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Analysis of Dynamic-Key LWE-Based Encrypted Control Systems for Asymptotic Stability and Numerical Safety

이 논문은 수치적 예제를 통해 검증된 바와 같이, 동적 키 LWE 기반 암호화 제어 시스템에서 점근적 안정성과 오버플로에 대한 수치적 안전성을 모두 보장하기 위한 시변 인코더 및 디코더 파라미터에 대한 리아푸노프 기반 조건을 확립한다.

원저자: Jungjin Park, Kiminao Kogiso

게시일 2026-08-27

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CC BY 4.0

원저자: Jungjin Park, Kiminao Kogiso

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

현대 세계에서 전력망을 가동하는 기계, 자동차를 조립하는 로봇, 그리고 교통을 안내하는 시스템은 점점 더 네트워크에 연결되고 있습니다. 이러한 물리적 기계와 디지털 통신의 통합은 놀라운 효율성을 제공하지만, 동시에 위험의 문을 열기도 합니다. 만약 해커가 센서와 제어기 사이의 신호를 가로챈다면, 그들은 명령을 미세하게 변조하여 기계를 오작동하게 하거나 심지어 치명적인 실패를 일으킬 수 있습니다. 이를 막기 위해 엔지니어들은 '암호화 제어(encrypted control)'라고 불리는 방법에 주목했습니다. 데이터를 명확하고 읽을 수 있는 형태로 보내는 대신, 시스템은 정보가 오직 의도된 수신자만이 이해할 수 있도록 암호화합니다. 그러면서도 중간에 있는 컴퓨터는 기계를 계속 작동시키기 위해 필요한 수학적 연산을 수행할 수 있습니다. 수십 년 동안 이는 고전 컴퓨터로는 풀기 어려운 수학적 퍼즐에 의존해 왔습니다. 그러나 양자 컴퓨터의 급격한 부상은 이러한 오래된 퍼즐들을 깨뜨릴 위협이 되어, 미래의 시스템을 취약하게 만들고 있습니다. 과학자들은 이제 양자 컴퓨터조차 쉽게 깨뜨릴 수 없는 다른 수학적 문제들에 기반한 새로운 보안 시스템을 구축하기 위해 경주하고 있으며, 이를 통해 내일의 핵심 인프라를 디지털 공격으로부터 안전하게 지키고자 합니다.

일본 전기통신대학교(University of Electro-Communications)의 연구팀은 이러한 새로운 보안 시스템을 운용하는 동안 어떻게 안정성과 안전성을 유지할 것인가라는, 이 새로운 보안 시스템들을 괴롭혀온 특정한 까다로운 문제를 해결함으로써 이 경주에서 중요한 진전을 이루었습니다. 그들은 보안을 위해 데이터에 의도적으로 작은 양의 노이즈(noise)를 추가하는 '오류를 포함한 학습(Learning with Errors)'이라는 개념에 기반한 고급 암호화 방식에 집중했습니다. 이 노이즈는 안전을 위해 필수적이지만, 부작용을 낳습니다. 만약 시스템이 한 번에 너무 많은 데이터를 처리하려고 하거나 숫자가 너무 커지면, 마치 컵이 넘칠 때까지 물이 차올라 넘쳐흐르는 것처럼 시스템이 오버플로(overflow)될 수 있습니다. 이런 일이 발생하면 제어 시스템 내에서 숫자들이 잘못 맴돌게 되어, 혼란스럽고 잠재적으로 위험한 동작을 초래합니다. 연구진은 이러한 숫자들을 처리하기 위해 단순히 고정된 방식을 사용하는 것만으로는, 특히 시스템이 장기간 작동할 때 안전을 보장하기에 충분하지 않다는 것을 발견했습니다.

