Multi-period Mean-Variance Interval Portfolio Selection Model with Cardinality Constraints

투자는 종종 어떤 주식이 오르고 어떤 주식이 떨어질지를 맞히는 예측의 게임으로 상상되곤 합니다. 수십 년 동안 이 방식에 접근하는 표준적인 방법은 기대 수익률의 평균값과 그 수익률이 얼마나 위아래로 요동칠 수 있는지를 나타내는 척도를 계산하는 것이었습니다. 이 방법은 투자자가 이러한 수치들을 단 하나의 정밀한 수치로 확정 지을 수 있다고 가정합니다. 하지만 현실 세계에서 미래는 결코 그렇게 명확하지 않습니다. 정보는 종종 불완𝙩하며, 시장 상황은 예기치 않게 변하고, 인간의 감정은 사람들이 데이터를 해석하는 방식에 거대한 역할을 합니다. 투자자가 주식을 바라볼 때, 그들은 단일한 지점이 아니라 가능한 결과의 범위를 보게 될 수도 있으며, 경제에 대해 낙관적이거나 비관적인지 여부와 같은 그들 자신의 기분이 그 가능성들에 무게를 두는 방식을 색칠할 수도 있습니다.

이러한 불확실성은 광둥 재경대학교의 연구원인 당스리(Shili Dang)의 새로운 연구에서 다루는 핵심 과제입니다. 이 논문은 정확한 수치를 확신할 수 없을 때 어떻게 더 나은 투자 계획을 세울 수 있는지를 탐구합니다. 주식이 얼마나 벌어들일지에 대한 단 하나의 추측에 의존하는 대신, 이 연구는 불확실성을 나타내기 위해 값의 범위를 사용합니다. 또한 투자자의 감정이 시장에 대한 결정에 어떻게 영향을 미치는지 측정하는 방법을 도입합니다. 이러한 아이디어들을 거래 비용 및 한 사람이 현실적으로 관리할 수 있는 다양한 주식의 수라는 실질적인 현실과 결합함으로써, 이 연구는 시간이 흐름에 따라 부가 어떻게 성장하는지에 대한 새로운 시각을 제공합니다. 목표는 단순히 수학적으로 완벽한 포트폴리오를 찾는 것이 아니라, 혼란스럽고 불확실한 세상을 항해하는 인간에게 적합한 포트폴리오를 찾는 것입니다.

이 작업의 핵심은 투자 수익을 고정된 지점이 아닌 구간(interval)으로 취급하는 모델입니다. 예를 들어, 어떤 주식이 6%의 수익을 낼 것이라고 단정하는 대신, 5%에서 7% 사이의 수익을 낼 것이라고 예측하는 것을 상상해 보십시오. 이 범위는 실제 결과가 알려지지 않았음을 인정합니다. 그런 다음 모델은 투자자가 시장에 대해 느끼는 감정에 따라 그 범위 내에서의 초점을 이동시키는 "감성 계수(sentiment coefficient)"를 추가합니다. 만약 투자자가 매우 낙관적이라면 모델은 범위의 높은 쪽으로 기울고, 비관적이라면 낮은 쪽으로 기울게 됩니다. 이를 통해 투자 계획은 투자자의 심리 상태에 적응할 수 있으며, 동일한 데이터를 보고 있더라도 사람마다 전망에 따라 서로 다른 선택을 할 수 있음을 인식합니다.

모델을 현실적으로 만들기 위해 연구진은 실제 투자자들이 직면하는 몇 가지 제약 조건을 포함했습니다. 그들은 거래를 할 때마다 지불하는 비용인 거래 비용을 고려했습니다. 또한 차입 제한과 투자자가 모든 돈을 단 하나의 자산에 모두 투입할 수 없다는 사실도 고려했습니다. 아마도 가장 중요한 것은 포트폴리오에 보유하는 자산의 수를 규정하는 규칙을 포함했다는 점일 것입니다. 이는 카디널리티 제약(cardinality constraint)이라고 알려져 있습니다. 실제로 너무 많은 종류의 주식을 보유하는 것은 포트폴리오 관리를 어렵게 만들고 재조정 비용을 발생시키며, 너무 적게 보유하는 것은 투자자를 불필요한 위험에 노출시킵니다. 본 연구는 분산 투자가 극대화되면서도 과도한 비용이 발생하지 않는 최적의 지점을 찾고자 했습니다.

연구진은 5년 동안 30개의 주요 중국 주식 데이터를 사용하여 모델을 테스트했으며, 다섯 개의 뚜렷한 시간 단계에 걸쳐 포트폴리오가 어떻게 성과를 내는지 시뮬레이션했습니다. 그들은 포트폴리오에 허용되는 주식 수에 대한 다양한 제한을 두어 시뮬레이션을 실행했으며, 투자자가 2개에서 8개 사이의 서로 다른 자산을 보유하는 시나리오를 테스트했습니다. 결과는 명확한 패턴을 보여주었습니다: 주식을 더 많이 추가하는 것이 최종 부를 늘리는 데 도움이 되었지만, 특정 지점까지만 그러했습니다. 포트폴리오에 5개의 주식이 포함되었을 때 최종 부가 정점에 도달했습니다. 6개, 7개 또는 8개의 주식을 추가하는 것은 결과를 개선하지 못했으며, 오히려 최종 부를 약간 감소시키거나 변화가 없었습니다. 이는 분산 투자의 이점에도 한계가 있음을 시사합니다. 포트폴리오가 위험을 분산할 만큼 충분한 다양성을 갖추고 나면, 더 많은 자산을 추가하는 것은 추가적인 수익을 창출하기보다는 오히려 추가적인 거래 비용과 복잡성만을 유발합니다.

