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Arbitrage-Aware Multi-Step Forecasting of Implied Volatility Surfaces: Modelling Surface Trajectories Using Latent Diffusion

본 논문은 내재 변동성 표면(implied volatility surfaces)과 기초 자산 수익률의 현실적이고 경제적으로 허용 가능한 다단계 확률적 예측을 생성하기 위해 차익 거래를 고려한 조건부 잠재 확산 프레임워크를 제안하며, 이는 점 예측(point forecasting)에서 지속성 벤치마크(persistence benchmarks)를 능가하는 동시에 복잡한 표면 기하 구조와 시간적 의존성을 효과적으로 모델링한다.

원저자: Dominik Manuel Buchegger, Lukas Gonon

게시일 2026-08-25

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CC BY 4.0

원저자: Dominik Manuel Buchegger, Lukas Gonon

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

금융 시장은 자산의 가격이 이야기의 절반에 불과한 거대하고 복잡한 생태계입니다. 나머지 절반은 그 가격을 둘러싼 불확실성입니다. 투자자들이 나중에 무언가를 사고팔 수 있는 권리를 부여하는 계약인 옵션을 살 때, 그들은 본질적으로 그 가격이 얼마나 크게 요동칠지에 대한 예측에 비용을 지불하는 것입니다. 이러한 예측을 이해하기 위해 트레이더들은 '변동성 표면(volatility surface)'을 살펴봅니다. 모든 지점이 특정 가격 목표와 특정 미래 날짜에 대해 시장이 예상하는 불확실성의 정도를 나타내는 3차원 지도라고 상상해 보십시오. 이 지도는 평평하지 않습니다. 이는 시장의 집단적인 기분을 반영하며 끊임없이 변화하는 언덕과 골짜기를 가지고 있습니다. 만약 이 지도가 잘못 그려진다면, 막대한 금융 손실로 이어지거나, 존재해서는 안 될 무위험 수익, 즉 차익거래(arbitrage)를 허용할 수 있습니다. 이 지도는 가격 책정과 리스크 관리에 매우 핵심적이므로, 이 지도가 시간이 흐름에 따라 어떻게 변할지 예측하는 능력은 금융계의 성배와도 같습니다. 그러나 이 지도의 미래 형태를 예측하는 것은 매우 어렵습니다. 왜냐하면 이 지도는 엄격한 경제적 규칙을 따라야 하는 동시에, 인간의 행동과 시장 뉴스의 혼란스럽고 예측 불가능한 특성을 모두 고려해야 하기 때문입니다.

세인트갈렌 대학교(University of St.Gallen)의 연구진은 이 변화하는 지도들을 예측하는 새로운 방법을 개발했는데, 이 문제를 단순한 추측이 아닌 시간을 관통하는 여정으로 다루었습니다. 이들의 시스템은 단일한 미래의 한 점을 예측하는 대신, 주식 시장의 움직임과 함께 변동성 표면이 매일 어떻게 진화할지에 대한 30일간의 전체적인 '영화'를 생성합니다. 그들은 이를 달성하기 위해 두 부분으로 구성된 머신러연닝 시스템을 구축했습니다. 첫 번째 부분은 번역가처럼 작동하여, 복잡한 3차원 지도를 노이즈 없이 핵심적인 형태만을 포착하는 단순하고 저차원적인 코드로 압축합니다. 이 번역기는 엄격한 규칙을 가지고 훈련됩니다. 즉, 무위험 수익을 허용하는 지도를 결코 생성해서는 안 된다는 것입니다. 이 경제적 규칙을 번역기에 직접 심어 넣음으로써, 시스템은 생성되는 모든 미래 시나리오가 재무적으로 유효하도록 보장합니다. 두 번째 부분인 생성 엔진은 이 단순화된 코드를 가져와 다음 30일간의 움직임을 상상합니다. 이 엔진은 수년간의 과거 데이터를 학습하여 지도가 보통 어떻게 변하는지, 주가 하락에 어떻게 반응하는지, 그리고 불확실성이 시간이 지남에 따라 어떻게 확산되는지를 이해합니다.

이 접근 방식의 결과는 시장의 리듬을 포착하는 데 매우 뛰어나지만, 특정한 사각지대도 가지고 있음을 보여줍니다. 연구진이 S&P 500 지수의 데이터로 모델을 테스트했을 때, 생성된 지도들이 매우 실제처럼 보인다는 것을 발견했습니다. 모델은 극단적인 가격 변동에 대해 불확실성이 높아지는 옵션 시장 특유의 익숙한 '스마일(smile)' 형태를 보존했으며, 시간이 지남에 따라 불확실성이 변하는 방식도 정확하게 재현했습니다. 또한 모델은 주가와 변동성 사이의 깊은 연관성을 성공적으로 포착했습니다. 즉, 주가가 떨어지면 불확실성이 보통 높아지는데, 모델은 일주일 또는 한 달의 기간 동안 이 부정적인 관계를 정확하게 생성하는 법을 배웠습니다. 실제로 며칠 이상의 예측에 있어서, 모델의 예측은 시장이 오늘과 똑같이 유지될 것이라고 단순히 가정하는 것보다 더 정확했습니다. 이는 금융 시장이 매우 효율적이어서 내일에 대한 최선의 추측이 대개 오늘의 상태인 경우가 많다는 점에서 중요한 발견입니다.

