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Averaging in thermodynamic dislocation theory: general macroscopically uniform stress and strain states

本文通过从基本原理出发推导出一个相关的 $J_2$ 流变理论，将热力学位错理论扩展到任意宏观均匀的应力与应变状态，从而成功地利用同一组材料参数，统一描述了铜在广泛温度和应变率范围内的拉伸、压缩及扭转响应。

原作者： Khanh Chau Le

发布于 2026-09-30

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原作者： Khanh Chau Le

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

金属并非坚硬、不可撼动的整体；在显微镜下，它们是庞大的微小晶体群，每个晶体都有其独特的内部结构和取向。当金属棒被拉伸、挤压或扭转时，这些晶体会沿着特定的平面相互滑动，这一过程是由被称为“位错”的缺陷所驱动的。这些位错就像原子点阵中的交通堵塞；它们会被障碍物“钉扎”住，或者说卡住，并且需要能量才能挣脱束缚并继续移动。位错移动、受阻和重新排列的方式，决定了金属的手感硬度或软度、它在应力下的硬化方式，以及它在高温或高速拉伸时的表现。理解这种微观层面的“舞蹈”对于设计从飞机框架到医疗植入物的一切产品的工程师来说至关重要，然而，要准确预测金属在复杂混合力作用下的反应，长期以来一直是一个难题。

几十年来，科学家们一直依赖数学规则来描述这种行为，但这些规则通常需要为每一个新实验拟合新的参数，这使得它们更像是对已发生现象的描述，而非对即将发生情况的真实预测。一种被称为“热力学位错理论”的新方法试图解决这个问题，它尝试将位错不仅视为机械缺陷，更视为一个拥有自身温度和无序度的系统，就像气体一样。该理论认为，位错的运动是由热量和变形本身的能量所驱动的。然而，这一强大的理论此前仅被成功应用于简单的单向拉伸或挤压。它尚未被证明如何应用于现实世界物体经常面临的复杂、多向力的场景，例如传动轴的扭转，或是单个部件同时承受拉伸与扭转的情况。

在最近的一项研究中，研究人员致力于弥补这一差距，将该理论扩展到能够处理任何均匀的应力与应变状态。他们从一个简单而深刻的假设开始：在典型的金属中，微小晶体的取向在所有方向上的概率是相等的。通过对这些随机取向的晶体行为进行平均，他们推导出一套将微观位错滑动与宏观可测力量联系起来的规则。他们发现，当你在所有可能的晶体方向上对滑动力量进行平均时，其结果与工程师使用的一种标准应力度量——冯·米塞斯（von Mises）应力之间存在直接的正比关系。这意味着，金属复杂的、多向的流动可以用一条统一的规则来描述，该规则适用于拉伸、压缩和扭转等所有情况，而无需为每种情况发明新的参数。

随后，研究人员利用大量的现实世界数据对这一统一理论进行了测试。他们收集了铜（一种常见且研究充分的金属）的实验结果，涵盖了广泛的条件。数据包括在高速下被拉开的铜棒、在冲击管中被压缩的铜棒，以及以各种速率扭转的铜棒，这些实验涵盖了从室温到接近 1,200 开尔文的温度范围。至关重要的是，他们并没有仅仅观察最终的应力和应变数值；而是直接处理扭转测试中的扭矩和扭转角原始测量值，从而避免了传统分析中常见的简化处理所导致的误差。通过将理论拟合到所有 142 个数据点上，他们发现仅需一组材料参数，就能准确描述铜在所有这些不同场景下的行为。

其中一项最重要的发现解决了长期以来的一个谜团。此前的研究指出，铜在扭转时的表现似乎与拉伸时不同，这导致科学家认为材料本身的法则可能存在差异。新的分析表明，这种差异并非源于理论缺陷或金属基本法则的不同，而是由于用于扭转实验的具体样本中位错的初始状态不同。用于扭转实验的铜具有较高的初始位错密度，这可能是由其特定的制造历史造成的，这使得它在初始阶段看起来更硬。一旦研究人员考虑到了这种初始条件的差异，同一套规则就能完美地描述拉伸和扭转的数据。

该研究还明确了该理论的适用范围。它在动态加载（即力快速施加时）的情况下表现极佳，但不适用于涉及重结晶等其他机制的极慢速准静态过程。此外，该理论预测，在扭转量极大、超过一定程度后，金属的行为将会发生变化，因为其内部晶体结构会开始向特定方向排列，这种被称为“织构演化”的现象目前尚未包含在现有模型中。尽管存在这些边界，这项工作仍提供了一个稳健的预测框架，将微观世界的位错与宏观世界的工程学联系在一起。它证明了通过理解数十亿个微小晶体行为的统计平均值，我们可以创建一个连贯的描述，说明金属如何变形、硬化并响应热量和速度，从而为设计能够承受现代世界极端条件的材料提供了更清晰的路径。

