An injection/production-efficiency based surrogate optimization algorithm for optimal well controls in waterflooding reservoirs

기술 요약: 수층 주입(Waterflooding) 저류층의 최적 유정 제어를 위한 주입/생산 효율 기반 대리 모델 최적화 알고리즘

문제 정의

수층 주입은 사암 및 탄산염 저류층의 주요 에너지 보충 방법이지만, 저류층의 불균질성(예: 고투과성 스트리크, 단층)으로 인해 낮은 스윕 효율(sweep efficiency), 조기 수분 돌파(water breakthrough), 그리고 개발 중기 및 후기의 회수율 제한 문제가 자주 발생합니다. 전통적인 생산 최적화 방법들은 계산 속도와 결과 신뢰성 사이에서 트레이드오프(trade-off) 문제에 직면해 있습니다:

• 저류층 공학 방법: 빠르고 실용적이지만 경험적 지식에 크게 의존하며, 정확도가 낮고 주관적인 결과를 제공합니다.
• 수치 시뮬레이션 방법: 신뢰도는 높지만 계산 비용이 많이 들어, 대규모 문제에 대한 반복적인 시뮬레이션을 통한 자동 최적화가 어렵습니다.
• 대리 모델 최적화 방법: 근사 모델을 사용하여 계산 비용을 줄이고자 하지만, 고차원 결정 공간, 초기 샘플링의 민감도, 그리고 복잡하고 제약 조건이 있는 문제를 위한 초기 대리 모델 구축의 시간 소모 문제로 어려움을 겪는 경우가 많습니다. 특히, 순수 대리 모델 최적화는 결정 변수의 차원에 민감하며, 결정 매개변수의 수가 많은 대규모 저류층 생산 최적화 문제에는 권장되지 않습니다.
• 스트림라인 시뮬레이션 방법: 빠른 유동장 진단과 명확한 물리적 의미를 제공하여 유량 배분에 유리하지만, 유정 제어 최적화에 국한되는 경우가 많으며 복잡한 매개변수 튜닝을 다룰 때 전역 최적화 알고리즘만큼의 강건함(robustness)이 부족할 수 있습니다.

핵심 과제는 시간이 많이 소요되고 제약 조건이 있는 저류층 생산 최적화 문제를 해결하기 위해 계산 효율성, 최적화 정확도, 그리고 신뢰성 사이의 균형을 맞추는 방법을 개발하는 것입니다.

방법론

저자들은 스트림라인 시뮬레이션의 물리적 통찰력과 대리 모델 최적화의 전역 탐색 능력을 결합한 스트림라인 기반 대리 모델 최적화 알고리즘을 제안합니다. 이 방법론은 세 가지 주요 구성 요소로 이루어져 있습니다:

1. 스트림라인 유래 주입/생산 효율 및 유량 최적화 전략

• 효율 정의: 스트림라인 시뮬레이션을 바탕으로, 저자들은 웰-페어(well-pair, 주입정-생산정 쌍) 및 단일 유정(single-well) 수준에서 **주입 효율(IE)**과 **생산 효율(PE)**을 정의했습니다. 이 지표들은 비용 및 유가 대비 주입된 물과 생산된 액체의 경제적 가치를 정량화합니다.
  • 웰-페어 IE/PE: 특정 주입정-생산정 쌍의 효과를 반영합니다.
  • 단일 유정 IE/PE: 연결된 모든 쌍의 기여도를 합산하여 개별 유정의 성능을 평가합니다.
• 유량 업데이트 전략: 주입 및 생산 유량을 조정하기 위해 **경계 가중치 기준(bounded-weight criterion)**을 도입했습니다. 업데이트 가중치($W$)는 평균 효율($\beta_{ave}$)에 대한 정규화된 효율($\beta$)에 의해 결정됩니다.
  • 특정 유정/쌍이 평균보다 효율적이면, 그 유량을 증가시킵니다 (상한선까지).
  • 효율이 낮으면, 유량을 감소시킵니다 (최저 0까지).
  • 이 전략에는 가중치 지수($\alpha$), 계산 범위($R$), 선형 스케일링 계수($W_{lim,min}, W_{lim,max}$)를 포함하여 조정 강도를 제어합니다.
• 워크플로우: 이 스트림라인 최적화는 전체 스케줄을 생성하기 위해 단 한 번의 순방향 시뮬레이션(모든 타임 스텝 포함)만을 필요로 합니다. 결정적으로, 스트림라인 최적화 방법 자체는 주입 및 생산 유정의 수에 민감하지 않으므로, 대규모 유량 배분에 효율적입니다.

