A Positive Proportion of the Reduced D'Arcais Polynomials is not Hurwitz

기술 요약: 축소된 D'Arcais 다항식의 양의 비율은 허위츠(Hurwitz)가 아니다

문제 정의
본 논문은 데데킨트 $\eta$-함수의 거듭제곱 계수의 생성 함수를 통해 정의되는 D'Arcais 다항식 $P_n^\sigma(X)$의 해석적 성질에 관한 추측을 다룬다. 구체적으로, 저자 중 두 명은 축소된 D'Arcias 다항식 $R_n^\sigma(X) := P_n^\sigma(X)/X$가 모든 자연수 $n$에 대해 허위츠 다항식일 것이라고 이전에 추측한 바 있다. 다항식이 허위츠라는 것은 모든 영점이 개방된 좌반평면에 엄격히 존재함을 의미한다. 이 추측은 처음 1,000개의 다항식을 관찰했을 때 모든 비실수 근이 좌반평면에 존재했던 경험적 관찰에 의해 동기 부여되었다. 핵심 질문은 이 성질이 보편적으로 유지되는지, 아니면 반례가 존재하는지 여부이다.

방법론
저자들은 다항식의 안정성을 판별하기 위해 허위츠-루스(Hurwitz–Routh) 판정법을 사용한다. 다항식 $f(X) = \sum a_m X^m$에 대하여, $f$가 허위츠이기 위한 필요충분조건은 모든 $1 \le k \le d$에 대해 일련의 행렬식 $\Delta_k(f)$가 엄격히 양수인 것이다. 저자들은 역다항식 $f(X) = X^{n-1}R_n^\sigma(X^{-1})$에 집중하며, $R_n^\sigma(X)$가 허위츠인 것은 $f(X)$가 허위츠인 것과 동치임을 주목한다.

증명 전략은 두 번째 허위츠 행렬식 $\Delta_2(f)$를 분석하는 것을 포함한다. D'Arcias 다항식의 특정한 구조를 위해, $\Delta_2(f)$는 계수 $p_n^\sigma(k)$를 사용하여 다음과 같이 표현된다:
$$\Delta_2(f) = p_n^\sigma(2)p_n^\sigma(3) - p_n^\sigma(1)p_n^\sigma(4)$$
만약 $\Delta_2(f) < 0$이면, 해당 다항식은 허위츠가 아니다. 저자들은 양의 비율의 $n$에 대하여 $p_n^\sigma(1)p_n^\sigma(4) > p_n^\sigma(2)p_n^\sigma(3)$이 성립함을 보이고자 한다.

이를 확립하기 위해 저자들은 다음을 활용한다:

1. 하한(Lower Bounds): 조합론적 구성을 통한 $p_n^\sigma(4)$의 하한과, $\rho(\ell)$($1, \dots, \ell$의 최소공배수)가 $n$을 나눌 때 조화수 $H_\ell$에 기반한 $p_n^\sigma(1)$의 하한을 도출한다.
2. 상한(Upper Bounds): 이전 연구 [4]에서 확립된 $p_n^\sigma(2)$와 $p_n^\sigma(3)$의 상한을 사용하며, 이는 일반화된 약수 함수 $\sigma_{-k}(n)$과 로그 항을 이용한 추정치로 단순화된다.
3. 점근적 분석(Asymptotic Analysis): 하한이 설정된 항들의 곱과 상한이 설정된 항들의 곱 사이의 성장률을 비교한다.

주요 기여 및 결과
주요 결과는 $R_n^\sigma(X)$가 허위츠가 아닌 자연수 $n$의 집합이 양의 하한 점근 밀도를 가진다는 정리 1.2이다. 구-체적으로, $n$까지의 그러한 반례의 개수를 $A(n)$이라 하면:
$$\liminf_{n \to \infty} \frac{A(n)}{n} > 0$$

증명은 $\sigma_{-1}(n) > \frac{25,046,441}{116,352} \approx 215.264$일 때 조건 $\Delta_2(f) < 0$이 만족됨을 보여준다. $\sigma_{-1}(n)$은 유계가 아니므로, 그러한 $n$은 존재한다. 저자들은 $n = \ell!$을 선택함으로써 구체적인 반례를 구성한다. 여기서 $\ell$은 $\exp(25,046,441/116,352)$의 천장 함수(ceiling)이다. 이는 $\ell \approx 3.07 \times 10^{90}$이라는 특정 정수를 산출하며, 결과적으로 $n = \ell!$은 약 $10^{95}$자리의 숫자를 가진다. 저자들은 $\sigma_{-1}$의 승법적 성질 때문에, 이 팩토리얼의 모든 배수 또한 반례가 된다는 점을 언급하며, 이를 통해 양의 비율의 정수들이 허위츠 조건을 만족하지 못함을 보장한다.

의의 및 주장
본 논문은 D'Arcias 다항식이 보편적으로 허위츠가 아님을 보여줌으로써 추측 1.1에 대한 확정적인 부정적 답변을 제공한다. 저자들은 다음과 같은 몇 가지 미묘한 차이점을 강조한다:

• 존재성 대 최소성: 증명은 충분조건 $\Delta_2(f) < 0$에 의존한다. 저자들은 이것이 다항식이 허위츠가 아니기 위한 필요조건은 아니라고 명시한다. 따라서 이 접근법은 추측이 실패하는 가장 작은 $n$을 식별하는 것은 아니다. 실제 첫 번째 반례는 이보다 훨씬 작을 수 있다.
• 반례의 규모: 도출된 구체적인 반례($n = \ell!$)는 관측 가능한 우주의 원자 수를 초과할 정도로 천문학적으로 크다. 저자들은 이를 "우리 오차 항의 엄청난 크기" 때문이라고 설명한다.
• 리만 가설과의 관계: 리만 가설을 가정할 때, 로빈의 정리(Robin's theorem)는 $\sigma_{-1}(n) < e^\gamma \log(\log n)$임을 시사한다. 저자들은 이 가설 하에서, 자신들의 반례에 필요한 부등식이 $n < 10^{1052}$인 어떤 $n$에 대해서도 성립하지 않을 것임을 언급하며, 이는 이론적 경계와 잠재적인 더 작은 반례 사이의 거대한 간극을 더욱 부각시킨다.
• 미해결 과제: 논문은 양의 반평면에 존재하는 서로 다른 근의 개수가 무한한지, 근 분포 궤적(그림 1 참조)의 거동은 어떠한지, 그리고 모든 소수 $p$에 대해 $R_p^\sigma(X)$가 허위츠인지와 같은 향후 과제들을 나열하며 마무리된다.

요약하자면, 본 논문은 D'Arcias 다항식에 대한 허위츠 성질이 양의 비율의 자연수에 대해 실패함을 입증하여 기존의 추측을 반박한다. 다만, 사용된 해석적 경계의 한계로 인해 식별된 구체적인 반례들은 매우 거대한 규모를 가진다.