技术摘要：热力学位错理论中的平均化

问题陈述
热力学位错理论（TDT）此前已针对简单剪切中的单滑移系进行了公式化，并应用于单轴拉伸或压缩下的多晶体。然而，目前仍缺乏一种适用于任意应力和应变状态的一般宏观公式。具体而言，该理论需要一种严谨的方法，为在一般载荷下的随机取向多晶体定义平均分量解析剪应力和剪应变，并在无需依赖高计算成本的晶体塑性模拟的情况下，确定宏观塑性流动的方向。此外，现有的经验模型（如 Johnson-Cook 模型）往往无法在不进行人为调整的情况下协调不同应力状态（如拉伸与扭转）下的数据，且经典的扭转测试数据简化方法（从扭矩-扭转关系到剪应力-剪应变）依赖于与速率相关理论不相容的假设。

方法论
本文将 Le 等人（2020）针对轴对称加载开发的平均化程序扩展到了任意宏观均匀应力和应变状态。该方法基于两个主要假设：

等概率假设：多晶体中的晶粒取向以相等的概率分布（ $SO(3)$ 中的 Haar 测度）。
滑移线性分配：任何滑移系上的平均解析剪应变率与作用在该滑移系上的平均解析剪应力成正比。

利用这些假设，作者定义了平均解析剪应力 ( $\bar{\tau}$ ) 以及平均解析弹性与塑性剪应变 ( $\bar{\varepsilon}^e, \dot{\bar{\varepsilon}}^p$ ) 为所有滑移系取向的均方根（RMS）平均值。文中推导了两个精确恒等式，用于将这些平均值与宏观不变量联系起来。

随后构建了本构框架：

基于线性分配假设定义宏观塑性流动方向。
集成由宏观塑性功率驱动的单系统 TDT 动力学（热激活位错脱钉、位错密度 $\rho$ 的演化以及有效无序温度 $\chi$ ）。
采用时间速率形式构建运动方程，以适应任意加载路径。
直接从理论中导出棒材的扭矩–扭转关系，从而避免使用假设速率无关性的经典简化方法。

核心贡献

关联 $J_2$ 流动理论的推导：本文证明了等概率假设结合滑评线性分配，会精确产生经典塑性中的关联 $J_2$ 流动理论。具体而言，证明了平均解析剪应力与 von Mises 等效应力成正比 ( $\bar{\tau} = \sigma_{eq}/\sqrt{15}$ )，且所得流变规则符合 Prandtl–Reuss 规则 ( $\dot{\varepsilon}^p \propto \sigma'$ )。这一结构是在没有任何可调参数的情况下自然涌现的。
TDT 的泛化：将理论从单轴状态推广到任意应力状态。连接宏观变量与滑移系变量的几何因子也随之更新（例如，将 $\pi/2$ 替换为 $\sqrt{5/3}$ ），但其无量纲系统与之前的单轴公式保持一致。
直接扭矩-扭转公式化：构建了一个针对扭转的边值问题，直接求解扭矩和扭转角。这消除了需要预设单值、速率无关剪应力-剪应变曲线的经典简化过程（如 Nadai 构造）。
统一参数识别：作者通过涵盖广泛温度范围（298 K 至 1173 K）和应变率（10 至 2300 s $^{-1}$ ）的霍普金森棒拉伸、动态压缩和扭转测试数据，对铜的材料参数进行了联合识别。

结果

参数一致性：一组与此前仅针对压缩识别出的参数一致的材料参数 ( $\tilde{\chi}_0, K_\rho, c_0, c_1$ )，成功描述了拉伸、压缩和扭转数据。在 142 个数据点上的均方根误差为 5.9%。
解决拉伸-扭转差异：本文解决了 Johnson 和 Cook (1983) 指出的拉伸-扭转差异问题。结果表明，这种差异并非材料规律的失效，而是扭转试样初始位错状态的结果。当为扭转试样分配不同的初始状态（特别是反映其特定退火历史的较高初始位错密度）时，该理论能够准确拟合拉伸和扭转数据。
理论局限性：该理论能准确捕捉高达应变 $\gamma = 3$ 左右的行为。在更高应变（第四阶段硬化）下会出现偏差，此时织构演化和胞状结构变化变得占据主导地位，而这些现象超出了当前各向同性模型的范围。此外，该理论排除了回复与再结晶与脱钉竞争的准静态机制。

意义
本文展示了热力学位错理论可以在无需晶体塑性计算的情况下应用于一般加载路径，在保留理论预测能力的同时，恢复了经典 $J_2$ 塑性的标准结构。通过直接推导扭矩-扭转关系，并在不同应力状态下进行联合参数识别，这项工作验证了该理论描述金属塑性的能力，涵盖了从室温到高温以及数个数量级的应变率。至关重要的是，它通过将实验不一致性（拉伸 vs 扭转）归因于试样历史而非模型缺陷，解决了长期存在的争议，增强了热力学框架的鲁棒性。该理论被呈现为一个封闭的宏观模型（每个材料点包含 8 个常微分方程），适用于集成到现有的有限元代码中。

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