2. 대리 모델 최적화 프레임워크
(수동으로 튜닝해야 하는) 스트림라인 유량 업데이트 기준의 매개변수들을 최적화하기 위해, 저자들은 스트림라인 방법을 대리 모델 최적화 프레임워크 내에 삽입했습니다.

• 결정 변수: 경계 가중치 기준의 매개변수($\alpha, R, W_{lim,min}, W_{lim,max}$)가 결정 변수 역할을 합니다. 개별 유정 유량을 직접 최적화하는 대신 이 몇 가지 매개변수를 최적화함으로써, 이 방법은 문제의 차원을 크게 낮춥니다.
• 대리 모델: 계산 비용이 낮고 알려진 샘플 지점에서 정확한 값을 보장할 수 있는 **방사 기저 함수 보간 모델(RBF-IM)**을 사용합니다.
• 샘플링 전략: 다음 시뮬레이션을 위한 잠재적 후보 점을 선택하기 위해 세 가지 전략을 사용합니다:
  1. 최소 대리 모델 응답 (RS_Min): 국부적 착취(local exploitation, 대리 모델 목적 함수 최소화)에 집중합니다.
  2. 최대 탐색 능력 (SA_Max): 전역적 탐색(global exploration, 기존 샘플에서 가장 먼 점 선택)에 집중합니다.
  3. 최대 통합 가치 (IV_Max): 정규화된 대리 모델 응답과 거리 지표를 결합하여 착취와 탐색의 균형을 맞춥니다.
• 제약 조건 처리: 제약 조건은 무작위 샘플링 또는 최적화 알고리즘에 의해 생성된 실행 가능한 점들을 스크리닝하거나 페널티 함수를 통해 관리됩니다.

3. 통합 알고리즘
제안된 알고리즘은 대리 모델 최적화 루프 내에서 스트림라인 최적화 절차를 실행합니다. 대리 모델 알고리즘은 순현재가치(NPV)를 극대화하기 위해 스트림라인 유량 업데이트 기준의 매개변수를 반복적으로 업데이트합니다. 이 접근 방식은 결정 변수를 (수천 개의 개별 유정 유량이 아닌) 몇 개의 스트림라인 기준 매개로 제한함으로써 문제의 차원을 줄이고, 비용이 많이 드는 수치 시뮬레이션 횟수를 최소화합니다. 순수 대리 모델 최적화는 결정 변수가 많은 대규모 저류층 문제에서 민감할 수 있지만, 이 하이브리드 방식은 결정 변수를 스트림라인 기준 매개변수로 제한함으로써 이 문제를 완화합니다.

주요 기여

1. 새로운 알고리즘: 유동장 진단과 대리 모델 최적화를 결합한 스트림라인 기반 대리 모델 최적화 알고리즘을 개발했습니다. 이 하이브리드 접근 방식은 스트림라인 시뮬레이션의 속도와 대리 모델의 전역 탐색 능력을 모두 활용합니다.
2. 효율 지표: 웰-페어 및 단일 유정 수준에서의 주입/생산 효율을 공식적으로 정의하여, 유량 배분을 위한 물리적 근거를 제공합니다.
3. 경계 가중치 기준: 효율 진단에 따라 유량 조정을 제어할 수 있는 유연한 유량 업데이트 메커니즘을 제공하여, 극단적이거나 불안정한 변화를 방지합니다.
4. 차원 축소: 개별 유정 유량이 아닌 스트림라인 최적화 매개변수를 결정 변수로 취급함으로써, 결정 변수가 많은 대규모 저류층에서 일반적으로 순수 대리 모델 최적화를 제한하는 "차원의 저주"를 피합니다.