그들 작업의 핵심은 실제 측정값을 암호화된 숫자로 변환하고 다시 되돌리는 '번역기' 부분인 인코더(encoder)와 디코더(decoder)에 대한 영리한 설계에 있습니다. 이전의 시도들에서 엔지니어들은 종-종 정적인 설정을 사용했는데, 이는 번역 규칙이 결코 변하지 않는다는 것을 의미했습니다. 연구진은 이러한 방식이 암호화 과정에서 도입되는 피할 수 없는 노이즈와 마주할 때 실패한다는 것을 발견했습니다. 대신, 그들은 번역 규칙이 실시간으로 조정되는 동적인 접근 방식을 개발했습니다. 피사체가 가까워지거나 멀어짐에 따라 자동으로 초점을 조절하는 카메라 렌즈를 상상해 보십시오. 이와 유사하게, 그들의 시스템은 기계의 현재 상태에 따라 숫자의 척도(scale)를 어떻게 조정할지를 끊임없이 미세하게 조정합니다. 이렇게 함으로써, 그들은 시스템이 매 순간 데이터를 정확히 얼마나 조절해야 하는지 알려주는 일련의 정밀한 규칙들을 도출해 냈습니다. 이 규칙들은 두 가지 결정적인 사항을 보장합니다. 첫째, 노이즈가 존재하는 상황에서도 기계가 결국 안정을 찾고 흔들림을 멈출 것이라는 점이며, 둘째, 숫자가 시스템을 오버플로시키거나 충돌을 일으킬 정도로 커지지 않을 것이라는 점입니다.

이론을 증명하기 위해 연구팀은 제어 시스템의 디지털 시뮬레이션을 구축하고 이를 수천 단계에 걸쳐 실행했습니다. 그들은 자신들의 새로운 적응형 방식과 고정된 설정을 사용하는 기존 방식들을 비교했습니다. 결과는 명확했습니다. 암호화 노이즈의 구체적인 영향을 무시했던 기존 방식들은 결국 시스템이 목표점에서 벗어나게 만들어 완전히 안정화되는 데 실패했습니다. 반면, 연구진의 새로운 동적 규칙을 사용하는 시스템은 시뮬레이션 전체에 걸쳐 안정적이고 정확하게 유지되었습니다. 기계의 움직임은 정상으로 돌아왔으며, 데이터는 안전 한도를 초 exceed하지 않아 오버플로 오류를 방지했습니다. 연구팀은 또한 표준 컴퓨터 칩에서 각 단계의 프로세스가 얼마나 걸리는지 측정하였는데, 계산 결과 각 단계가 1밀리초 미만이 소요되어 실시간 응용 분야에 사용하기에 충분히 빠르다는 것을 확인했습니다.

이 연구는 단지 이론적인 아이디어만을 제공하는 것이 아니라, 미래의 위협에 견딜 수 있는 보안 제어 시스템을 구축하기 위한 구체적인 청사진을 제공합니다. 연구진은 시스템이 데이터를 조절하는 방식을 세심하게 관리함으로써 높은 보안성과 높은 신뢰성을 모두 가질 수 있다는 것을 보여주었습니다. 그들의 연구 결과는 우리가 안정적인 기능을 수행하는 데 필요한 안정성을 희생하지 않으면서도 양자 공격에 저항할 수 있는 제어 시스템을 설계할 수 있음을 시사합니다. 비록 이 연구는 시뮬레이션을 통해 수행되었지만, 결과는 이러한 동적 인코더와 디코더가 앞으로 나아갈 수 있는 실행 가능한 경로임을 나타냅니다. 연구진의 다음 단계는 이 설계들을 컴퓨터 밖으로 가져와 실제 물리적 하드웨어에서 테스트하여, 디지털 개념 증명에서 실세계 솔루션으로 나아가는 것입니다.

