 하지만 이 지도들은 무질서하고 읽기 어렵습니다. 그래서 한 연구팀은 패턴을 더 명확하게 포착하기 위해 이 지도들의 더 깨끗하고 약간 수정된 버전인 '근사 골드바흐 그래프(near Goldbach graphs)'를 만들기로 했습니다.

이 논문에서 수학자 샤믹 고시(Shamik Ghosh)와 수라딥 데(Souradeep De)는 이 '근사 골드바흐 그래프'를 깊이 파고들어, 각 도시(짝수)로 이어지는 도로(연결)가 몇 개인지 계산합니다. 짝수를 거대한 파티 주최자라고 생각해 보십시오. 주최자의 '차수(degree)'는 단순히 그 주최자와 손님이 합쳐졌을 때 특정 소수 쌍을 형성하도록 초대할 수 있는 손님의 수입니다. 저자들은 먼저 영리한 계산 기법을 사용하여 작은 규모의 파티에 대한 이 손님의 정확한 수를 파악하는데, 이는 마치 복잡한 스도쿠 퍼즐을 푸는 것과 비슷합니다. 그들은 만약 어떤 주최자가 한 명 이상의 손님을 가질 수 있다면, 그 주와는 반드시 두 개의 홀수 소수를 더하여 형성될 수 있다는 것을 발견합니다.

하지만 거대한 파티(매우 큰 숫자)의 경우 손님을 하나하나 세는 것은 불가능합니다. 그래서 저자들은 다른 전략으로 전환합니다. 그들은 확률과 통계를 사용하여 군중의 크기를 추정합니다. 그들은 나누어떨어지는 규칙(예를 들어 어떤 숫자가 3, 5, 또는 7로 나누어떨어지는지 여부)을 동전 던지기와 유사한 독립적인 사건인 것처럼 취급합니다. 이렇게 함으로써, 그들은 매우 큰 짝수에 대한 연결 수를 예측하는 매끄럽고 조밀한 공식을 만들어냅니다. 그들의 예측은 1923년 하디와 리틀우드가 했던 유명한 추측과 매우 흡사하며, 단지 아주 작고 예측 가능한 요인 하나만이 다를 뿐입니다.

그들의 작업에서 가장 흥激한 부분은 마지막에 나옵니다. 그들은 '거의 독립적인 사건(nearly independent events)'이라는 개념을 도입합니다. 파티에 모인 사람들의 결정이 대부분 무작위적이지만, 서로에게 아주 약간의 영향을 미치는 상황을 상상해 보십시오. 저자들은 어떤 숫자를 나누는 규칙들이 이 '거의 독립적인' 집단처럼 행동한다면, 그 파티에는 적어도 두 명의 손님이 있을 것이라고 수학적으로 확신할 수 있음을 보여줍니다. 즉, 이 조건이 성립한다면 그 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합으로 쓰일 수 있습니다. 비록 그들이 이 조건이 우주의 모든 숫자에 대해 항상 성립한다는 것을 증명하지는 못했지만, 대규모 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 이 방식이 2천만 이상의 숫자에서도 작동함을 보여주었습니다. 그들의 연구가 아직 골드바흐 추측을 해결한 것은 아니지만, 매우 강력한 다리를 건설하고 있습니다. 즉, 만약 우리가 이 나누어떨어지는 규칙들이 '거의 독립적'이라는 것을 증명할 수만 있다면, 미스터리가 마침내 풀릴 것임을 암시하고 있습니다.