또한 연구는 투자자의 감성이 시간이 흐름에 따라 부의 성장에 어떻게 영향을 미치는지 조사했습니다. 감성 계수가 0으로 설정되었을 때(완전한 비관적 전망을 의미), 최종 부는 계수가 1일 때(극단적 낙관주의를 의미)보다 낮았습니다. 특히 인상적이었던 점은 이 차이가 시간이 지남에 따라 어떻게 변했는가 하는 것이었습니다. 투자 초기 단계에서는 가장 낙관적인 시나리오와 가장 비관적인 시나리오 사이의 격차가 상대적으로 작았습니다. 그러나 투자 기간이 5단계까지 연장됨에 따라 이 격차는 크게 벌어졌습니다. 마지막 단계에 이르러서 낙관적인 시나리오와 비관적인 시나리오 사이의 부의 차이는 거의 10%까지 늘어났습니다. 이는 투자자의 사고방식이 단 하나의 결정에만 영향을 미치는 것이 아니라, 시간이 지남에 따라 축적되어 투자 기간이 길어질수록 더 강력한 힘이 된다는 것을 나타냅니다.

이러한 성장의 속도를 이해하기 위해 연구진은 데이터 분석을 통해 부의 축적이 예측 가능한 패턴을 따르는지 확인했습니다. 그들은 부의 성장이 대략 지수 함수적(exponential)임을 발견했는데, 이는 부가 일정한 선형적 속도가 아니라 가속되는 속도로 성장함을 의미합니다. 이 패턴은 투자자가 낙관적이든 비관적이든 상관없이 유지되었으나, 긍정적인 전망을 가진 사람들의 경우 성장 속도가 더 빨랐습니다. 이 연구는 비록 구체적인 숫자는 시장 조건과 투자자의 감정에 달려 있을지라도, 이 모델 내에서의 부의 축적 메커니즘은 견고하다는 것을 시사합니다. 연구 결과는 양적인 방식으로, 적절한 수준의 분산 투자와 자신의 시장 전망에 대한 명확한 이해가 어떻게 재무적 결과를 형성할 수 있는지 보여줍니다.

이러한 발견의 함의는 포트폴리오를 관리하는 모든 이들에게 실질적입니다. 연구는 방대한 수의 다양한 주식을 소유하려고 노력하는 것이 항상 최선의 전략은 아니라는 점을 시사합니다. 대신, (이 특정 연구의 맥락에서 약 5개 정도의) 적절한 수의 자산에 집중하는 것이 거래 비용에 대한 분산 투자의 이점을 균형 있게 조절할 수 있습니다. 나아가, 이 연구는 투자의 감정적 요소가 단순한 방해 요소가 아니라 최종 결과에 능동적으로 영향을 미치는 변수라는 점을 강조합니다. 미래에 대한 투자자의 기대는 미래에 대한 체계적인 자산 관리 방식과 결합될 때, 다년간의 기간 동안 현저히 다른 결과를 만들어낼 수 있습니다. 이 모델은 이러한 결정들을 더 투명하게 만드는 프레임워크를 제공하여, 시장에 대한 막연한 느낌을 구조화된 계획 과정의 일부로 전환합니다.

궁극적으로, 이 연구는 미래를 예측하거나 수익을 보장한다고 주장하는 것이 아닙니다. 이것은 역사적 데이터와 시장이 작동하는 방식에 대한 특정 가정에 기반한 시뮬레이션입니다. 연구진은 자신들의 데이터가 특정 10년을 다루고 있으며, 실제 시장은 예측 불가능한 방식으로 변할 수 있다는 점을 인정합니다. 그러나 모델의 내부 논리는 검토 결과 타당성을 유지합니다. 더 많은 주식을 추가함에 따른 한계 이익은 빠르게 감소하며, 감성의 영향력은 시간이 지남에 따라 꾸준히 증가합니다. 이는 단순한 이론적 관찰이 아니라 데이터에서 명확하게 나타난 패턴입니다. 단일한 숫자 대신 범위를 사용하고 감성이라는 인간적 요소를 고려함으로써, 이 연구는 장기 투자라는 복잡한 과정을 항해하기 위한 더 미묘하고 정교한 도구를 제공합니다. 이는 금융에서, 다른 많은 분야와 마찬가지로, 목표로 가는 길은 종종 단 하나의 완벽한 답을 찾는 것이 아니라 가능성의 범위와 그것을 형성하는 힘을 이해하는 것에 관한 것임을 상기시켜 줍니다.