Averaging in thermodynamic dislocation theory: general macroscopically uniform stress and strain states

기술 요약: 열역학적 전위 이론에서의 평균화

문제 정의
열역학적 전위 이론(Thermodynamic Dislocation Theory, TDT)은 이전에 단순 전단에서의 단일 슬립 계와 단순 인장 또는 압축 하의 다결정체에 대해 정식화된 바 있다. 그러나 임의의 응력 및 변형 상태에 대한 일반적인 거시적 정식화는 결여되어 있었다. 구체적으로, 본 이론은 계산 비용이 많이 드는 결정 소성(crystal-plasticity) 시뮬레이션에 의존하지 않고도, 무작위로 배향된 다결정체에 대한 평균 분해 전단 응력과 전단 변형률을 정의하고 거시적 소성 유동의 방향을 결정할 수 있는 엄격한 방법을 필요로 했다. 또한, 기존의 경험적 모델(예: Johnson-Cook)은 부가적인 조정 없이 서로 다른 응력 상태(예: 인장 대 비틀림)의 데이터를 일치시키는 데 실패하는 경우가 많으며, 비틀림 시험 데이터(토크-비틀림을 전단 응력-변형률로 변환하는 과정)의 고전적 환원은 속도 의존적 이론과 양립할 수 없는 가설들에 의존한다.

방법론
본 논문은 축대칭 하중에 대해 개발된 Le 등(2020)의 평균화 절차를 임의의 거시적으로 균일한 응력 및 변형 상태로 확장한다. 이 방법론은 두 가지 주요 가설에 기초한다:

1. 등확률 가설 (Equal Probability Hypothesis): 다결정체의 결정 배향은 등확률(Haar measure in $SO(3)$)로 분포한다.
2. 슬립의 선형 분할 (Linear Partition of Slip): 임의의 슬립 계에 작용하는 소성 분해 전단 변형률 속도는 해당 계에 작용하는 분해 전단 응력에 비례한다.

이러한 가설들을 사용하여, 저자는 모든 슬립 계의 배향에 대한 제곱평균제곱근(RMS) 평균으로서 평균 분해 전단 응력($\bar{\tau}$)과 평균 분해 탄성 및 소성 전단 변형률($\bar{\varepsilon}^e, \dot{\bar{\varepsilon}}^p$)을 정의한다. 이러한 평균들을 거시적 불변량과 연결하기 위해 등방성 4차 텐서에 대한 두 개의 정확한 항등식이 유도된다.

구성 체계(constitutive framework)는 다음과 같이 구축된다:

• 선형 분할 가설에 기반하여 거시적 소성 유동 방향을 정의한다.
• 거시적 소성 일(plastic power)에 의해 구동되는 단일 계 TDT 역학(열적 활성화 전위 탈구속, 전위 밀도 $\rho$의 진화, 유효 무질서 온도 $\chi$)을 통합한다.
• 임의의 하중 경로를 수용할 수 있도록 시간-속도 형태(time-rate form)로 운동 방정식을 정식화한다.
• 고전적인 환원 방식(속도 독립성을 가정하는 방식)을 피하고, 막대(bars)와 튜브(tubes)에 대한 토크-비틀림 관계를 이론으로부터 직접 유도한다.

주요 기여

1. 연관된 $J_2$ 유동 이론의 유도: 본 논문은 등확률 가설과 슬립의 선형 분할이 결의상 고전적 소성 역학의 연관된 $J_2$ 유동 이론을 정확히 도출함을 증명한다. 구체적으로, 평균 분해 전단 응력이 von Mises 등가 응력에 비례함($\bar{\tau} = \sigma_{eq}/\sqrt{15}$)을 보였으며, 결과적인 유동 법칙은 Prandtl–Reuss 법칙($\dot{\varepsilon}^p \propto \sigma'$)이 된다. 이러한 구조는 조정 가능한 매개변수 없이 나타난다.
2. TDT의 일반화: 본 이론은 단축 상태에서 임의의 응력 상태로 일반화되었다. 거시적 변수와 슬립 계 변수를 연결하는 기하학적 계수들이 업데이트되었으나(예: $\pi/2$를 $\sqrt{5/3}$로 대체), 무차원 시스템은 이전의 단축 정식화와 일관성을 유지한다.
3. 직접적인 토크-비틀림 정식화: 토크와 비틀림 각도를 직접 해결하는 비틀림에 대한 경계값 문제를 정식화한다. 이는 단일 값의 속도 독립적 전단 응력-변형률 곡선을 전제로 하는 고전적 환원(예: Nadai 구성)의 필요성을 제거한다.
4. 통합 매개변수 식별: 저자는 광범위한 온도(298 K ~ 1173 K)와 변형률 속도(10 ~ 2300 s$^{-1}$) 범위에서 구리(copper)의 Hopkinson-bar 인장, 동적 압축, 비틀림 시험 데이터를 사용하여 재료 매개변수의 공동 식별을 수행한다.

결과

• 매개 변수 일관성: 이전의 압축 전용 식별 결과와 일치하는 단일 매개변수 세트($\tilde{\chi}_0, K_\rho, c_0, c_1$)가 인장, 압축, 비틀림 데이터를 성공적으로 설명한다. 142개 데이터 포인트에 대한 제곱평균제곱근 오차는 5.9%이다.
• 인장-비틀림 불일치 해결: 본 논문은 Johnson과 Cook(1983)이 지적한 인장-비틀림 불일치 문제를 다룬다. 결과에 따르면, 이 불일치는 재료 법칙의 실패가 아니라 비틀림 시편의 초기 전위 상태의 결과이다. 비틀림 시편에 특정 초기 상태(특히 특정 어닐링 이력을 반영하는 더 높은 초기 전위 밀도)를 할당하면, 이론은 인장과 비틀림 데이터를 모두 정확하게 설명한다.
• 이론의 한계: 본 이론은 약 $\gamma = 3$의 변형률까지의 거동을 정확하게 포착한다. 편차는 텍스처 진화와 셀 구조 변화가 지배적이 되는 더 높은 변형률(Stage-IV 경화)에서 발생하며, 이는 현재의 등방성 모델의 범위를 벗어나는 현상이다. 또한, 본 이론은 탈구속과 재결정이 경쟁하는 준정적(quasi-static) 영역을 제외한다.

의의
본 논문은 결정 소성 계산 없이도 일반적인 하중 경로에 TDT를 적용할 수 있음을 보여주며, 표준적인 고전 $J_2$ 소성의 구조를 회복하면서도 이론의 예측력을 유지한다. 토크-비틀림 관계를 직접 유도하고 다양한 응력 상태에서 매개변수를 공동 식별함으로써, 본 연구는 상온에서 고온에 이르기까지, 그리고 여러 자릿수의 변형률 속도에 걸쳐 금속 소성을 설명하는 이론의 능력을 검증한다. 결정적으로, 본 연구는 실험적 불일치(인장 대 비틀림)를 모델의 부적절함이 아닌 시편의 이력으로 돌림으로써 이를 해결하였고, 이는 열역학적 프레임워크의 견고함을 강화한다. 본 이론은 기존 유한 요소 코드에 구현하기 적합한 폐쇄형 거시 모델(재료점당 8개의 상미분 방정식)로 제시된다.