하지만 이 모델이 당장 내일의 가격을 맞히는 수정구슬은 아닙니다. 바로 다음 날의 경우, 시스템은 아무것도 변하지 않을 것이라는 단순한 가정을 이기는 데 어려움을 겪었으며, 시장이 정체되어 있을 때도 너무 많은 움직임을 예측하곤 했습니다. 더욱이, 모델은 미래 변화의 방향과 형태를 예측하는 데는 탁월했지만, 그 변화가 얼마나 격렬할지는 지속적으로 과소평가했습니다. 모델이 생성한 결과값의 범위는 너무 좁았습니다. 즉, 시장이 갈 수 있는 경로는 포착했지만, 폭풍의 완전한 강도는 놓쳤습니다. 이는 모델이 시장 움직임의 순수한 규모보다는 움직임의 구조를 이해하는 데 더 적합하다는 것을 시사합니다. 그럼에도 불구하고, 이 시스템은 투자자들이 단일하고 경직된 예측이 아닌, 다양한 미래를 시각화하는 데 도움이 될 수 있는 타당하고 경제적으로 건전한 시나리오들을 만들어냅니다.

연구진은 또한 자신들의 작업이 다른 이들에 의해 검증되고 반복될 수 있도록 코드와 데이터 프로토콜을 공개했다는 점을 강조했습니다. 모델이 종종 '블랙박스'로 취급받는 이 분야에서 이러한 투명성은 매우 중요합니다. 동일한 데이터에 대해 자신의 아이디어를 테스트할 수 있는 명확한 경로를 제공함으로써, 그들은 이 복잡한 문제들을 어떻게 해결해야 하는지에 대한 표준을 세우는 데 기여하고 있습니다. 이 연구는 이 도구가 내일의 가격을 예측하는 데 완벽하지는 않더라도, 시장의 불확실성이 어떻게 전개될지에 대한 현실적인 다주간(multi-week)의 이야기를 생성하는 강력한 엔진이라는 결론을 내립니다. 이는 미래를 단 하나의 선이 아니라, 경제의 근본적인 법칙을 준받는 가능성의 구름으로 바라볼 수 있게 함으로써, 트레이더들에게 앞으로 몇 주 동안 헤쳐 나가야 할 지형에 대한 더 나은 감각을 제공합니다.

기술 요약: 차익거래 인지형 다단계 내재 변동성 곡면 예측

문제 정의
내재 변동성 곡면(Implied Volatility Surface, IVS)은 옵션 가격 결정, 헤징 및 리스크 관리에 있어 핵심적인 입력값이다. 이 곡면의 진화를 예측하는 데는 세 가지 뚜렷한 과제가 존재한다: (1) 정적 차익거래를 배제하기 위해 곡면이 경제적 허용 제약 조건을 충족해야 하며, (2) 예측치는 기초 자산 수익률과 곡면 사이의 복잡한 시간적 의존성 및 공동 진화를 포착해야 하고, (3) IVS는 매우 높은 지속성을 가지므로, 단순히 현재의 곡면을 그대로 유지하는 '지속성(persistence)' 벤치마크가 강력한 기준점이 된다. 기존 문헌은 주로 결정론적인 단일 단계 예측이나 정적 생성에 집중되어 있어, 완전한 IVS 궤적에 대한 결합된 다단계 확률적 예측을 엄격하게 무차익 조건 하에서 수행하는 문제를 해결하지 못하고 있다.

방법론
저자들은 IVS와 기초 자산 수익률의 결합된 30단계 궤적을 생성하기 위해 설계된 2단계 **조건부 잠재 확산 프레임워크(conditional latent diffusion framework)**를 제안한다.