기술 요약: 점근적 안정성 및 수치적 안전성을 위한 동적 키 LWE 기반 암호화 제어 시스템 분석

문제 정의
사이버 물리 시스템(CPS)과 네트워크 제어기의 통합은 심각한 보안 취약성을 초기에 도입하며, 이는 암호화된 제어를 필요로 한다. 동형 암호(HE)는 암호화된 데이터에 대한 연산을 허용하지만, 학습 오류(Learning with Errors, LWE) 문제에 기반한 격자 기반 양자 내성 암호(PQC)로의 전환은 독특한 과제를 제시한다. 기존 방식과 달리, LWE 기반 시스템은 보안을 보장하기 위해 의도적인 암호화 오류를 도입한다. 암호화된 제어 시스템에서 이러한 암호화 오류는 실수 신호를 평문으로 변환할 때 발생하는 양자화 오류와 결합하여, 시스템을 불안정하게 만들거나 수치적 오버플로를 유발할 수 있다.

기존 연구들은 암호화 오류를 유계된 섭동(bounded perturbation)으로 취급하거나 암호화 노이즈가 무시할 수 있다고 가정함으로써 암호화된 제어의 안정성을 다루었다. 그러나 이러한 접근 방식은 대개 정적 양자화기에 의존하거나 동적 키 LWE 스킴에 내재된 특정 오류 전파를 설명하지 못한다. 본 연구가 다루는 핵심 문제는 동적 키 L와(LWE) 암호화를 사용하는 상태 피드백 제어 시스템에서, 인코더와 디코더 설계가 **점근적 안정성(asymptotic stability)**과 **수치적 안전성(numerical safety, 오버플로 방지)**을 동시에 보장하도록 하는 엄격한 조건을 결여하고 있다는 점이다.

방법론
저자들은 이산 시간 선형 상태 피드백 제어 시스템을 위한 시변 인코더 및 디코더를 분석하고 설계하기 위한 프레임워크를 제안한다. 방법론은 다음과 같이 진행된다:

시스템 모델링: 본 연구는 제어 이득(controller gain)을 정적 양자화기( $\gamma_0$ )를 사용하여 인코딩하고, 시스템 상태를 시변 양자화기( $\gamma_1(k)$ )를 사용하여 인코딩하는 암호화된 제어 시스템을 모델링한다. 시스템은 재전송 공격(replay attack) 및 시스템 식별 공격(system-identification attack)에 저항하기 위해 매 단계마다 개인 키와 암호문이 공동으로 업데이트되는 동적 키 LWE 암호화 스킴을 사용한다.
오류 특성화: 저자들은 두 가지 유형의 오류에 대한 명시적인 경계값을 도출한다:
- 양자화 오류 ( $\delta_x$ ): 실수 값의 상태를 정수 평문으로 변환하는 과정에서 발생한다.
- 암호화 오류 ( $\delta_u$ ): LWE 복호화 과정에서 발생하며, 이는 암호화 노이즈, 양자화 이득 및 제어기 파라미터에 의존한다.
안정성 분석: 리아푸노프(Lyapunov) 기반 접근 방식을 사용하여, 저자들은 두 종류의 오류가 존재하는 상황에서의 폐루프 시스템 역학을 분석한다. 이들은 가법 노이즈에도 불구하고 시스템이 점근적으로 안정하게 유지될 수 있는 조건을 도출하기 위해 리아푸노프 함수 후보를 구성한다.
오버플로 방지: 본 연구는 "수치적 안전성"을 인코딩된 값이 모듈로 연산에 의한 오버플로를 방지하기 위해 평문 공간( $\mathbb{Z}_t$ ) 내에 머무르는 조건으로 정의한다. 저자들은 이 안전성을 보장하기 위한 양자화 이득의 상한선을 도출한다.
이론적 도출: 논문은 정적 이득 $\gamma_0$ 와 시변 이득 $\gamma_1(k)$ 의 허용 범위를 정의하는 일련의 부등식(정리 1)을 공식화한다. 이 조건들은 리아푸노프 함수가 시간이 지남에 따라 감소함(안정성)과 동시에 인코딩된 값이 모듈러스 $t$ 를 초과하지 않음(안전성)을 보장한다.