결과

알고리즘은 두 가지 수치 모델(5개 주입정/4개 생산정 합성 모델 및 5개 주입정/9개 생산정으로 구성된 실제 저투과성 탄산염 저류층인 Reservoir A)을 사용하여 검증되었습니다.

합성 모델 결과:

• 베이스 스케줄(과거 유량) 및 표준 스트림라인 최적화(Opt_IE)와 비교했을 때, 제안된 Opt_IE_Sur 방법이 가장 높은 순현재가치(NPV)를 달산했습니다.
• 개선 사항: 누적 오일 생산량은 26.06% 증가했고, 누적 수분 생산량은 9.24% 감소했으며, 최종 수분 절률(water cut)은 2.75 퍼센트 포인트 낮아졌습니다.
• 최적화된 스케줄은 주입정 INJ3 주변의 잔류 오일을 목표로 주입량을 늘리고 생산정 PRO4의 생산량을 줄임으로써, 불균질성에 적응하는 알고리즘의 능력을 입증했습니다.

실제 저류층 (Reservoir A) 결과:

• Opt_IE_Sur 스케줄은 베이스 스케줄과 표준 스트림라인 최적화 모두를 크게 능가했습니다.
• 개선 사항: 누적 오일 생산량은 22.12% 증가한 반면, 누적 수분 생산량은 **80.52%**라는 상당한 폭으로 감소했습니다. 최종 수분 절률은 26.23 퍼센트 포인트 떨어졌습니다.
• NPV는 베이스 스케줄 대비 22.55% 증가했습니다.
• 유동장 분석 결과, 최적화된 스케줄은 주입 스윕 패턴을 성공적으로 변경하여, 성과가 좋은 AI3에서 AI1 및 AI4 근처의 미흡한 스윕 구역으로 초점을 전환함으로써 배수 효율을 개선했습니다.

의의 및 주장

본 논문은 제안된 스트림라인 기반 대리 모델 최적화 알고리즘이 기존 방법들의 한계를 성공적으로 해결했다고 주장합니다:

• 속도 vs 정확도: 순수 대리 모델 최적화(고차원 문제에 대해 많은 시뮬레이션이 필요한 특성)의 시간 소모적인 특성과 순수 스트림라인 방법(고정된 매개변수 설정에 의존하는 특성)의 낮은 정확도를 모두 극복합니다.
• 적용 가능성: 이 방법은 대규모의 시간이 많이 소요되는 제약 조건이 있는 최적화 문제에 적합합니다. 기본이 되는 스트림라인 최적화 구성 요소는 유정 수에 민감하지 않은 반면, 대리 모델 구성 요소는 축소된 차원의 기준 매개변수를 효과적으로 관리하므로 전체적인 접근 방식의 확장성을 보장합니다.
• 시너지: 스트림라인 시뮬레이션을 대리 모델 프레임워크에 통합함으로써, 유동장 진단의 물리적 해석 가능성을 유지하면서도 전역 최적화의 강건함으로부터 이득을 얻습니다.
• 미래 잠재력: 저자들은 이 프레임워크가 강력한 확장성을 가지고 있으며, 향후 유정 패턴, 유정 위치 및 유정 제어 매개변수의 공동 최적화로 확장될 수 있다고 명시했습니다.

연구는 이 통합된 접근 방식이 수층 주입 운영을 최적화하기 위한 신뢰할 수 있고 빠르며 정확한 도구를 제공하며, 불균질한 저류층에서 상당한 경제적 이익과 회수율 향상을 제공한다고 결론지었습니다.