차익거래 인지형 잠재 표현 (오토인코더):
- 입력: OptionMetrics SPX 데이터로부터 도출된 일일 시간 척도 IVS( $t$ -IVS)와 SPX 로그 수익률 및 이동 롤링 변동성 요약치를 결합하였다.
- 아키텍처: 고차원의 곡면을 8차원의 잠재 상태로 압축하는 결정론적 RAE(Regularized Autoencoder) 기반 오토인코더를 사용한다.
- 디코더: 좌표 기반 신경장(coordinate-based neural field)을 통해 곡면을 연속적으로 재구성한다.
- 허용성 강제: 사후 처리나 파라미터 제약 대신, 훈련 목적 함수를 통해 무차익 특성을 내재화한다. 손실 함수에는 다음이 포함된다:
  - 재구성 오차(MSE).
  - 잠재 코드에 대한 $L_2$ 정규화.
  - 무차익 조건 페널티: 조밀한 그리드 상에서 평가된 Durrleman 조건(버터플라이 차익거래) 및 캘린더 스프레드 차익거래 위반에 대한 명시적 페널티. 매끄러움(smoothness)과 양수성(positivity)은 아키텍처(잔차 네트워크)와 로그 파라미터화를 통해 보장된다.
조건부 잠재 궤적 확산:
- 작업: 관측된 21일간의 이력을 확장하여 다음 30일간의 잠재 상태와 수익률을 생성하는 일방향 인페인팅(inpainting) 문제이다.
- 표현: 진화(evolution)와 절대적 수준(absolute levels)을 분리하기 위해 앵커링된 변위( $\Delta z_s = z_s - z_{t_0}$ )로 궤적을 표현한다.
- 모델: 트랜스포머 스타일의 디노이저(denoiser)가 과거 토큰과 미래 타겟 토큰을 공동으로 처리한다.
- 훈련: 500번의 확산 단계에 대해 $v$ -파라미터화를 사용한다.
- 평균 스케일링 게이트(Mean-Scaling Gate): 모델이 변동 폭을 과대평가하는 경향(regime change로 인한 것으로 추정)을 교정하기 위해, 훈련 후 시계열별 스케일링 게이트를 적합시킨다. 이는 잔차(residuals)의 샘플링된 가변성은 보존하면서 예측 평균을 지속성 벤치마크 쪽으로 조정한다.

핵심 기여

재현 가능한 데이터 프로토콜: 저자들은 OptionMetrics 데이터를 사용하여 IVS 예측 데이터셋을 구축하는 투명한 프로토콜(특정 좌표 그리드 및 평활화 연산자 포함)을 제공함으로써 공통의 평가 환경을 가능하게 한다.
새로운 모델링 프레임워크: 차익거래 인지형 오토인코더와 조건부 잠재 확산 모델의 통합을 통해, 확률적으로 유의미하고 경제적으로 허용 가능한 결합된 다단계 IVS-수익률 궤적을 생성할 수 있다.
벤치마킹: 본 연구는 IVS의 높은 지속성을 고려하지 않는 기존 예측 문헌의 일반적인 오류를 지적하며, 지속성 벤치마크와의 엄격한 비교를 수행한다.

결과
2023년 이후의 SPX 곡면에 대해 평가한 결과, 본 프레임워크는 다음과 같은 성과를 보였다:

생성적 사실성 및 허용성: 모델은 지배적인 스마일(smile) 및 기간 구조(term-structure)의 기하학적 형태를 재현한다. 생성된 곡면은 실질적으로 정적 차익거래가 없으며, 위반 사례는 드물고 경제적으로 무시할 만한 수준(통상 호가 스프레드 내)이다.
요인 역학(Factor Dynamics): 모델은 곡면 움직임의 저차원적 특성(수준, 왜도, 곡률)을 정확하게 포착하며, 이는 실현된 주성분(principal components)과 밀접하게 일치한다.
의존 구조: 모델은 수익률과 변동성 사이의 음의 상관관계(레버리지 효과)를 주 단위에서 월 단위 시계열 범위에서 성공적으로 재현하지만, 1일 단위 시계로서는 그 크기를 과소평가한다.
분포적 품질:
- 확률적 성능: 모델은 주 단위 시계열 이후부터 CRPS 및 에너지 점수(energy scores) 측면에서 부트스트랩 지속성 벤치마크보다 우수한 성능을 보인다.
- 보정(Calibration): 모델은 과소 분산(underdispersion) 특성을 보인다. 즉, 예측 구간이 시계가 길어짐에 따라 넓어지기는 하지만, 실현된 변동성에 비해서는 여전히 너무 좁다.
점 예측(Point Forecasting):
- 시계 의존성: 1일 시계( $h=1$ )에서는 지속성 모델이 더 우수하다. 그러나 확산 모델은 약 $h=4$ 에서 $h=6$ 이후부터 RMSE 및 MAE 측면에서 지속성 모델을 앞서기 시작한다.
- 공간적 이질성: 이득(gain)은 단기 만기와 "윙(wings)" 영역(극단적 머니니스)에서 가장 강력하게 나타난다. 안정적인 장기 만기 중심부는 개선하기 어려운 과제로 남는다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구를 단순한 1일 점 예측 모델이 아니라, 확률적 시나리오 생성기 및 다단계 궤적 모델로 정의한다. 주요 가치는 중장기 시계열에서 지속성 모델보다 더 잘 예측할 수 있는, 경제적으로 타당하고 차익거래가 없는 현실적인 경로를 생성하는 데 있다.

본 논문은 IVS 예측 분야에서 표준화된 평가 프로토콜이 부족함을 지적하며, "재현 가능한 벤치마크를 향한 첫걸음"을 떼었다고 주장한다. 또한 예측 구간의 과소 분산 문제와 매우 짧은 시계에서의 지속성 극복 어려움 등 한계를 인정하며, 향후 연구가 함수적 궤적(functional trajectories)에 적합한 지표 식별과 헤징 및 스트레스 테스트에서의 실질적 응용 테스트에 집중해야 함을 시사한다.

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