주요 기여
본 연구의 구체적인 기여는 다음과 같다:

암호화 노이즈 하에서의 안정성 조건: 암호화 오류를 무시하거나 정적 양자화기를 사용했던 기존 연구들과 달리, 본 논문은 암호화 오류가 무시할 수 없는 수준일 때도 점근적 안정성을 보장하는 양자화 이득에 대한 조건을 도출한다.
동적 이득 스케줄링: 저자들은 시변 양자화 이득 $\gamma_1(k)$ 의 허용 범위를 규명한다. 분석 결과, 시스템 상태가 0으로 수렴함에 따라 안정성을 유지하기 위해서는 양자화 이득이 시간이 지남에 따라 증가해야 함( $\|x(k)\| \to 0$ 일 때 $\gamma_1(k) \to \infty$ )을 밝혀냈다.
수치적 안전성 경계: 본 논문은 LWE 기반 시스템의 정상 작동을 위한 필수 요구 사항인 암호문 공간에서의 오버플로 방지를 위해 양자화 이득의 명시적인 상한선을 제공한다.
포괄적 프레임워크: 본 연구는 양자화 오류와 암호화 오류의 분석을 통합하여, 신뢰할 수 있는 암호화 상태 피드백 제어를 위한 완전한 설계 가이드라인을 제공한다.

결과
도출된 조건의 타당성은 3상 선형 플랜트와 128비트 보안을 갖춘 동적 키 LWE 스킴을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 확인되었다.

점근적 안정성: 시뮬레이션 결과, 제안된 시변 인코더(정리 1에 따라 설계됨)는 시스템 상태를 0으로 성공적으로 유도하여 점근적 안정성을 달성함을 보여주었다. 반면, 정적 인코더(고정된 $\gamma_1$ 사용)는 상태 노름(norm)이 충분히 작아졌을 때 고정된 이득이 안정성에 필요한 하한을 위반함에 따라 점근적 안정성을 달성하는 데 실패하였다.
노이즈 처리: 제안된 방법은 암호화 노이즈를 효과적으로 관리하였다. 암호화 노이즈를 이득 설계에 반영하지 않은 기존 문헌의 방법과 비교했을 때, 수정되지 않은 접근 방식은 원래의 제어 신호 및 상태 궤적으로부터 상당한 편차를 발생시켰다.
오버플로 방지: 시뮬레이션은 설계된 이득이 인코딩된 값을 유효한 평문 범위 내에 유지시켜 오버플로를 방지함을 확인하였다.
계산 효율성: 저자들은 macOS Tahoe 26.5가 설치된 24GB 메모리의 Apple M4 칩 탑재 MacBook Air에서 처리 시간을 측정하였다. 단계당 총 처리 시간은 $(7.51 \pm 0.07) \times 10^{-1}$ ms로 보고되었다. 이는 밀리초 단위의 샘플링 주기를 가진 제어 시스템에 대한 실시간 구현 가능성을 시사한다.

의의 및 주장
본 논문은 그 주요 의의가 동적 키 LWE 기반의 신뢰할 수 있는 암호화 제어 시스템을 위한 이론적 토대를 구축하는 데 있다고 주장한다. 양자화와 암호화 오류 사이의 상호작용을 명시적으로 고려함으로써, 본 연구는 이러한 시스템이 단순히 작동하는 것을 넘어 안정적이고 안전하게 작동하도록 보장하는 데 필요한 조건을 제공한다.

저자들은 자신들의 접근 방식이 암호화 오류가 존재하는 상황에서도 점근적 안정성을 보장한다는 점을 강조하며, 이는 기존의 정적 양자화기 방식의 한계이다. 또한, 오버플로를 방지하기 위한 이득의 허용 범위를 규명함으로써, PQC 기반 제어의 안정성 분석에서 종종 간과되는 수치적 안전성 문제를 해결한다. 본 연구는 보안, 안정성, 수치적 무결성의 균형을 맞춘 설계 프레임워크를 제공함으로써 양자 내성 암호화 제어의 실질적 배포를 향한 단계로 자리매김한다. 향후 과제로 이 프레임워크를 실제 시스템에 적용하고 더 일반적인 제어 환경으로 확장하는 것을 언급하였다.

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